年高考数学理科试卷及答案湖南卷.doc
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2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数等于（）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（）
A． B．C． D．
3．设是两个集合，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有
A． B．C． D．
5．设随机变量服从标准正态分布，已知，则=
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
6．函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
7．下列四个命题中，不正确的是（）
A．若函数在处连续，则
B．函数的不连续点是和
C．若函数，满足，则
D．
8．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）
A． B． C． D．
9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：
对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。
11．圆心为且与直线相切的圆的方程是。
12．在中，角所对的边分别为，若，b=，，则。
13．函数在区间上的最小值是。
14．设集合，，，
（1）的取值范围是；
（2）若，且的最大值为9，则的值是。
15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是。
三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知函数，。
（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值；
（II）求函数的单调递增区间。
17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望。
18．（本小题满分12分）如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且。
连结，如图3。
（I）证明：
平面平面；
（II）当，，时，求直线和平面所成的角。
19．（本小题满分12分）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）沿山脚原有一段笔直的公路可供利用。
从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元。
已知，，，。
（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；
（II）对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；
（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论。
20．（本小题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点。
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分13分）已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…。
（I）证明：
数列（）是常数数列；
（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
（III）证明：
当时，弦（）的斜率随单调递增。
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数 学（理工农医类）
参考答案
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。
11．12．13．14．
（1）
（2）
15．，32
三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
解：
（I）由题设知
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）。
所以
当为偶数时，，
当为奇数时，
（II）
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）
17．（本小题满分12分）
解：
任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．
（I）解法一：
任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
解法二：
任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，，，即的分布列是
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729
的期望是
（或的期望是）
18．（本小题满分12分）
解：
解法一：
（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面
（II）过点作于点，连结
由（I）的结论可知，平面，
所以是和平面所成的角
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，故
因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形
由题设，，，则所以，，
，
因为平面，，所以平面，从而
故，
又，由得
故
即直线与平面所成的角是
解法二：
（I）因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．
（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线 为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设，，，则，
，，相关各点的坐标分别是，
，，
所以，
设是平面的一个法向量，
由得故可取
过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上
因为，所以，
设（），由，解得，
所以
设和平面所成的角是，则
故直线与平面所成的角是
19．（本小题满分12分）
解：
（I）如图，
，，，
由三垂线定理逆定理知，，所以是
山坡与所成二面角的平面角，则，
设，．则
记总造价为万元，
据题设有
当，即时，总造价最小
（II）设，，总造价为万元，根据题设有
则，由，得
当时，，在内是减函数；
当时，，在内是增函数
故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元
（III）解法一：
不存在这样的点，
事实上，在上任取不同的两点，为使总造价最小，显然不能位于与
之间，故可设位于与之间，且=，，
，总造价为万元，则．类似于（I）、
（II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．
解法二：
同解法一得
当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一。
20．（本小题满分12分）
解：
由条件知，，设，．
解法一：
（I）设，则则，，
，由得
即于是的中点坐标为
当不与轴垂直时，，即
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即
将代入上式，化简得
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程
所以点的轨迹方程是
（II）假设在轴上存在定点，使为常数
当不与轴垂直时，设直线的方程是
代入有
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
因为是与无关的常数，所以，即，此时=
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时
故在轴上存在定点，使为常数
解法二：
（I）同解法一的（I）有
当不与轴垂直时，设直线的方程是
代入有
则是上述方程的两个实根，所以
由①②③得④⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得。
当时，点的坐标为，满足上述方程
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程。
故点的轨迹方程是。
（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，
当不与轴垂直时，由（I）有，。
以上同解法一的（II）。
21．（本小题满分13分）
解：
（I）当时，由已知得
因为，所以①于是②
由②－①得③于是④
由④－③得，⑤
所以，即数列是常数数列
（II）由①有，所以．由③有，，所以，而⑤表明：
数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，
所以，，，
数列是单调递增数列且对任意的成立。
且
即所求的取值集合是
（III）解法一：
弦的斜率为
任取，设函数，则
记，则，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
所以时，，从而，所以在和上都是增函数
由（II）知，时，数列单调递增，
取，因为，所以
取，因为，所以
所以，即弦的斜率随单调递增
解法二：
设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以：
，
故，即弦的斜率随单调递增。
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