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（2）；

（3）方程无实数根，；

（4）（或）是自然数集合的子集，也是真子集；

（5）（或）；

（6）方程两根为．

3．判断下列两个集合之间的关系：

（1），；

（2），；

（3），．

3．解：

（1）因为，所以；

（2）当时，；

当时，，

即是的真子集，；

（3）因为与的最小公倍数是，所以．

1．1．3集合的基本运算

练习（第11页）

1．设，求．

，

．

2．设，求．

方程的两根为，

方程的两根为，

得，

即．

3．已知，，求．

4．已知全集，，

求．

4．解：

显然，，

则，．

习题1．1（第11页）A组

（1）_______；

（3）_______；

（4）_______；

（5）_______；

（6）_______．

1．

（1）是有理数；

（2）是个自然数；

（3）是个无理数，不是有理数；

（4）是实数；

（5）是个整数；

（6）是个自然数．

2．已知，用“”或“”符号填空：

（1）_______；

（2）_______；

（3）_______．

2．

（1）；

当时，；

当时，；

3．用列举法表示下列给定的集合：

（1）大于且小于的整数；

（2）；

（3）．

（1）大于且小于的整数为，即为所求；

（2）方程的两个实根为，即为所求；

（3）由不等式，得，且，即为所求．

4．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数的函数值组成的集合；

（2）反比例函数的自变量的值组成的集合；

（3）不等式的解集．

（1）显然有，得，即，

得二次函数的函数值组成的集合为；

（2）显然有，得反比例函数的自变量的值组成的集合为；

（3）由不等式，得，即不等式的解集为．

5．选用适当的符号填空：

（1）已知集合，则有：

_______；

（2）已知集合，则有：

（3）_______；

_______．

5．

（1）；

；

，即；

=；

（3）；

菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；

等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．

6．设集合，求．

6．解：

，即，得，

则，．

7．设集合，，求，

，，．

7．解：

则，，

而，，

则，

8．学校里开运动会，设，

，，

学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，

并解释以下集合运算的含义：

（1）；

（2）．

8．解：

用集合的语言说明这项规定：

每个参加上述的同学最多只能参加两项，

即为．

（1）；

9．设，，，

，求，，．

9．解：

同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即，

平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，

即，

10．已知集合，求，，

，．

10．解：

B组

1．已知集合，集合满足，则集合有个．

1．集合满足，则，即集合是集合的子集，得个子集．

2．在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，

集合表示什么？

集合之间有什么关系？

集合表示两条直线的交点的集合，

即，点显然在直线上，

得．

3．设集合，，求．

显然有集合，

当时，集合，则；

当，且，且时，集合，

则．

4．已知全集，，试求集合．

显然，由，

得，即，而，

得，而，

即．

1．2函数及其表示

1．2．1函数的概念

练习（第19页）

1．求下列函数的定义域：

（1）要使原式有意义，则，即，

得该函数的定义域为；

（2）要使原式有意义，则，即，

得该函数的定义域为．

2．已知函数，

（1）求的值；

（2）求的值．

（1）由，得，

同理得，

即；

（2）由，得，

则，

3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数；

（2）和．

（1）不相等，因为定义域不同，时间；

（2）不相等，因为定义域不同，．

1．2．2函数的表示法

练习（第23页）

1．如图，把截面半径为的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为，

面积为，把表示为的函数．

显然矩形的另一边长为，

，且，

2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？

请你为剩下的那个图象写出一件事．

（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；

（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

图象（A）对应事件

（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；

图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；

图象（D）对应事件

（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；

图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．

3．画出函数的图象．

，图象如下所示．

4．设，从到的映射是“求正弦”，与中元素相对应

的中的元素是什么？

与中的元素相对应的中元素是什么？

因为，所以与中元素相对应的中的元素是；

因为，所以与中的元素相对应的中元素是．

习题1．2（第23页）

（4）．

（2），都有意义，

即该函数的定义域为；

（3）要使原式有意义，则，即且，

（4）要使原式有意义，则，即且，

2．下列哪一组中的函数与相等？

（1）的定义域为，而的定义域为，

即两函数的定义域不同，得函数与不相等；

（2）的定义域为，而的定义域为，

（3）对于任何实数，都有，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，

得函数与相等．

3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．

（3）；

（1）

定义域是，值域是；

（2）

定义域是，值域是；

（3）

（4）

定义域是，值域是．

4．已知函数，求，，，．

因为，所以，

即；

同理，，

，

5．已知函数，

（1）点在的图象上吗？

（2）当时，求的值；

（3）当时，求的值．

5．解：

（1）当时，，

即点不在的图象上；

（2）当时，，

即当时，求的值为；

（3），得，

6．若，且，求的值．

由，

得是方程的两个实数根，

即，得，

即的值为．

7．画出下列函数的图象：

7．图象如下：

8．如图，矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，

周长为，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

由矩形的面积为，即，得，，

由对角线为，即，得，

由周长为，即，得，

另外，而，

得，

9．一个圆柱形容器的底部直径是，高是，现在以的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度关于注入溶液的时间的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．

依题意，有，即，

显然，即，得，

得函数的定义域为和值域为．

10．设集合，试问：

从到的映射共有几个？

并将它们分别表示出来．

从到的映射共有个．

分别是，，，，

，，，．

Ｂ组

1．函数的图象如图所示．

（1）函数的定义域是什么？

（2）函数的值域是什么？

（3）取何值时，只有唯一的值与之对应？

（1）函数的定义域是；

（2）函数的值域是；

（3）当，或时，只有唯一的值与之对应．

2．画出定义域为，值域为的一个函数的图象．

（1）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，，那么其中哪些点不能在图象上？

（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？

图象如下，

（1）点和点不能在图象上；

（2）省略．

3．函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．

当时，写出函数的解析式，并作出函数的图象．

图象如下

4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇．

（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，（单位：

）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：

）表示此人将船停在海岸处距点的距离．请将表示为的函数．

（2）如果将船停在距点处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到）？

（1）驾驶小船的路程为，步行的路程为，

得，，

即，．

（2）当时，．

1．3函数的基本性质

1．3．1单调性与最大（小）值

练习（第32页）

1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．

1．答：

在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．

2．整个上午天气越来越暖，中午时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山才又开始转凉.画出这一天期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.

图象如下

是递增区间，是递减区间，是递增区间，是递减区间．

3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

该函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，

在上是增函数．

4．证明函数在上是减函数.

4．证明：

设，且，

因为，

所以函数在上是减函数.

5．设是定义在区间上的函数.如果在区间上递减，在区间上递增，画出的一个大致的图象，从图象上可以发现是函数的一个.

5．最小值．

1．3．2单调性与最大（小）值

练习（第36页）

1．判断下列函数的奇偶性：

（2）

（4）.

（1）对于函数，其定义域为，因为对定义域内

每一个都有，

所以函数为偶函数；

（2）对于函数，其定义域为，因为对定义域内

所以函数为奇函数；

（3）对于函数，其定义域为，因为对定义域内

（4）对于函数，其定义域为，因为对定义域内

所以函数为偶函数.

2.已知是偶函数，是奇函数，试将下图补充完整.

是偶函数，其图象是关于轴对称的；

是奇函数，其图象是关于原点对称的．

习题1.3

A组

1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间，以及在各单调区间

上函数是增函数还是减函数.

（2）.

函数在上递减；

函数在上递增；

函数在上递增；

函数在上递减.

2.证明：

（1）函数在上是减函数；

（2）函数在上是增函数.

2．证明：

（1）设，而，

由，得，

即，所以函数在上是减函数；

（2）设，而，

即，所以函数在上是增函数.

3.探究一次函数的单调性，并证明你的结论.

当时，一次函数在上是增函数；

当时，一次函数在上是减函数，

令，设，

而，

当时，，即，

得一次函数在上是增函数；

当时，，即，

得一次函数在上是减函数.

4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次

慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.

自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为

5.某汽车租赁公司的月收益元与每辆车的月租金元间的关系为

，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？

最大月收益是多少？

对于函数，

当时，（元），

即每辆车的月租金为元时，租赁公司最大月收益为元．

6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.画出函数

的图象，并求出函数的解析式.

当时，，而当时，，

即，而由已知函数是奇函数，得，

得，即，

所以函数的解析式为.

1.已知函数，.

（1）求，的单调区间；

（2）求，的最小值.

（1）二次函数的对称轴为，

则函数的单调区间为，

且函数在上为减函数，在上为增函数，

函数的单调区间为，

且函数在上为增函数；

因为函数在上为增函数，

所以．

2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是，那么宽（单位：

）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？

每间熊猫居室的最大面积是多少？

由矩形的宽为，得矩形的长为，设矩形的面积为，

当时，，

即宽才能使建造的每间熊猫居室面积最大，

且每间熊猫居室的最大面积是．

3.已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

3．判断在上是增函数，证明如下：

设，则，

因为函数在上是减函数，得，

又因为函数是偶函数，得，

所以在上是增函数．

复习参考题

1．用列举法表示下列集合：

（3）.

（1）方程的解为，即集合；

（2），且，则，即集合；

（3）方程的解为，即集合．

2．设表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？

（2）.

（1）由，得点到线段的两个端点的距离相等，

即表示的点组成线段的垂直平分线；

（2）表示的点组成以定点为圆心，半径为的圆．

3.设平面内有，且表示这个平面内的动点，指出属于集合

的点是什么.

集合表示的点组成线段的垂直平分线，

集合表示的点组成线段的垂直平分线，

得的点是线段的垂直平分线与线段的

垂直平分线的交点，即的外心．

4.已知集合，.若，求实数的值.

显然集合，对于集合，

当时，集合，满足，即；

当时，集合，而，则，或，

得，或，

综上得：

实数的值为，或．

5.已知集合，，，求，，.

集合，即；

集合，即；

集合；

则.

6.求下列函数的定义域：

得函数的定义域为；

（2）要使原式有意义，则，即，且，

得函数的定义域为．

7.已知函数，求：

（1）因为，

所以，得，

即；

（2）因为，

所以，

8.设，求证：

8．证明：

即.

9.已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围.

该二次函数的对称轴为，

函数在上具有单调性，

则，或，得，或，

即实数的取值范围为，或．

10．已知函数，

（1）它是奇函数还是偶函数？

（2）它的图象具有怎样的对称性？

（3）它在上是增函数还是减函数？

（4）它在上是增函数还是减函数？

（1）令，而，

即函数是偶函数；

（2）函数的图象关于轴对称；

（3）函数在上是减函数；

（4）函数在上是增函数．

1.学校举办运动会时，高一

（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？

只参加游泳一项比赛的有多少人？

设同时参加田径和球类比赛的有人，

则，得，

只参加游泳一项比赛的有（人），

即同时参加田径和球类比赛的有人，只参加游泳一项比赛的有人．

2.已知非空集合，试求实数的取值范围.

因为集合，且，所以．

3.设全集，，，求集合.

由，得，

集合里除去，得集合，

所以集合.

4.已知函数.求，，的值.

当时，，得；

当时，，得；

5.证明：

（1）若，则；

（2）若，则.

5．证明：

（1）因为，得，

所以；

因为，

即，

所以.

6.

（1）已知奇函数在上是减函数，试问：

它在上是增函数还是减函数？

（2）已知偶函数在上是增函数，试问：

（1）函数在上也是减函数，证明如下：

因为函数在上是减函数，则，

又因为函数是奇函数，则，即，

所以函数在上也是减函数；

（2）函数在上是减函数，证明如下：

因为函数在上是增函数，则，

又因为函数是偶函数，则，即，

所以函数在上是减函数．

7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过元的部分

不必纳税，超过元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：

某人一月份应交纳此项税款为元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？

全月应纳税所得额税率

不超过元的部分

超过元至元的部分

设某人的全月工资、薪金所得为元，应纳此项税款为元，则

由该人一月份应交纳此项税款为元，得，

，得，

所以该人当月的工资、薪金所得是元．