高一上数学各的知识点梳理反函数.docx

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高一上数学各的知识点梳理反函数

7、反函数

一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）

1．设函数f（x）＝1－（－1≤x≤0），则函数y＝f－1（x）的图象是（）

A.yB.y1C.yD.y1

1x1Ox

－1－1

－1OxO1x

2．函数y=1－（x≥1）的反函数是（）

A．y=（x－1）2＋1，x∈RB．y=（x－1）2－1，x∈R

C．y=（x－1）2＋1，x≤1D．y=（x－1）2－1，x≤1

3．若f（x－1）=x2－2x＋3（x≤1），则f－1（4）等于（）

A．B．1－C．－D．－2

4．与函数y=f（x）的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是（）

A．y=－f（x）B．y=f-1（x）C．y=－f-1（x）D．y=－f-1（－x）

5．设函数，则的定义域为（）

A．B．C．D．

6．若函数的反函数是，，则等于（）

A．B．C．D．

7．已知函数的反函数就是本身，则的值为（）

A．B．1C．3D．

8．若函数存在反函数，则方程（）

A．有且只有一个实数根B．至少有一个实数根

C．至多有一个实数根D．没有实数根

9．函数f（x）=－·（x≤－1）的反函数的定义域为（）

A．（－∞，0］B．（－∞，＋∞）

C．（－1，1）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

10．若函数f（x）的图象经过点（0，－1），则函数f（x＋4）的反函数的图象必经过点（）

A．（－1，4）B．（－4，－1）C．（－1，－4）D．（1，－4）

11．函数f（x）＝（x≠0）的反函数f－1（x）＝（）

A．x（x≠0）B．（x≠0）C．－x（x≠0）D．－（x≠0）

12、点（2，1）既在函数f（x）=的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组（a，b）有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）

13．若函数f（x）存在反函数f－1（x），则f－1[f（x）]=___；f[f－1（x）]=_____．

14．已知函数y＝f（x）的反函数为f－1（x）＝－1（x≥0），那么函数f（x）的定义域为___．

15．设f（x）=x2－1（x≤－2），则f－1（4）=__________．

16．已知f（x）＝f－1（x）＝（x≠－m），则实数m=．

三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）

17．

（1）已知f（x）=4x－2x＋1，求f－1（0）的值．

（2）设函数y=f（x）满足f（x－1）=x2－2x＋3（x≤0），求f－1（x＋1）．

18．判断下列函数是否有反函数，如有反函数，则求出它的反函数．

（1）；

（2）．

（3）

19．已知f（x）=

（1）求y=f（x）的反函数y=f－1（x）的值域;

（2）若（2，7）是y=f－1（x）的图象上一点，求y=f（x）的值域．

20．已知函数，

（1）求及其；

（2）求的反函数．

21．己知（x≥1），

（1）求的反函数，并求出反函数的定义域；

（2）判断并证明的单调性．

22．给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数．试证明：

这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．

参考答案

一、选择题：

DCCDDACCACBA

二、填空题：

13.x，x，14.x≥－1，15.－，16.m＝－2

三、解答题：

17.解析：

（１）设f－1（0）=a，即反函数过（0，a），∴原函数过（a，0）．

代入得：

0=4a－2a＋1，2a（2a－2）=0，得a=1，∴f=1．

（２）先求f（x）的反函数．

18.解析：

⑴令得到对应的两根：

这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数．

⑵由，得

∵，∴，

互换得

又由的值域可得反函数定义域为

∴反函数为．

⑶由得其反函数为；

又由得其反函数为．

综上可得，所求的反函数为．

注：

求函数的反函数的一般步骤是：

⑴反解，由解出，写出的取值范围；

⑵互换，得；

⑶写出完整结论（一定要有反函数的定义域）．

⑷求分段函数的反函数，应分段逐一求解；分段函数的反函数也是分段函数．

19.解析：

（１）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．∴反函数的值域为{y|y}

（２）∵（2，7）是y=f－1（x）的图象上一点，∴（7，2）是y=f（x）上一点．

∴

∴f（x）的值域为{y|y≠2}．

20．解析：

⑴∵，

∴，其值域为，

又由得，

∴，∴．

⑵由，解得

∴的反函数为．

说明：

并不是的反函数，而是的反函数．

题中有的形式，我们先求出，才能求出．

21.解析：

⑴，

即的定义域为；

⑵设，

，即在上单调递增．

22、证法一:

……①

由①式得

……②

由此得a=1，与已知矛盾，

又由②式得

这说明点P′（y′,x′）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.

证法二:

先求所给函数的反函数:

由

得y（ax－1）=x－1，

即（ay－1）x=y－1．

即ax－a=ax－1，

由此得a=1，与已知矛盾，所以ay－1≠0．

因此得到

由于函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f－1（x）的图象关于直线y=x对称，所以函数

的图象关于直线y=x成轴对称图形.

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