考拉兹猜想的一点思考.docx

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考拉兹猜想的一点思考

考拉兹猜想的一点思考

作者：

湖南省冷水江市煤炭局 YONGAO

考拉兹猜想：

自然数，见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，最后一定得到4，2，1。

证明：

一、如9×3+1=28→28÷2=14，14÷2=7→7×3+1=22→22÷2=11→11×3+1=34→34÷2=17→17×3+1=52÷2=26，26÷2=13→13×3+1=40→40÷2=20,20÷2=10，10÷2=5→5×3+1=16→16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。

得到4，2，1。

约定“4，2，1。

”前第1个奇数为N1（如5），第2个奇数为N2（如13），第3个奇数为N3（如17），一般地，“4，2，1。

”前第k个奇数为Nk，k=1，2，3，…

N1=（22n－1）÷3 n=1，2，3，… 如5=（24－1）÷3

当N1包含于{6h－5,6h－1}时，h=1，2，3，…

N2=（2aN1－1）÷3 如13=（5×23－1）÷3

当N2包含于{6h－5,6h－1}时，

N3=（2bN2－1）÷3 如17=（13×22－1）÷3

当N3包含于{6h－5,6h－1}时，

N4=（2cN3－1）÷3 如11=（17×2－1）÷3

1、N1=（22n－1）÷3

当n=1，2，3，4时，

N1=1，5，21，85。

5=1+22=4×1+1=41+40

21=1+22+24=4×5+1=42+41+40

85=1+22+24+26=4×21+1=43+42+41+40

A、猜想：

当n＞1时，N1=（22n－1）÷3=1+22+24+…22n－2

[证明]

（ⅰ）当n=2时，N1=（22×2－1）÷3=1+22

（ⅱ）假设n=k时，N1=（22k－1）÷3=1+22+24+…22k－2成立。

当n=k+1时，N1=[22（k+1）－1]÷3

=（22k－1）÷3+22k

=1+22+24+…22k－2+22（k+1）－2

综合（ⅰ）（ⅱ）所证：

当n＞1时，N1=（22n－1）÷3=1+22+24+…22n－2成立。

B、猜想：

设an=（22n－1）÷3，当n＞1时，

则有an=4an－1+1=4n－1+4n－2+…40

[证明]

（ⅰ）当n=2时，a2=（22×2－1）÷3=5

a1=（22－1）÷3=1 4a1+1=4×1+1=5 a2=4a1+1=41+40

（ⅱ）假设n=k时，ak=4ak－1+1=4k－1+4k－2+…40成立。

当n=k+1时，ak+1=[22（k+1）－1]÷3

       =4（22k－1）÷3+1

       =4ak+1

       =4（k+1）－1+4（k+1）－2+…40

综合（ⅰ）（ⅱ）所证：

当n＞1时，an=4an－1+1=4n－1+4n－2+…40成立。

2、当N1包含于{6h－5,6h－1}时，如N1=5

N2=（5×22n－1－1）÷3

当n=1，2，3，4时，

N2=3，13，53，213。

13=3+5×2=4×3+1=3×41+40

53=3+5×2+5×23=4×13+1=3×42+41+40

213=3+5×2+5×23+5×25=4×53+1=3×43+42+41+40

猜想且容易证明：

A、当n＞1时，N2=（5×22n－1－1）÷3=3+5×2+5×23+…5×22n－3

B、设an=（5×22n－1－1）÷3，当n＞1时，

则有an=4an－1+1=3×4n－1+4n－2+…40

3、当N2包含于{6h－5,6h－1}时，如N2=13

N3=（13×22n－1）÷3

当n=1，2，3，4时，

N3=17，69，277，1109。

69=17+13×22=4×17+1=17×41+40

277=17+13×22+13×24=4×69+1=17×42+41+40

1109=17+13×22+13×24+13×26=4×277+1=17×43+42+41+40

猜想且容易证明：

A、当n＞1时，N3=（13×22n－1）÷3

        =17+13×22+13×24+…13×22n－2

B、设an=（13×22n－1）÷3，当n＞1时，

则有an=4an－1+1=17×4n－1+4n－2+…40

4、当N3包含于{6h－5,6h－1}时，如N3=17

N4=（17×22n－1－1）÷3

当n=1，2，3，4时，

N4=11，45，181，725。

45=11+17×2=4×11+1=11×41+40

181=11+17×2+17×23=4×45+1=11×42+41+40

725=11+17×2+17×23+17×25=4×181+1=11×43+42+41+40

猜想且容易证明：

A、当n＞1时，N4=（17×22n－1－1）÷3

        =11+17×2+17×23+…17×22n－3

B、设an=（17×22n－1－1）÷3，当n＞1时，

则有an=4an－1+1=11×4n－1+4n－2+…40

5、根据以上推理，猜想且容易证明：

A、当n=1时，

[（6M－5）22n－1]÷3=8M－7

[（6M－1）22n－1－1]÷3=4M－1

当n＞1时，

[（6M－5）22n－1]÷3=8M－7+（6M－5）22+（6M－5）24+…（6M－5）22n－2

[（6M－1）22n－1－1]÷3=4M－1+（6M－1）2+（6M－1）23+…（6M－1）22n－3

B、（ⅰ）设an=[（6M－5）22n－1]÷3，当n＞1时，

则有an=4an－1+1=（8M－7）4n－1+4n－2+…40

（ⅱ）设an=[（6M－1）22n－1－1]÷3，当n＞1时，

则有an=4an－1+1=（4M－1）4n－1+4n－2+…40

6、根据以上论证，可以得出这样的结论：

（1）“4，2，1。

”前的奇数Nk可以表示为：

8M－7或8M－7+（6M－5）22+（6M－5）24+…（6M－5）22n－2或4M－1或4M－1+（6M－1）2+（6M－1）23+…（6M－1）22n－3。

即Nk=8M－7，8M－7+（6M－5）22+（6M－5）24+…（6M－5）22n－2，4M－1，4M－1+（6M－1）2+（6M－1）23+…（6M－1）22n－3，但M还不能确定为全体正整数。

（2）“4，2，1。

”前的奇数Nk是从1和5开始，1按照[（6h－5）22n－1]÷3=8h－7，8h－7+（6h－5）22+（6h－5）24+…（6h－5）22n－2（h=1，2，3，…）的公式得到1，1+22+24+…22n－2，5按照[（6h－1）22n－1－1]÷3=4h－1，4h－1+（6h－1）2+（6h－1）23+…（6h－1）22n－3的公式得到3，3+5×2+5×23+…5×22n－3；{1，1+22+24+…22n－2，3，3+5×2+5×23+…5×22n－3}包含于{6h－5,6h－1}的数分别按照[（6h－5）22n－1]÷3=8h－7，8h－7+（6h－5）22+（6h－5）24+…（6h－5）22n－2，[（6h－1）22n－1－1]÷3=4h－1，4h－1+（6h－1）2+（6h－1）23+…（6h－1）22n－3的公式得到相应的数……如此循环递推得到的。

1和5，见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，得到4，2，1。

那么，Nk见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，最后一定得到4，2，1。

（3）1，5，21，85，… 出现6a1－5，6b1－1，6c1－3；6d1－5…的规律，3，13，53，213，… 出现6a2－3，6b2－5，6c2－1；6d2－3…的规律，17，69，277，1109，… 11，45，181，725，… 出现6a3－1，6b3－3，6c3－5；6d3－1…的规律。

二、[（1，1+22+24+…22k－2）3+1]÷22n=1

[（3，3+5×2+5×23+…5×22n－3）3+1]÷22n－1=5

[（17，17+13×22+13×24+…13×22n－2）3+1]÷22n=13

[（11，11+17×2+17×23+…17×22n－3）3+1]÷22n－1=17

……

{[8M－7，8M－7+（6M－5）22+（6M－5）24+…（6M－5）22n－2]3+1}÷22n

=6M－5

{[4M－1，4M－1+（6M－1）2+（6M－1）23+…（6M－1）22n－3]3+1}÷22n－1

=6M－1

要证明考拉兹猜想，必须证明当M为全体正整数时，Nk满足以下条件：

（1）Nk=6a1－5，6b1－1，6c1－3；6d1－5，6e1－1，6f1－3；… 或

=6a2－3，6b2－5，6c2－1；6d2－3，6e2－5，6f2－1；… 或

=6a3－1，6b3－3，6c3－5；6d3－1，6e3－3，6f3－5；…

（2）Nk包含自然数的全体奇数，且没有重复的数。

（3）当Nk≠1时，Nk见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，一定存在小于Nk的数。

1、证明：

当M为全体正整数时，

Nk=6a1－5，6b1－1，6c1－3；6d1－5，6e1－1，6f1－3；… 或

=6a2－3，6b2－5，6c2－1；6d2－3，6e2－5，6f2－1；… 或

=6a3－1，6b3－3，6c3－5；6d3－1，6e3－3，6f3－5；…

[证明]

要证明所求，只需证：

A、8M－7，8M－7+（6M－5）22+…（6M－5）22n－2

=6xn－5，6yn－1，6zn－3。

B、4M－1，4M－1+（6M－1）2+…（6M－1）22n－3

=6Xn－5，6Yn－1，6Zn－3。

首先证明：

B、4M－1，4M－1+（6M－1）2+…（6M－1）22n－3

=6Xn－5，6Yn－1，6Zn－3。

（1）当n=1时，

设M=3m－1，则4M－1=6×2m－5=6X1－5

设M=3m，则4M－1=6×2m－1=6Y1－1

设M=3m－2，则4M－1=6（2m－1）－3=6Z1－3

（2）当n=2时，

设M=3m－2，则（4M－1）41+40=6（8m－5）－5=6X2－5

设M=3m－1，则（4M－1）41+40=6（8m－3）－1=6Y2－1

设M=3m，则（4M－1）41+40=6×8m－3=6Z2－3

（3）当n=3时，

设M=3m，则（4M－1）42+41+40=6（32m－1）－5=6X3－5

设M=3m－2，则（4M－1）42+41+40=6（32m－23）－1=6Y3－1

设M=3m－1，则（4M－1）42+41+40=6（32m－12）－3=6Z3－3

（4）猜想：

a、当n=3n1－2，M=3m－1，3m，3m－2时，

4M－1，4M－1+（6M－1）2+…（6M－1）22n－3

=6Xn－5，6Yn－1，6Zn－3。

b、当n=3n1－1，M=3m－2，3m－1，3m时，

4M－1+（6M－1）2+…（6M－1）22n－3

=6Xn－5，6Yn－1，6Zn－3。

c、当n=3n1，M=3m，3m－2，3m－1时，

4M－1+（6M－1）2+…（6M－1）22n－3

=6Xn－5，6Yn－1，6Zn－3。

证明猜想a：

（ⅰ）当n=3×1－2=1，M=3m－1，3m，3m－2时，

4M－1=6X1－5，6Y1－1，6Z1－3。

当n=3n1－2＞1时，

4M－1+（6M－1）2+…（6M－1）22n－3=（4M－1）4n－1+4n－2+…40

当n=3×2－2=4，M=3m－1，3m，3m－2时，

（4M－1）43+42+4