冀教版 初一数学七年级上册第5章《一元一次方程》教学案设计文档格式.docx
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5.4 一元一次方程的应用
4课时
回顾与反思
课时详案
1.了解一元一次方程的概念和它的解.
2.引领学生逐步提高分析问题和解决问题的能力.
通过用算术与方程不同的方法解决同一问题的对比,感悟方程的意义和作用.
通过建立一元一次方程的过程,初步认识方程模型,体会数学建模思想.
【重点】 了解一元一次方程及其相关概念.
【难点】 理解方程模型的建立和价值.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习小学学过的方程.
导入一:
丢番图是古希腊数学家.人们对他的生平事迹知道的很少,但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平:
坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了其所经历的人生旅程.上帝赐予他的童年占六分之一,又过十二分之一他两颊长出了胡须,再过七分之一,点燃了新婚的蜡烛.
五年之后喜得贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半便入黄泉.悲伤只有用数学研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.
你能用方程求出丢番图去世的年龄吗?
大家讨论交流一下.
可以利用我们所学的知识设他的年龄为x岁,列方程为x+x+x+5+x+4=x.
师生交流:
你对方程有什么认识?
列方程解决实际问题的关键是什么?
本章将学习一元一次方程的概念、解法和应用,充分感受方程模型的思想,首先从第五章一元一次方程开始.（板书主标题）
[设计意图] 通过阅读图中的故事,激发同学们探索丟番图年龄的兴趣,进而引导学生通过列方程解决问题,感受利用方程可以解决实际问题,感受方程是刻画现实世界有效的模型.
导入二:
（出示多媒体课件）同学们请看大屏幕,小彬和小华在进行猜年龄游戏,我们来看一看,小华是怎样猜出小彬的年龄的?
他利用了什么样的方法呢?
分析:
如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2再减5”就是 ,因此可以得到方程:
.
生:
我知道怎么回事,如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2再减5”就是2x-5,因此可以得到方程:
2x-5=21.根据我们小学所学的方程的解法,解得x=13,所以小彬的年龄为13岁.
师:
这位同学非常聪明,能够利用小学的知识把它解出来很好而且非常正确,同学们给他掌声鼓励.那我们是否也可以用列方程的方式来解决生活中的实际问题呢?
[设计意图] 通过小彬和小华在进行猜年龄游戏,把现实生活中的问题转化为数学中的方程问题,从而认识一元一次方程的重要作用.
[过渡语] 在小学我们就认识了方程,并用方程解决了一些简单的实际问题.本节我们将继续探究方程的相关问题.
活动1 感受方程解决问题的方法
一千五百年前的《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
”这是我国古代著名趣题之一.
下面是用列算式与列方程两种不同的方法对问题进行解答的过程.
1.列算式解法.
每只兔子先算2只足（与鸡的足数凑齐）,此时兔子和鸡的足数共有2×
35=70（只）.
由于每只兔子少算了2只足,总共少算的足数为94-70=24（只）,
所以兔子数为24÷
2=12（只）,
鸡数为35-12=23（只）.
答:
鸡有23只,兔子有12只.
2.列方程解法.
设鸡有x只,那么兔子有（35-x）只.
因为鸡的足数+兔的足数=94,
所以2x+4（35-x）=94.
解这个方程,得x=23.
从而35-x=12.
[处理方式] 首先让学生用列算式和列方程的方法进行计算,初步感受两种解决同一问题的不同方法,再参考教材解决问题方法的基础上,尝试独立解决教材第146页“做一做”中提及的问题.
[设计意图] 对比是一种重要的解决问题的方法.通过对比帮助学生体验两种解决问题的不同思路.
活动2 方程方法和列算式方法解决问题的对比
解决上述问题哪种方法比较简单?
用方程的方法比较简单.
总结:
对上述问题,利用列算式的方法求解,需要先将每只兔子看成2只足,与每只鸡的足数凑齐（或者先将每只鸡看成4只足,与每只兔子的足数凑齐）,然后用足数之差求出兔子（或者鸡）数,思考过程和算式的得出都比较曲折.利用列方程的方法,可就足数之和直接列方程,使得问题的解决比较简单.
活动3 例题讲解
某市举行中学生足球比赛,规定平局时不再进行加时赛,并且胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.实验中学足球队参加了10场比赛,只负了1场,共得21分.该校足球队胜了几场?
〔解析〕 该校足球队得分满足相等关系:
3×
胜的场数+1×
平的场数+0×
负的场数=21,即3×
（10-1-胜的场数）=21.
解:
设实验中学足球队胜了x场,
那么3x+（9-x）=21.
解得x=6.
实验中学胜了6场.
活动4 一元一次方程及其相关概念
像2x+4（35-x）=94,3x+（9-x）=21这样含有未知数的等式叫做方程.能使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
如果方程中含有一个未知数（也称元）,并且所含未知数的项的次数是1,那么我们就把这样的方程叫做一元一次方程.
即时练习:
判断以下哪些是一元一次方程.
（1）-2+5=3;
（2）3x-1=7;
（3）m=0;
（4）x>
3;
（5）x+y=8;
（6）2x2-5x+1=0;
（7）2a+b.
【师生活动】 以抢答的形式来完成此题,并让学生找出不是的理由.教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳.
[设计意图] 进一步强化一元一次方程的概念满足的两个条件,采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.
[知识拓展]
（1）实际上,判断一个方程是一元一次方程需同时满足三个条件:
①方程中的代数式都是整式;
②只含有一个未知数;
③未知数的指数都是1.
（2）方程中解的意义和实际生活中问题的意义是有区别的,就是说方程的解不一定都在实际生活中有意义.
一元一次方程:
在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知数的指数都是1,这样的方程叫一元一次方程.
方程的解:
使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.
1.下列方程中,是一元一次方程的是（ ）
A.x2+1=2 B.y=x-1
C.=1D.=1
解析:
一元一次方程满足两个条件:
只含有一个未知数,未知数的次数是1.故选C.
2.已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m,则m的值为（ ）
A. B.-2 C.2 D.-
方程定义:
含有未知数的等式叫做方程.本题已知方程的解是m,将m代入原方程得出:
4m-3m=2⇒m=2.故选C.
3.小华打算寒假期间读一本720页的书,若他每天读40页,读了x天,还剩下27页,可列方程为 ,列出的方程 一元一次方程（填“是”或“不是”）.
每天读40页,x天共读40x页,已读的页数+未读的页数=总页数,所以40x+27=720,此方程为一元一次方程.
答案:
40x+27=720 是
4.在一次植树活动中,甲班植树的株数比乙班多20%,乙班植树的株数比甲班的一半多10株,设乙班植树x株.
（1）列两个不同的含x的代数式,分别表示甲班植树的株数;
（2）根据题意列出含未知数x的方程;
（3）检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株.
（1）根据甲班植树的株数比乙班多20%,得甲班植树的株数为（1+20%）x;
根据乙班植树的株数比甲班的一半多10株,得甲班植树的株数为2（x-10）.
（2）由题意得（1+20%）x=2（x-10）. （3）当x=25时,甲班植树的株数为25（1+20%）=30≠35,2×
（25-10）=30≠35,所以乙班植树的株数是25株,甲班植树的株数是30株,而不是35株.
一、教材作业
【必做题】
教材第147页练习第1题.
【选做题】
教材第148页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法中正确的是（ ）
A.方程是等式
B.等式是方程
C.含有字母的等式是方程
D.含有未知数的不等式是方程
2.下列各式中,不是方程的是（ ）
A.x=1B.3x=2x+5
C.x+y=0D.2x-3y+1
3.方程x（x+2）=0的解为（ ）
A.0 B.-2 C.0或-2 D.0或2
4.若xa+1=2是一元一次方程,则a2015= .
5.设某数为x,根据下列条件列出方程.
（1）某数的平方减去该数的等于9;
（2）某数比它的倒数大2.
【能力提升】
6.下列说法中正确的是（ ）
A.含有一个未知数的等式是一元一次方程
B.未知数的次数都是1次的方程是一元一次方程
C.含有未知数,并且未知数的次数都是一次的方程是一元一次方程
D.2y-3=1是一元一次方程
7.下列方程中,一元一次方程的个数是（ ）
①2x+3y=5;
②x2+1=2;
③m-3=6;
④x-6=5x;
⑤+2=7.
A.1B.2C.3D.4
8.下列方程中,解是x=4的方程是（ ）
A.3x-2=-10B.x+3=2x+3
C.3x+8=5xD.2（x+3）=x+3
9.关于x的方程2x+m=5的解是x=2,则m= .
10.甲、乙两车分别从相距400千米的A,B两地同时出发相向而行,5小时后相遇,已知甲车每小时比乙车多行驶8千米,求乙车的速度,请列出方程（不用解）.
【拓展探究】
11.小华买了桃和香蕉共6千克,用去20元,其中桃每千克3元,香蕉每千克4元,设小华买了x千克桃,列出方程正确的是（ ）
A.3x+4x=20
B.6x+4x=20
C.3x+4（6-x）=20
D.（3+4）x=20
12.某音像公司对外出租光盘的收费方式是:
每张光盘出租的前2天每天收费0.8元,以后每天收费0.5元,那么一张光盘出租x（x>
2且为整数）天应收费 ;
当收费为5.6元时,可列方程为 .
13.早晨,小猴把一天要吃的桃,按早、中、晚三餐依次放在三个盘子里.看了看,觉得晚餐太多,早餐太少.于是,他从第一个盘里拿了2个桃放在第二个盘里,又从第二个盘里拿了3个桃放在第三个盘里,再从第三个盘里拿了5个桃放在第一个
盘里.这时三个盘里各有6个桃.小猴满意地笑了.想一想:
小猴第一次分桃时,早、中、晚三餐各分得多少个桃?
（只列方程,不求解,提示:
每个盘里各列一个方程）
【答案与解析】
1.A（解析:
方程是等式,但等式不一定是方程.）
2.D（解析:
判断方程需要两个条件:
一是含有未知数,二是等式.）
3.C（解析:
根据方程的解的定义,将0,-2,2分别代入方程的左边和右边,当x=0和x=-2时,左边=右边,所以x=0和x=-2都是方程的解;
当x=2时,左边=8,右边=0,左边≠右边,所以x=2不是方程的解.）
4.0（解析:
由一元一次方程的定义得a+1=1,所以a=0,则a2015=02015=0.）
5.解:
（1）x2-x=9.
（2）x=+2.
6.D（解析:
只含有一个未知数（元）,并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程,它的一般形式是ax+b=0（a,b是常数且a≠0）.据此可得出答案.A.未涉及未知数的次数;
B.未涉及未知数的个数;
C.未知数的个数只能为1;
D.符合一元一次方程的定义.）
7.B（解析:
③④是一元一次方程.）
8.C（解析:
把x=4分别代入四个方程,符合方程左边=右边的为所求.）
9.1（解析:
把x=2代入2x+m=5中,得2×
2+m=5,解得m=1.）
10.解:
设乙车的速度为每小时x千米,则5（x+8）+5x=400.
11.C（解析:
由题意可知小华买桃用去3x元,买香蕉用去4（6-x）元.故选C.）
12.[2×
0.8+0.5（x-2）]元 2×
0.8+0.5（x-2）=5.6（解析:
本题相等关系为:
前2天的收费+后些天的收费=5.6元.）
13.解:
设第一次分桃时,第一个盘里有x个桃,则x-2+5=6;
设第一次分桃时,第二个盘里有y个桃,则y+2-3=6;
设第一次分桃时,第三个盘里有z个桃,则z+3-5=6.
以小游戏作为情境引入,让学生在一个轻松的环境中打开问题之门,由惊奇到好奇再到激起解开疑惑的欲望,然后设置一系列的情境问题,引导学生借助游戏中的思维方法来辨析生活中的实际问题,从而投入到认识一元一次方程上来,课堂达到了水到渠成的不错效果.
利用情境列方程时仍有部分同学不能及时地列出方程,达不到构建方程模型解决实际问题的能力要求.
在整个教学实施的过程中,自始至终坚持以问题为主线,诱导学生思考问题,进而去解决问题,问题的设计遵循学生的思维特点,着重引导学生探索、归纳,注重过程教学,如此既有利于培养学生的分析归纳能力,也真正体现了以学生为主体的教学理念.
练习（教材第147页）
1.解:
x-1=3,5x+5=-1,2x+4=0是一元一次方程.
2.解:
x=是方程2x-1=0的解.x=2是方程2x-4=0的解,x=5是方程3x-15=0的解.x=-5是方程x+5=0的解.
习题（教材第148页）
A组
方程:
x=1,2x+7=0,5x-1=5-x,x2-1=0,x+y=3,3y-6=0.一元一次方程:
x=1,2x+7=0,5x-1=5-x,3y-6=0.
答案不唯一,如:
x-2=0.
3.解:
当x=2时,2×
2-1=m,m=3.即m的值为3.
4.解:
（1）2（2x+x）=90.
（2）当x=15时,左边=2×
（2×
15+15）=2×
45=90,右边=90,左边=右边,所以x=15是所列方程的解.当x=20时,左边=2×
20+20）=120,右边=90,左边≠右边,所以x=20不是所列方程的解. （3）2=90.
B组
（1）设这个数为x,由题意列方程为2x+30=6x-14.
（2）设陆地面积为x亿平方千米,由题意列方程为x+x=5.1. （3）设这个月份第一个星期日的日期数是x.由题意列方程为x+（x+7）+（x+14）+（x+21）=58.
设小明他们共去了x人.由题意列方程为5×
20×
80%+15=5x.
下列各式中,是方程的为（ ）
A.3=5-2 B.3+4x
C.5a-6=3D.2x+3>
4x-5
〔解析〕 本题考查方程的定义.A选项为一个等式,但等式中不含有未知数,故不是方程;
B选项含有未知数,但不是一个等式,也不是方程;
D选项含有未知数,但不是等式,故也不是方程.故选C.
[解题策略] 方程的定义有两个条件:
（1）式子中必须含有未知数;
（2）式子必须是等式.
检验2,1,0三个数是否为方程3（x+1）=2（2x+1）的解.
〔解析〕 判断一个数是不是原方程的解,必须用这个数替换方程的未知数,并计算方程左右两边的值是否相等.
解:
将x=2分别代入原方程的左右两边,
左边=3×
（2+1）=9,右边=2×
2+1）=10,
左边≠右边,所以x=2不是原方程的解.
将x=1分别代入原方程的左右两边,
（1+1）=6,右边=2×
1+1）=6,
左边=右边,所以x=1是原方程的解,
将x=0分别代入原方程的左右两边,
（0+1）=3,右边=2×
0+1）=2,
左边≠右边,所以x=0不是原方程的解.
[解题策略] 使方程左右两边式子相等的未知数的值称为方程的解.判断一个数是不是原方程的解,直接根据条件代入方程的两边进行计算即可.
1.理解并掌握等式的基本性质.
2.理解方程是等式,能根据等式的基本性质求一元一次方程的解.
3.理解并掌握移项的法则.
1.让学生经历知识的形成过程,培养学生自主探索和相互合作的能力.
2.初步体验解方程的化归思想.
1.感受数学与生活的联系,认识数学来源于生活,又服务于生活.
2.激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考,勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良好习惯.
【重点】 理解和应用等式的基本性质.
【难点】 应用等式的基本性质解简单的一元一次方程.
【教师准备】 多媒体课件、天平、砝码等.
【学生准备】 复习一元一次方程的定义.
在小学,我们求解过方程,请大家回忆你会求解哪些方程,方程5x=3x+4你会解吗?
我们曾经利用逆运算求解形如ax+b=c的方程（简单举例说明）.
对于较为复杂的方程,例如这样一个问题:
某数与2的和的,比某数的2倍与3的差的大1,求某数.如果我们设某数为x,可以得到方程是+1.
怎样才能求出x呢?
如果还用以前的方法容易求出方程的解吗?
观察思考,小组内简单交流后认同不易求出方程的解.
因此要想求出这些复杂的一元一次方程的解,我们有必要研究等式的性质,以解决这个问题.（板书课题）
[设计意图] 通过问题串,让学生感受到自己原先具有的知识已不能够解决问题,学生遇到了困难,从而激发学生的求知欲,产生了克服困难的决心和信心,更能积极投入到新课的学习情境中去.
用估算的方法,我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出方程
（1）3x-5=22,
（2）0.23-0.13y=0.47y+1的解吗?
第
（1）题要求学生给出解答,第
（2）题较复杂,估算比较困难.
通过估算的方法,我们可以求得方程的解,可是我们也看到,通过估算求解,需要通过多次尝试才能得到正确的答案,而且有的方程要利用这种方法求解很困难.有没有相对简单的方法,使我们可以获得方程的解呢?
从今天开始我们就来学习解方程.
[设计意图] 通过对上节课内容的回忆和教师提出的问题,引发学生的思考,激发学生的探究欲望,进而引入本节课的内容.
[过渡语] 利用等式的基本性质,可以对方程进行恒等变形,进而达到解一元一次方程的目的.
活动1 等式的基本性质
1.感受等式的基本性质.
游戏一:
如图所示,此时天平架是平衡的.在托盘上增加或减少一定数量的砝码,使其仍保持平衡.请你最少摆出5种不同的平衡形式,并说明保持平衡的道理.
通过游戏,我们可认识到什么?
活动提示:
（1）天平两端放置同类型的砝码,怎样使天平平衡?
（2）天平两端放置不同类型的砝码,怎样使天平平衡?
（3）在天平有砝码保持平衡的情况下,怎样增加砝码可以使天平继续保持平衡?
（4）在天平有砝码保持平衡的情况下,怎样减少砝码可以使天平继续保持平衡?
（5）请你思考使天平平衡,增加或减少砝码有什么规律?
[设计意图] 天平游戏可以往两端添加等量的砝码,又可以取走等量的砝码.其中蕴含了等式关于加、减、乘、除的基本性质.
2.总结等式的基本性质.
（1）等式的两边加上（或减去）同一个数或同一个整式,结果仍是等式,即如果a=b,那么a±
c=b±
c.
（2）等式的两边乘（或除以）同一个数（除数不等于0）,结果仍是等式,即如果a=b,那么ac=bc.
[处理方式] 根据等式的基本性质,分别设置两种不同的平衡形式.
活动2 天平的平衡与解方程
如图所示,天平架是平
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