小学奥数教程幻方一全国通用含答案Word格式文档下载.docx

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一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．

⑵适用于三阶幻方的三大法则有：

1求幻和：

所有数的和÷

行数（或列数）

2求中心数：

我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷

3．

÷

2．

角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和

四、数独

数独简介：

（日语：

数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

如今数独的雏型首先于1970年代由美国的一家数学逻辑游戏杂志发表，当时名为NumberPlace。

现今流行的数独于1984年由日本游戏杂志《パズル通信ニコリ》发表并得了现时的名称。

数独本是“独立的数字”的省略，因为每一个方格都填上一个个位数。

数独可以简单的数为：

让行与列及单元格的数字成规律性变换的一类数字谜问题

解题技巧：

数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。

总结4个小技巧：

1、巧选突破口：

数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？

首先我们要通过规则的限制来分析

每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；

而大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关系的限制。

2、相对不确定法：

有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定不

会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。

举例说明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置不可能出现1或者2.

3、相对排除法：

某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字

进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。

举例说明，A行中已经确定5个数字，还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，这个时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以不用考虑A1，这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。

4、假设法：

如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进行

无意义的假设，假设的原则是：

如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。

举例说明，

B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们就应该假设B3填入2，这样就可以确定A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理，如果推出违反规则的情况出现，那么这个假设就是错误的，我们回到假设点重新开始。

例题精讲

模块一、构造幻方

【例1】33的正方形中，在每个格子里分别填入1~9的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的

和相等（请给出至少一种填法）．

【考点】构造幻方【难度】1星【题型】填空

【解析】方法一：

第一步：

求幻和：

（1239）315

第二步：

求中心数：

我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：

除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即15460，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：

（6045）35第三步：

确定四个角上的数．由于在同一条直线上的三个数的和是15，所以如果某格中的

数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同，所以四个角上的数必为偶数．

第四步：

用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，

共8解，下图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：

方法二（对易法）：

南宋数学家杨辉概括为:

“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”．即：

先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对调，最后把4个不

在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了．

方法三（阶梯法）：

阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的．这个方法看起来有点像对易法，但又完

n阶方阵从四周向外扩

全不一样，十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方．这个方法把展成阶梯状，然后把n2个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内

其对边部分去，即构成幻方．下图表示了如何用阶梯法构成3阶幻方．

方法二和方法三中将1~9按8个不同的方位排列就可以得到本题8个不同的解．

方法四（罗伯法）：

把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：

答案】

例2】33的正方形格子中，在每个格子里分别填入2~10的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个

数的和相等（请给出至少一种填法）．

考点】构造幻方【难度】2星【题型】填空

解析】第一步：

（234910）318．

除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即18472，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：

（7254）36．

第三步：

确定四个角上的数：

用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数．

用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共8解．下图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：

10

其他方法这里不再做介绍，同学们可以自己尝试练习．答案】

例3】用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。

解析】方法一：

给出的九个数形成一个等差数列，1～9也是一个等差数列．不难发现：

中间方格里的数

字应填等差数列的中间数，也就是第五个数，即应填19；

填在四个角上方格中的数是位

于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13251721；

余下各数就不难填写了（见下图）．

13

27

17

23

19

15

21

11

25

与幻方相反的问题是反幻方．将九个数填入33（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方．

方法二：

用阶梯法，在三阶幻方的上下左右的中间添加一格，先将数字按从小到大的顺序，以斜行方向从左下向右上依次填写，再把添加格内的数填到本行（或本列）中相隔两行（或两列）的方

格中．

考点】构造幻方【难度】3星【题型】填空

9，最小的数是1，且横加、竖加、

20，而91120，因此，如果原

解析】观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是对角线方式相加结果相等．根据题意，要求新制的幻方最大数为表中的各数都增加11，就能符合新表中的条件了．如下图．

20

14

16

18

12

例5】从1、2、3⋯20这20个数中选出9个不同的数放入3×

3的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。

这个9个数中最多有个质数。

考点】幻方性质【难度】4星【题型】解答关键词】走美杯，四年级，初赛，第4题解析】

答案】7

例6】请你将1~25这二十五个自然数填入55的空格内使每行、每列、每条对角线上的五数之和相等．考点】构造幻方【难度】2星【题型】填空

解析】①罗伯法：

教师边写边说口诀：

“一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样”．见第二个图．这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方．

24

22

②阶梯法：

阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的．这个方法十分简单而巧妙，适用于所

有奇数阶幻方．这个方法把n阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把n2个自然数顺阶梯方向先

码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方．下面的图⑴和图⑵表示

了如何用阶梯法构成5阶幻方．图⑴中顶边以上的4、5、10三个数在图⑵中被移入底边上方相应的3个原先为空的方格中，其余三侧照此处理．

⑴⑵

⑵练习：

大家一起来练习用罗伯法写个七阶的幻方，注意强调细节．上出框与右出框的处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法——“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上．强调这种方法适用于任意奇数阶幻方．

模块二、幻方性质

任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定

例7】将九个数填入下图的九个空格中，使得任一行、数k，则中心方格中的数必为k3．

考点】幻方性质【难度】4星【题型】解答

解析】略

答案】因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k．如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中

心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次．所以有：

九数之和+中心方格中的数34k，

3k中心方格中的数34k，

中心方格的数k3

注意：

例题中对九个数及定数k都没有特殊要求．这个结论对求解33方格中的数阵问题很实用．

例8】请编出一个三阶幻方，使其幻和为24．

考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空

解析】⑴根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为2438．

⑵既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16

呢？

11516，21416，31316，41216，51116，61016，7916⑶按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案．

60．

巩固】将九个连续自然数填入下图的九个空格，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于

A

D

B

C

考点】解析】

幻方性质

⑴

⑵

难度】

3列得：

3星【题型】填空

A12DD2011，A122011，A19．实际上它即为每行、每列的三个数的和．

巩固】

从1行和观察对角线上的三个数的总和，A151119151145．B45（1619）10．D45（2011）14．C45（1611）18．∴A19、B10、C18、D14．

A19、B10、C18、D14

在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则

对角线上的三个数的和：

N=

N

考点】幻方性质【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯，四年级，复赛，第9题，5分解析】122618

答案】18

巩固】在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21．

考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空解析】根据题意填法如下：

巩固】在图1所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等。

那么标有“★”的方格内应填入的数是.

☆

考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空关键词】希望杯，六年级，初赛，第4题，6分

解析】

例11】在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下图．请你在其他方格中

填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27．

解析】为了叙述方便，我们将其余方格用字母表示，如上右图所示．根据题意可知：

AB527

（1）

5CE27

（2）

5DG27（3）

6CD27（4）

A6E27（5）

ACG27（6）

BCF27（7）

EFG27（8）

由中心数幻和3得知：

C2739．

将C9代入（4），得D12，将C9代入

（2），则E13．

将D12代入（3），则G10．将E13代入（5），则A8．将A8代入

（1），则B14．将B14、C9代入（7），则F4．

由分析可知，中心方格必须填数字9，其他方格中也只有一种填法．见右上图．

57

巩固】在下图的空格里填入七个自然数，使每一行、每一列及每一条对角线上的上的三个数的和都等于90．

47

行第三列的数为（2357）240，由2db知第

考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空解析】中心数90330，又由c（ab）2知第

行第二列的数是302573；

第一行第一列的数是9040347；

第二行第三列的数是90233037；

第三行第一列的数是90472320；

第三行第三列的数是90205713，所以答案见右上图．

40

30

37

巩固】右图中有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。

问：

图中左上角的数是多少?

？

考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空关键词】华杯赛，初赛，第9题

解析】如图，设相应方格中的数为x1，x2，x3，x4。

x1

x2

x3

x4

由已知条件：

行、列及对角线的三个数的和都相等，可以列出下面的等式（方程）：

?

十x1十x2＝?

＋x3＋x4＝x1＋x3＋13＝x2十19＋x4，这样，前面两个式子的和就等于后面两个式子的和，即有2×

＋x1十x2＋x3＋x4＝13＋19＋x1十x2＋x3＋x4所以2×

＝13＋19？

＝1319＝16，左上角的数

是16

答案】16

★”代表的数是

巩固】图中是一个33幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中

★

考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空关键词】学而思杯，4年级，第11题

解析】总和为18★，左下角应该是16，中间应该是★8=（10+16）÷

2=13，所以★13821答案】21

巩固】图中A,B,C，D时，它才能构成一个三阶幻方？

26

解析】从第一列第三行可知A251926,A20．又由两条对角线可知D222026,得D24．再由每行和可知20B22252C32419，2由此，其余各数都可求得，即A20,B27,C21,D24

答案】A20,B27,C21,D24

巩固】在如图所示的九宫图中，不同的汉字代表不同的数，每行、每列和两条对角线上各数的和相等。

已知中＝21，学＝9，欢＝12，则希，望，杯的和是。

中

小

学

希

望

杯

受

欢

迎

考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空关键词】希望杯，六年级，二试，第10题，5分解析】可通过设未知数填出整个幻方，希望杯的和为54。

答案】54

角线上的四个数字所组成的四位数

例12】在下面的44方格中填入0～9中的数字，使得每行每列的和等于每行的右端及每列的下端所写的数字．其中，所有的0都已经填好，而且同一行或者同一列中不允许出现相同的非零数字．则对

ABCD是

7209

考点】幻方性质【难度】3星【题型】填空关键词】学而思杯，5年级，第9题解析】突破口在D，横看D的结果可以是3也可以是1，但是竖看D若为1D上面的空格为11，不符合方格中填0～9中数字，所以D为3，依次类推出A为1，所以答案为1963

答案】1963

巩固】方格中的图形符号“◇”，“○，”“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号代表相同的数，如图所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别是36，50，41，37，则第三行的四个

数的和为

◇

○

△