高考一轮复习函数知识点及题型归纳.doc
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2018高考 一轮复习函数知识点及题型归纳
一、函数的及其表示
题型一：
函数的概念
映射的概念：
设，是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个元素在集合中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合到集合的映射，记作：
→．
函数的概念：
如果、都是非空的数集，那么到的映射：
→就叫做到的函数，记作,其中x,y，原象的集合叫做定义域，象的集合叫做函数的值域．
映射的基本条件：
1.可以多个x对应一个y，但不可一个x对应多个y。
2.每个x必定有y与之对应，但反过来，有的y没有x与之对应。
函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。
例1：
已知集合P={}，Q={}，下列不表示从P到Q的映射是（）
A.f∶x→y=xB.f∶x→y=C.f∶x→y=D.f∶x→y=
例2：
设M＝｛x｜－2≤x≤2｝，N＝｛y｜0≤y≤2｝，函数f（x）的定义域为M，值域为N，
则f（x）的图象可以是（ ）
例3：
下列各组函数中，函数与表示同一函数的是
（1）＝，＝；
（2）＝3－1，＝3－1；
（3）＝，＝1；（4）＝，＝；
题型二：
函数的表达式
1.解析式法
例4：
已知函数.
真题：
【2017年山东卷第9题】设,若,则
（A）2（B）4（C）6（D）8
[2014·江西卷]已知函数f（x）＝（a∈R）．若f[f（－1）]＝1，则a＝（ ）
A.B.C．1D．2
【2015高考新课标1文10】已知函数，且，则（）
（A）（B）（C）（D）
2.图象法
例5：
汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是_______________
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．
例6：
向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图2—4所示，那么水瓶的形状是（）
例7：
如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线，之间，//，与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧FG的长为x（0＜x＜π）,y=EB+BC+CD，若从平行移动到，则函数y=f（x）的图像大致是（）
真题：
【2015高考北京】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【2015年新课标2文科】如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数,则的图像大致为（）
A．B．C．D．
3.表格法
例8：
已知函数，分别由下表给出
则的值为 ；满足的的值是 ．
题型三：
求函数的解析式.
1.换元法
例9：
已知，则函数=
变式1：
已知，则=
变式2：
已知f（x6）＝log2x，那么f（8）等于
2.待定系数法
例10：
已知二次函数（x）满足条件（0）=1及（x+1）-（x）=2x。
则（x）的解析式____________
3.构造方程法
例11：
已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=,则f（x）=
变式：
已知，则f（x）=
4.凑配法
例12：
若，则函数=_____________.
5.对称问题求解析式
例13：
已知奇函数，则当时，f（x）=
真题：
【2013安徽卷文14】定义在上的函数满足.若当时。
，则当时，=.
变式：
已知f（x）是奇函数，且，当时，，则当时，
=
【2017年新课标II第14题】已知函数是定义在R上的奇函数，当x时，,
则
二．函数的定义域
题型一：
求函数定义域问题
1.求有函数解析式的定义域问题
例14：
求函数＝＋的定义域.
真题：
【2015高考湖北文6】函数的定义域为（）
A． B．C． D．
（2016年江苏省高考）函数y=的定义域是▲.
2.求抽象函数的定义域问题
例15：
若函数＝的定义域是[1，4]，则＝的定义域是．
例16：
若函数＝的定义域是[1，2]，则＝的定义域是．
真题：
已知的定义域为，则的定义域为（）
A． B． C． D．
题型二：
已知函数定义域的求解问题
例17：
如果函数的定义域为R，则实数k的取值范围是.
变式：
已知函数的值域是，则实数的取值范围是_____________
三．函数的值域
1.二次函数类型（图象法）:
例18：
函数，的值域为
换元后可化为二次函数型：
例19：
求函数的值域为
真题：
【2017年浙江卷第5题】若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m
A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关
2.单调性法
例20：
求函数的最大值和最小值。
3.复合函数法
例21：
求函数的最大值和最小值。
真题：
求函数的范围。
4.函数有界性法
例22：
函数的值域为
5.判别式法
例23：
函数的值域为
6.不等式法求最值（不等式部分讲解）
例24：
函数=的最大值是
7.导数法求函数的极值及最值（详见导数专题）
真题：
【2014上海文，7】设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为．
【2012高三一模虹口区13】已知函数，对于任意的都能找到，则实数的取值范围是．
（2016年全国II卷高考）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）
（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D）
四．函数的奇偶性
定义：
若，或者，则称为奇函数。
若，则称为偶函数。
有奇偶性的前提条件：
定义域必须关于原点对称。
结论：
常见的偶函数：
，，，等等。
常见的奇函数：
，，，，，
，，，等等。
结论：
奇+奇=奇偶+偶=偶奇+偶=非奇非偶
奇*奇=偶偶*偶=偶奇*偶=奇偶+常数=偶奇+常数=非奇非偶
因为为奇函数，为偶函数，所以可以把奇函数看作是“负号”，把偶函数看作是“正号”，则有助于记忆。
题型一：
判断函数的奇偶性：
1.图像法.
例25：
画出函数的图象并判断函数的奇偶性
2．定义法：
例26：
判断函数的奇偶性
3．结论法
例27：
判断函数的奇偶性
题型二：
已知函数奇偶性的求解问题
例28：
已知函数为定义在上的奇函数，且当时，求的解析式
例29：
已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是_______
例30：
已知定义域为R的函数是奇函数.则.b
真题：
【2013辽宁文，6】6．若函数为奇函数，则．
【2015，新课标】若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝
【2015高考山东文8】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为
（2016年天津高考）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（）
（A） （B） （C） （D）
【2017年山东卷第14题】已知f（x）是定义在R上的偶函数,且f（x+4）=f（x-2）.若当时,,则f（919）=.
【2017年天津卷第6题】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为
（A）（B）（C）（D）
【2017年北京卷第5题】已知函数，则
（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数
（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是增函数
题型三：
，其中为奇函数，为常数，则：
例31：
已知都是奇函数，且在的最大值是8，则在的最值是
真题：
【2012高考新课标文16】设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
【2011广东文12】设函数．若，则．
【2013重庆高考文科9】已知函数，，则
A.B.C.D.
【2013高考文7】已知函数，则（）
题型四：
利用奇偶性和周期性求函数值的问题
例32：
设是定义在上的奇函数，当时，，则（）．
例33：
设是周期为的奇函数，当时，，则
真题：
（2016年四川高考）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0（2）=。
（2016年山东高考）已知函数f（x）的定义域为R.当x＜0时，f（x）=x3-1；当-1≤x≤1时，f（-x）=—f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x—）.则f（6）=
（A）-2（B）-1
（C）0（D）2
（2016年江苏省高考）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[−1,1）上，其中若，则的值是▲.
【2017年山东卷第14题】已知f（x）是定义在R上的偶函数,且f（x+4）=f（x-2）.若当时,,则f（919）=.
五．函数的单调性
定义：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值,当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）.那么就说f（x）在这个区间上是增函数。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）.那么就是f（x）在这个区间上是减函数。
定义变形：
若对任意，则为单调递减函数
题型一：
判断函数的单调性
1.图像法.
例34：
画出函数的图像并判断函数的单调性.
例35：
画出函数的单调递增区间为___________.
2.定义法：
证明方法步骤：
1.设值2.作差（作商）3.化简4.定号5.结论
例36：
判
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