四川高考压轴卷 理科数学 Word版含答案.docx

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四川高考压轴卷理科数学Word版含答案

2015四川省高考压轴卷

数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

满分150分。

考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知是虚数单位，则=

A．B．C．D．

2．下列四个结论：

①若，则恒成立；

　　②命题“若”的逆命题为“若”；

　　③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；

　　④命题“”的否定是“”．

　　其中正确结论的个数是

　　A．1个B．2个C．3个D．4个

3.执行右图所示的程序框图，则输出的值为

A、B、C、D、

4．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是

A．B．

C．D．

5．对于函数，下列说法正确的是

A．是奇函数且在（）上递增B．是奇函数且在（）上递减

C．是偶函数且在（）上递增D．是偶函数且在（）上递减

6．定义：

在数列中，若满足（，d为常数），称为“等差比数列”。

已知在“等差比数列”中，则

A．B．C．D．

7．已知，则方程的根的个数是

A．3个B．4个C．5个D．6个

8．在中，内角的对边分别为且，则的值为

A．B．C．D．

9．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。

已知：

①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有

A．80种B．70种C．40种D．10种

10．已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若线段FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知集合，，则_____________.

12.若函数，则＝　　　　　

13的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．

14．过点作圆的弦，

其中弦长为整数的共有条。

15．已知两个正数，可按规律推广为一个新数，在三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作。

若，经过五次操作后扩充得到的数为为正整数），则

三、解答题：

本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16、（本小题满分12分）在中，分别为角的对边，设，

（1）若，且，求角的大小；

（2）若，求角的取值范围。

17.（本题满分12分）已知等差数列的前n项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

18．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.

（1）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；

（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE?

证明你的结论．

19．（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。

规定：

只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。

学生甲三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立。

（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。

记学生甲得到教育基金的金额为，求的分布列和数学期望。

20、（本小题13分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点。

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）与圆相切的直线交抛物线于不同的两点若抛物线上一点满足，求的取值范围.

21（14分）设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为。

（1）求，的值；（3分）

（2）证明：

当时，；（5分）

（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围。

（6分）

数学参考答案及评分意见（理工类）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

1、【答案】B

解析：

因为，所以选B.

2、【答案】C

解析：

对于①，令y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx≥0，则有函数y=x﹣sinx在R上递增，则当x＞0时，x﹣sinx＞0﹣0=0，则x＞sinx恒成立．则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，则②对；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；

对于④，命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．则④对．

综上可得，其中正确的叙述共有3个．故选C．

3、【答案】B

解析：

由程序框图的流程可知时，；

；；，然后得到

，满足题意，输出结果。

4、【答案】A

解析：

该器皿的表面积可分为两部分：

去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，s1＝6×2×2−π×12＝24−π，s2＝×4π×12＝2π，故s=s1+s2=π+24,故选A．

5、【答案】D

解析：

=x3cos（3x+）=﹣x3sin3x

由于f（﹣x）=﹣x3sin3x=f（x），可知此函数是偶函数，又x3与sin3x在（）上递增，可得f（x）=﹣x3sin3x在（）上递减，对照四个选项，D正确,故选D.

6、【答案】C

解析：

由题意可知：

．

∴数列{}为以1为首项以2为公差的等差数列．

∴．n∈N*

所以，故选C.

7、【答案】C

【解析】由，设f（A）=2,则f（x）=A,则，则A=4或A=，作出f（x）的图像，由数型结合，当A=时3个根，A=4时有两个交点，所以的根的个数是5个。

8、【答案】A

解析：

由得,又A为三角形内角，所以A=120°,则，所以选A.

9、【答案】C

解析：

Grace不参与该项任务，则有=30种；Grace参与该项任务，则有=10种，故共有30+10=40种,故选：

C．

10、【答案】C

解析：

由题意可知，一渐近线方程为y=x，则F2H的方程为y﹣0=k（x﹣c），代入渐近线方程y=x，可得H的坐标为（，），故F2H的中点M（，），根据中点M在双曲线C上，∴=1，∴=2，故e==，

故选：

C．

11、【答案】

解析：

由题意得，所以，故答案为。

12、【答案】

解析：

因为，所以，则令

可得，所以，则，而，则

，即，故答案为。

13、【答案】40

解析：

令则有，得，所以二项式为所以其常数项为所以答案为40.

14、【答案】32

解析：

由题意可知过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,所以共有弦长为整数有2+2×（26－10－1）=32.

15、【答案】13

解析：

因为p＞q＞0第一次得：

c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1，因为c＞p＞q，所以第二次得：

c2=（c1+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）-1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）-1=（p+1）3（q+1）2-1，第四次可得：

c4=（c3+1）（c2-1）-1=（p+1）5（q+1）3-1，故经过5次扩充，所得数为：

（q+1）8（p+1）5-1，∴m=8，n=5，则13.

16、解：

（1）由　f

（1）＝0，得a2－a2＋b2－4c2＝0，∴b＝2c

又由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC，将其代入上式，得sinB＝2sinC

∵B－C＝∴B＝＋C，将其代入上式，得sin（＋C）＝2sinC

∴sincosC＋cossinC＝2sinC，整理得，sinC＝cosC，∴tanC＝

∵角C是三角形的内角，∴C＝---------------6分

（2）∵　f

（2）＝0，∴4a2－2a2＋2b2－4c2＝0，即a2＋b2－2c2＝0------7分

由余弦定理，得cosC＝＝

∴cosC＝≥＝（当且仅当a＝b时取等号）---------------------10分

∴cosC≥，∠C是锐角，又∵余弦函数在（0，）上递减，∴0

17解答：

设的公差为，则由题得

则6分

（2）由

（1）得

则所求和为6分

18．解：

设正方体的棱长为1，以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为轴、轴、轴．则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），B1（0，0，1），D（0，1，0），D1（0，1，1），∵E是DD1的中点，∴E（0，1，），（-1，1，），（-1，0，1）．

（1）∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AD⊥平面ABB1A1，即（0，1，0）为平面ABB1A1的一个法向量，直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为：

；5分

（2）当点F为棱的C1D1中点时，B1F∥平面A1BE，证明如下：

由、的坐标可求得平面A1BE的一个法向量为（2，1，2），

∵点F在棱C1D1上，设，则（，0，0），

∴（，0，0）=（，1，1），

进而=（，1，1）-（0，0，1）=（，1，0）．

∵B1F∥平面A1BE，∴⊥，即，∴，

故点F为棱的C1D1中点时，B1F∥平面A1BE得到证明．7分

19、

（1）

（2）的分布列为

数学期望为--

解析：

（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝

所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为-------------4分

（2）的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分

，，

------------------9分

所以，的分布列为

数学期望为---------------------12分

20、

（1）………4分

（2）由圆心到直线的距离

设交点，，由

其中

………9分

代入

得

即………11分

，在都是单调递减函数…13分

21.解：

（1），

，

，．3分

（2），

设，，

，在上单调递增，

，在上单调递增，．

．8分

（3）设，

，

在

（2）中知，，

，11分

①当即时，，在单调递增，，成立．

②当即时，，

，令，得，

当时，，在上单调递减，不成立．

综上，．14分