北师大版九年级上册数学第2讲菱形的判定及性质.docx

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北师大版九年级上册数学第2讲菱形的判定及性质

第2讲菱形的判定和性质

一、知识点归纳

（一）菱形的概念

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（二）菱形的性质：

因为ABCD是菱形

菱形是轴对称图形；

边

角

对角线

对称性

菱形

对边平行；

四边相等

对角相等；

邻角互补

互相垂直平分且平分对角

轴对称

（三）菱形的判定：

四边形ABCD是菱形.

（四）菱形的面积

1、可以用平行四边形的面积算（S=底×高）

2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半S=ab）

二、例题讲解

考点一：

菱形的判定

例1：

下列命题正确的是（）

（A）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形

（B）对角线相等的四边形一定是矩形

（C）两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

（D）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

练习

1：

菱形的对角线具有（）

A．互相平分且不垂直B．互相平分且相等C．互相平分且垂直D．互相平分、垂直且相等

2：

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，

则下列叙述正确的是（）

A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形

C．四边形MBON和四边形MODN都是菱形D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

3：

如图，在三角形中，＞，、分别是、上的点，△沿线段翻折，使点落在边上，记为．若四边形是菱形，则下列说法正确的是（）

A．是△的中位线B．是边上的中线

C．是边上的高D．是△的角平分线

4：

如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）

①②③④

A．①③B．②③C．③④D．①②③

例2：

已知AD是△ABC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF是什么四边形？

请说明理由．

变化：

若D是等腰三角形底边BC的中点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，

则四边形AEDF是什么四边形？

请说明理由．

课后练习

1：

如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，BE平分∠B交AD于G，交AC于E，过E作EF⊥BC于F，

试说明四边形AEFG是菱形．

2：

如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于点H，交CB延长线于点F，交AB于点G，求证：

AB与EF互相平分。

3：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF＝CE，求证：

四边形ACEF是菱形。

考点二：

菱形的性质

例1：

如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC＝CB，E、F分别是AC、AB的中点，且∠DEA＝∠ACB＝45°，BG⊥AE于G，

求证：

（1）四边形AFGD是菱形；

（2）若AC＝BC＝10，求菱形的面积。

练习

1：

如图，在菱形ABCD中，E是AB中点，且DE⊥AB，AB＝4，

求：

（1）∠ABC的度数；

（2）菱形ABCD的面积。

例2：

如图5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，．

（1）求证：

△ABD是正三角形；

（2）求AC的长（结果可保留根号）．

练习

1：

若菱形的边长为1cm，其中一内角为60°，则它的面积为（）

A．B．C．D．

2：

若菱形的周长为16cm，两相邻角的度数之比是1：

2，则菱形的面积是（）

（A）4cm（B）8cm（C）16cm（D）20cm

3：

已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是（）

A．21㎝B．22㎝C．23㎝D．24㎝

例3：

如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，

沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）

A．B．C．D．

练习1：

菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）

A．24cmB．32cmC．40cmD．60cm

练习2：

若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BC的长是（）

（A）1cm　　　　　　（B）2cm　　　　　（C）3cm　　　　　（D）4cm

练习3:

若菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为（）

A．240cm2B．120cm2C．60cm2D．30cm2

例4:

如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°求∠CEF的度数。

课后练习

1:

如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC．CD的中点，连接AE、EF、AF，

则△AEF的周长为（）

1.B．C．D．

2：

如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是_____________．

3：

如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，

求∠CEF的度数。

例5：

如图，菱形ABCD是边长为13cm，其中对角线AC=10cm，

求

（1）菱形ABCD的面积；

（2）作BC边上的高AH，求出AH的长度

练习、

1：

如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：

2，周长是48cm．

求：

（1）两条对角线的长度；

（2）菱形的面积．

例6：

已知：

如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。

过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。

练习

1：

如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，∠BAE=∠EAD，AE交BD于M，试说明BE=AM。

2：

如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．

（1）求证：

△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．

考点三：

综合

例1：

如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，做第二个菱形，使；作于点，以为一边做第三个菱形，使；依此类推，这样做的第个菱形的边的长是．

例2：

菱形ABCD的对角线交于O，AO=1，且∠ABC∶∠BAD=1∶2，∠ABO=300则下列结论：

①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=2；⑤菱形ABCD的周长是8，其中正确的有（）

A．①②③④⑤B．①②④⑤C．②③④⑤D．①②③

例3：

如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接

（1）求证：

四边形是菱形；

（2）连接并延长交于连接请问：

四边形是什么特殊平行四边形？

为什么？

课后作业

1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______．

2．已知菱形两邻角的比是1：

2，周长是40cm，则较短对角线长是________．

3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______．

4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：

7，则它的各角为______．

5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__________（写出一个即可）.

6、已知在菱形ABCD中，下列说法错误的是（）．

A.两组对边分别平行  B.菱形对角线互相平分

C.菱形的对边相等 D.菱形的对角线相等

7、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．

A．对边相等B．对角相等C．对角线互相垂直D．对角线相等

8、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不存在

9、下列说法不正确的是（）．

A．菱形的对角线互相垂直B．菱形的对角线平分各内角

C．菱形的对角线相等D．菱形的对角线交点到各边等距离

10、菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）．

A．24cmB．32cmC．40cmD．60cm

11．菱形ABCD，若∠A：

∠B=2：

1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）．

A．相等B．互相垂直且不平分

C．互相平分且不垂直D．垂直且平分

12．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（）．

A．12cmB．8cmC．4cmD．2cm

13．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC于点F，如果EF=4，那么CD的长为（）．

A．2B．4C．6D．8

14.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（）

A.1B.C.2D.2

15.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（）

A.10B.8C.6D.5

16.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）

A.3.5B.4C.7D.14

17.若菱形的周长20cm,则它的边长是__________cm.

18.如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（）

A.6B.12C.24D.48

19、菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）．

A．15B．C．7.5D．

20、菱形的两邻角之比为1：

2，如果它的较短对角线为3cm，则它的周长为（）．

A．8cmB．9cmC．12cmD．15cm

21、菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）．

A．3：

1B．4：

1C．5：

1

22.如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）

A.△ABD与△ABC的周长相等

B.△ABD与△ABC的面积相等

C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍

D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍

23.如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

24.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（）

A.12cm2B.24cm2C.48cm2D.96cm2

25.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（）

A.4B.C.D.5

26.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，则△AEF的面积是__________.

27.如图，将菱形纸片ABCD折叠.使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，则EF＝__________cm.

28.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长.

29.如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点.求证：

AE=CF.

30、如图，菱形ABCD中，E是AB中点，DE⊥AB，AB=4.

求

（1）∠ABC的度数；（