一元二次函数方程和不等式Word文件下载.docx
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+q2=8,则屠的取值范围•
15.用一根长为12m的铝合金条做成一个"
目"
字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗戸通
过的阳光最充足，则框架的宽为m；
高为m.
16.泄义f（a,b）=f+:
品；
：
£
驚其中max｛a,b｝表示a,b中较大的数.对HxGR,
设a=x2,b=-x2+2x,函数讥x）=f（a,b）,则:
（1）0（-1）=:
（2）若g（x）>
g（x2）,贝IJ实数X的取值范围是•
三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17（12分）.已知集合A=｛x\m-S<
x<
m-1｝，函数/（x）=lg（-x2+x+6）的
定义域为B.
（I）当m=2时，求AUE,月CB;
（口）若ACB工0，求实数m的取值范围.
18（12分）•已知函数f（x）=ax2+（a-3）x+2（其中aER）
（1）当a=-l时，解关于x的不等式f（x）<
0：
（2）若f（x）>
-1的解集为R,求实数a的取值范用.
19（12分）•设函数/'
（£
）=|咒+1|—|刘的最大值是m・
（1）求m的值；
（2）若正实数a、b满足4a+3b=m,求二=+2■最小值及此时a、b的值；
2a+ba+b
（3）若正实数a、b满足a+b=2m,求匸^+二的最小值及此时a、b的值.
ab+1
20（i2分）•已知函数/*（%）=ax2—（a+l）x+1,aER・
（1）若不等>
-%-2对xGR恒成立，求实数Q的取值范围;
（2）当aWR时，求关于％的不等式f（x）>
0的解集・
21（12分）•已知函数/（%）=2x（xER）・
（1）解不等式f（兀）一/（2x）>
16-9X2”：
（2）若函数/'
（%）=g（x）+心），其中g（x）为奇函数，々x）为偶函数，若不等式2ap（x）+h
（2%）>
0对任意咒G[1,2]恒成立，求实数a的取值范屁
22（12分）•如图，在梯形43CD中，DC//AB,DA=CB=AB=1,DC=AC
（1）求DC；
（2）平而内点P在DC的上方，且满足ZDPC=3ZACB.求DP+CP的最大值.
第二章一元二次函数、方程和不等式
1•不等式（％+1）（%-2）<
【「】c
【解析】一元二次方程（兀+1）（%-2）=0的根为小=-1^2=2,据此可得：
不等式仗+1）（%-2）<
0的解集为（-1,2）.
故答案为：
C.
2•已知实数%』满足x>
0,且x+y=l,则最+三的最小值为（
【答案】B
x+3y
【解析】召+丄=（召+屯（竺产）今［3+窖+注］x+3yx-yvx+3yx-jrv2z2Lx+3yx-yJ
>
i［3+2/g.注］=旦
—2Lyjx+3yx-yJ2
B
【答案】D
所以Qb的最大值
【解析】依题意ab<
（響2=（护=》当且仅当a=b=3时等号成立,为9・故答案为：
D4•若关于兀的一元二次不等式ax2+2x+l>
0的解集为R,则实数a的取值范围是（）
A.（l^+oo）B.（0,1）C.（一8,1）D.（一汽0）U（0,1）
【答案】A
【解析】由于关于x的一元二次不等式ax?
+2x+1>
0的解集为则｛力=：
j；
v0'
解得a>
1・
因此，实数a的取值范国是（1,+8）.故答案为：
A.
5•设G/?
+（+y）（m+g）na恒成立，则实数a的最大值为（）
A.2B.4C.8
【融'
析】由十（x+y）（£
+2）=2+中+*N2+2（三•*=4,当且仅当尤=y而%‘yGR*,（x+y）G+2）-a恒成立，故a<
4,也即a的最大值为4.
aty
B.
X>
1
6•已知益y满足｛x+y-3<
0,则目标函数z=%—y—2的最小值为（%-2y-3<
0
A.-4B.-3C.-1
D.16
=1时等号成立,
D.1
=x-z-2,
【解析】画出不等式组对应的可行域，如图所示，由z=x-y-2可得y
数形结合可得当直线y=咒-z-2经过点B时z取到最小值，
由&
+：
［；
=0可得点B（1,2），
所以z=x-y-2的最小值为z=l-2-2=-3
7.若a<
0,则关于x的不等式X2—4ax—5a2>
0的解是（）
D.—a<
x
A.x>
5a或x<
—aB.x>
—a或x<
5aC.5a<
~a
<
5a
【解析】由xz-4ax-5a2=0有（%+«
）（%-5a）=0
所以方程兀2-4ax一5a2=0的两个实数根为巾=一a,x2=5a
因为a<
0,所以口>
x2
所以由不等式送—4ax—Sa2>
0得x>
—a,或％<
5a
B8•函数f（咒）=x+丄（咒>
2）最小值是（）
A.1B.2C.3D.4
【解析】•••x>
2，即x-2>
0,
"
）=尤+占=—2+±
+2珂（—2）三+2=4,
当且仅当x-2=-^-，即兀=3时取等号，
x-2
所以函数/'
（X）最小值是4,
D.
9•已知0<
a<
1,OVbVl,且4（a+b）=4ab+3,贝怙+2b的最大值为（）
A.2B.2\/2C.3-V2D.3-2\/2
【答案】c
【解析】•・•4（a+b）=4ab+3,・•・4ab—4a—4b+3=0,配凑得：
4ab—4a—4b+4=1,两边同时除以4得：
ab—a—b+1=即（1—a）（l一b）=扌，
1
—x——
Zx
令兀=1—a>
0,y=1—b>
0,则a=1—%,b=l—y,y=—>
所以a+2b=1—兀+2（1—y）=—兀一2y+3==-（^+^）+3<
-2^x•^+3=3-V2（当且仅当x=^即"
乎时，等号成立）.故答案为：
10•下列各组中，不同解的是（）
|2x+6\（xGR）与（x一3）2>
D-:
:
左鳥S°
与（x-2）（x-3）（x+l）（x+2）<
【解析】对于A：
・・•%2-4%+12=（%-2）2+8>
8>
0,所以一>
1与咒>
%2-4%+
v/x2-4x+12
12两个不等式的解集相同；
对于B：
因为|a|>
|b|与a?
>
沪等价，所以-3|>
\2x+6\（xGR）与（x—3）2>
两个不等式的解集相同：
对于C：
根据绝对值不等式|x|>
a（a>
0）等价于x>
a或x<
a知:
|x2—2x|>
3与/—2x>
3或/-2x<
一3的解集相同；
对于D：
根据鬻<
0Q/（^（/（/（学。
知：
号船<
0等价于（x-2）（x-3）（x+l）（x+
2）<
0且（x+l）（x+2）工0,所以D中的两个不等式不同解，
X.已知AABC的内角A,B,C满足sin2>
l+sin（>
l-B+C）=sin（C->
4-B）+1,面积S满
足1SSS2,记a、b、c分别为A,B,C所对的边，则下列不等式一定成立的是（）
8B.ab（a+b）>
16逅C.6<
【解析】解：
TA、B、C是2L48C的内角，且满足
sin2力+sin（4—3+C）=sin（C一力一3）+f
sin2>
4++sin[（n—B）—B]=—sin（4+3—C）+扌
sin2A+sin（n—2B）=—sin（兀一2C）+f
即：
sin2i4+sin2B=—sin2C+-
2
4+sin2B+sin2C=-
•••sin2B=sin[（B+C）+（3—C）]=sin（B+C）cos（B一C）+cos（B+C）sin（B—C）
sin2C=sin[（C+B）+（C—B）]=sin（C+E）cos（C—3）+cos（C+B）sin（C一B）
=sin（B+C）cos（E—C）一cos（B+C）sin（B—C）
/.sin2>
l+sin2B+sin2C=sin2>
4+2sin（B+C）cos（E—C）=f
2sin4cos力+2sin?
lcos（B—C）=f即：
2sinA[cos（B—C）—cos（B+C）]=扌
/.2sin>
4・2sinBsinC=土即：
sinAsinBsinC=-
28
设外接圆的半径为R，由正弦左理得:
===2R
sinAsinBsinC
Fhs=^absinC及正弦左理得:
S=i・2RsinA・2RsinB・sinC
sinA-sinB-sinC=—
•••拾Y即：
R_4S
•/而积S满足1SSS2
/.4<
R2S8即：
2<
R<
2\/2
又•••sinAsinBsinC=|
・•・abc=8R3X-=R3
8
/.8<
16\/2
显然C、D不一泄正确
A・bc（b+c）>
abc>
8,即：
bc（b+c）>
8正确
B.ab（a+b）>
ab（a+b）>
8但ab（a+b）>
16逅不一左正确故答案为：
A
12•设函数f（x）=logjx|在CfO）上单调递增,则f（a+l）与f
（2）的大小关系是（）
log,（-X）,（-8,0）
Ja
logX,xE（0,+8）
【解析】解答：
由f（x）=I%
且f（x）在（-g,0）上单调递增，易得OVaVl.
・•・l<
a+l<
2.
又Tf（x）是偶函数，
/.f（x）在（0,+x）上单调递减.
・・・f（a+1）>
f
（2）.
答案:
二、填空题：
13.已知实数x,y,z满足：
｛”¥
；
'
2：
=336,则kl+lyl+kl的最大值为•
【答案】1+2血
【解析】首先&
y,z至少有一个正数，
⑴如果x>
0fy>
0fz>
0.则由x+y+z=3得②”z€[0,3],x2+y2+z2<
27<
36>
不成立：
⑵若益中只有一个负数，不妨设x>
0fz<
0,
则一z=x+y-3,z2=（x+y）2-6（x+y）+9,又z2=36-（x2+y2）<
36-^^,
・•・（%+y）2-6（%+y）+9<
36-即（%+y）2-4（%+y）-18<
x+y<
2+V22>
\x\+\y\+\z\=x+y-z=2x+2y-3<
l+2\/22,当且仅当x=y=1+z=l-
辰时等号成立；
⑶若x,y,z中有两个负数，不妨设x>
0,y<
0,z<
则一y-z=%-3,y2+z2=36-x2>
.・■36_x2>
-2x-21<
0,0<
%<
1+\<
22,
kl+"
I+|z|=x-y-z=2x-3S1+2n/22,当且仅当x=1+V22.y=z=l-兰时
等号成立；
综上所述,|x|+|y|+|z|的最大值是1+2屁.
1+2血
14.函数f（x）="
—a2—4（a>
0,xGR）,若p2+q2=8,则需的取值范围.
【答案】[2-阿2+两
尖=竺凳=三呉，表示点严=1，与B（a+-,a+-）连线的斜率，
f（p）ap-a—4p-（a+j））=_3・、&
a，
因为a>
0,所以a+->
2/T^=4,当且仅当a=即a=2时等号成立，
aaa
所以取点E（4,4）,因为p2+g2=8,所以广=1，在以原点为圆心，2逅为半径的圆上,b=—3.
当佃与圆的切线CE重合时，斜率最小；
与DE重合时，斜率最大.
设过E的直线m<
V10-1与圆相切，即原点到y-kx+4k-4=0的距离为半径，即些孕=2@,整理得fc2_4k+l=0,解得.k=2±
V3,
Vl+lr
所以供的最小值为2-屆兴的最大值为2+V3,
/（p）f（p）
[2—\'
3,2+、③•
字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通
【答案】3
【解析】设窗户的宽为x,则英高为6-2%,要使阳光充足，只要而积最大,S=%（6-2%）=
2x（3-%）<
2X=p当且仅当x=|lht等号成立，这时髙为3m.
I；
3
16.泄义f（a,b）=f+[V°
，其中max{a,b}表示a,b中较大的数.对HxGR,
7•max{a,b}#a+b>
设a=x29b=-x2+2x9函如O）=f（a,b）,贝叽
1）<
7（-l）=；
（2）若g（%）>
g（x2）,则实数x的取值范围是•
【答案】<
1）-3.
（2）{x|-1<
%<
0或0VxV1}
【解析】
（1）先求出eb,再求g（—l）得解；
（2）先求出g（x）fg（x2）的解析式，再分类讨论解不等式得解.
三、解答题（共70分。
17（12分）.已知集合A={x\m-5<
m-l}=lg（—x+x+6）,12/（x）的
立义域为B.
（I）当m=2时，求AUB,AHB;
（口）若ACB工0，求实数m的取值范吊I.
【答案】解：
（I）当TH=2时，得4={%|-3<
x<
1},
由一以+%+6>
0，得B={x|—2VxV3},
于是4UB={%|-3<
3},
AC\B=（x\-2<
1};
（II）若ACBH0,
得一1VmV8.
（l）利用对数貞•数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合由此求得SU3,
AHB•（II）根据ACBH0列不等式组，解不等式组求得实数m的取值范用.
18（12分）.已知函数f（x）=ax2+（a-3）x+2（其中aSR）.
（1）当a=-l时，解关于x的不等式f（x）<
（2）若f（x）>
—1的解集为R,求实数a的取值范围.
【答案】
（1）解：
当a=-l时，由/（%）<
0得，一以一4兀+2<
0,
所以xz+4x-2>
0,所以不等式的解集为（一8,-V6-2）U（V6-2,+叼
19（12分）•设函数f（£
）=|%+l|—冈的最大值是m・
（1）求m的值；
（2）若正实数a、b满足4a+3b=m,求二2■最小值及此时a、b的值；
（3）若正实数a、b满足a+b=2m,求二上+吕的最小值及此时a、b的值.
根据绝对值三角不等式：
k+ll—kl<
k+l—xl即可求出f（x）的最大
值为1，即得出m=l；
（2）解：
由
（1）可知4a+3b=l,因为a>
0,b>
（2（a+b）
2a+b
J2a+b
a+b
3+2
=3+2^2
当且仅'
［黯=空，即2a+b=y/2（a+b）,又4a+3b=l,所以a=等，b=3—2逅时取等号；
所以2a+b-a+b
1+岛最小值为3+2血此时“宁，b=3-2竝
（3）
b+1
解：
由
（1）得a+b=2.a>
0,b>
0,所以M+二=a+三+丄）匸2（中+1）+丄ab+1a
2121
ak7b+1ab+1
a+b+12112（b+1）a
++亍〔3+^+中]
当且仅当竺巴即°
=6-3返』=3返一4时取等号:
ab+1
【解析］
（1）根据绝对值三角不等式:
|x+l|-|x|<
|x+l-x|即可求岀门幻的最大值为1,即得出m=X
（2）由⑴可知4°
+3b"
所以岛+岛=（岛+岛）［（2a+b）+2（a+b）］利用乘"
T法求岀最小值;
（3）由
（1）得a+b=2,a>
0,所以普+磊=
1+^3+呼+尙］,再利用基本不等式计算可得：
20（12分）•已知函数/（%）=ax2-（a+l）x+ItaER・
（1）若不等iV（x）>
-X一2对xER]b成立，求实数Q的取值范用；
（2）当aER时，求关于x的不等式f（x）>
0的解集.
由题意得ax2-（a+l）x+l>
-x-2对xGR恒成立
HPax2-ax+3>
0对兀6R恒成立
若。
=0,则不等式3>
0恒成立
综上，实数a的取值范用为[0,12）
（2）解：
不等式f（x）>
0为（x-l）（ax-l）>
0.若a=0,则不等式为一（咒—1）>
0»
若a>
0,则不等式可化为（X-1）（%一》>
1当扌>
1即0VaVl时，不等式解为x<
ln^>
^,
2当扌=1即a=1时，不等式解为尤工1,
3当右V1即a>
1时，不等式解为尤>
1或％V土,aa
若aV0,则不等式可化为（咒一1）（%一扌）V0解得扌<
1,
综上，当aVO时，不等式解集为
当a=0时，不等式解集为（—8,1）,当OVaVI时，不等式解集为（-8,l）u（=+8）,
a
当a=1时，不等式解集为（一8,i）u（1,+Q）,
当a>
1.时，不等式解集为（一8,»
U（1,+叼.
（1）/（%）>
-%-2^fx6R恒成立转化为ax2-ax+3>
0）^xGR恒成立，结合二
次项情况可得解；
（2）对a分情况讨论，再解一元二次不等式可得答案.
21（12分）•已知函数/（%）=2x（xGR）・
（1）解不等式f（咒）一/（2x）>
（2）若函数f（x）=g（x）+g）,其中g（x）为奇函数，々x）为偶函数，若不等式2ag（x）+h
（2x）>
0对任意xG[1,2]恒成立，求实数a的取值范围.
设t=2*,由f（X）>
16-9x2x得：
t・t2>
16・9t,
即t2-10t+16<
・•・不等式的解集为（1,3）.
・•・2<
t<
8,即2<
2X<
8.・•・l<
3
22x+2-2«
_（2X_2-^）2+2_12
2ag（x）+h（2x）>
0,RP（2X—2-x）aH亍——>
0.对任意xG[lt2]恒成立,
XxG[l,2]时，令t=2J2=tG[|£
],
2（2X-2'
X）"
~（2X-2"
X）—亍（t+p
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