小学奥数教程幻方一全国通用含答案Word格式文档下载.docx

1、一居上行正中央，后数依次右上连上出框时往下 填，右出框时往左填排重便在下格填，右上排重一个样适用于三阶幻方的三大法则有：1求幻和： 所有数的和 行数（或列数）2求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫 “中心数 ”，中心数幻和 32角上的数 = 与它不同行、不同列、不同对角线的两数和四、数独数独简介： （日语：数独 ）是一种源自 18 世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大 的数学智力拼图游戏。如今数独的雏型首先于 1970 年代由美国的一家数学逻辑游戏杂志发表，当时名为 Number Place。现今流行的数独于 1984 年由日本游戏杂志通信发表并得了现时的名称。数 独本是 “独立

2、的数字 ”的省略，因为每一个方格都填上一个个位数。 数独可以简单的数为：让行与列及单元格 的数字成规律性变换的一类数字谜问题解题技巧： 数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个 空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。总结 4 个小技巧：1、 巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、 所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知 的数

3、字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关 系的限制。2、 相对不确定法：有的时候我们不能确定 2 个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定不会出现什么数字， 这个就是我们说的相对不确定法。 举例说明， A1 可以填入 1或者 2，A2 也可以填 入 1 或者 2，那么我们可以确定， 1 和 2 必定出现在 A1 和 A2 两者之中， A 行其他位置不可能出现 1 或者 2.3、 相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明， A 行中已经确定 5 个

4、数字，还有 4 个数字（我们假设是 1、 2、 3、 4）没有填入，通过这 4 个空格所在的其他单元我们知道 A1 可以填 入 1、2、3、4，A2 可以填入 1、3，A3 可以填入 1、2、3， A4 可以填入 1、3，这个时候我们可以 分析，数字 4 只能填入 A1 中，所以 A1 可以确定填入 4，我们就可以不用考虑 A1 ，这样就可以发现 2 只能填入 A3 中，所以 A3 也能确定， A2 和 A4 可以通过其他办法进行确定。4、 假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这

5、个空格处在同一个单 元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。举例说明，B3 可以填入 1 或者 2，A3 可以填入 2或者 3，B4 可以填入 1 或者 2，这个时候我们就应该假设 B3 填入 2，这样就可以确定 A3 填入 3，B4 填入 1，然后以这个为基础进行推理，如果推出违反规则的 情况出现，那么这个假设就是错误的，我们回到假设点重新开始。例题精讲模块一、构造幻方【例 1】 3 3的正方形中，在每个格子里分别填入 1 9的 9个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法） 【考点】构造幻方 【难度】 1 星 【题型】填空【解析】

6、 方 法一：第一步：求幻和： （1 2 3 9） 3 15第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫 “中心数 ”，仔细观察可以发现：除了 对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上 的数字总和是幻和的 4 倍，即 15 4 60 ，显然，在这个总和中， 中心数用了四次， 其余各数正好各用一次，所以中心数应是： （60 45） 3 5 第三步：确定四个角上的数由于在同一条直线上的三个数的和是 15，所以如果某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同，所以四个角 上的数必为偶数第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调

7、得到其它各解，共 8 解，下图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：方法二（对易法） ：南宋数学家杨辉概括为 : “九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出 ”即：先把 1到 9九个 数字按顺序斜着排列，再把上下的数字 1和 9对调，左右的数字 7和 3对调，最后把 4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了方法三（阶梯法） ：阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的这个方法看起来有点像对易法，但又完n阶方阵从四周向外扩全不一样，十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方这个方法把 展成阶梯状，然后把 n2 个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去

8、，即构成幻方下图表示了如何用阶梯法构成 3 阶幻方方法二和方法三中将 1 9按 8个不同的方位排列就可以得到本题 8 个不同的解方法四（罗伯法） ：把 1 （ 或最小的数 ） 放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：答案】例 2】 3 3的正方形格子中，在每个格子里分别填入 210 的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法） 考点】构造幻方 【难度】 2 星 【题型】填空解析】 第 一步： （2 3 4 9 10） 3 18除了对角线外， 第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的 4 倍，即 18 4 72 ，显然，在这个总和

9、中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所 以中心数应是： （72 54） 3 6 第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数 用尝试法填一个基本解， 以基本解为基础， 可绕中心旋转与对调得到其它各解， 共 8 解下 图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：10其他方法这里不再做介绍，同学们可以自己尝试练习 答案】例 3】 用 11，13，15，17，19，21，23，25， 27编制成一个三阶幻方。解析】 方法一：给出的九个数形成一个等差数列， 19 也是一个等差数列不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的中间数，也就是第五个数，即应填 19；填在四个角上方格中的数

10、是位于偶数项的数，即 13， 17，21，25，而且对角两数的和相等，即 13 25 17 21；余下 各数就不难填写了 （见下图 ）132717231915211125与幻方相反的问题是反幻方将九个数填入 3 3 （三行三列 ）的九个方格中，使得任一行、 任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方方法二：用阶梯法，在三阶幻方的上下左右的中间添加一格，先将数字按从小到大的顺序，以斜行 方向从左下向右上依次填写，再把添加格内的数填到本行 （或本列 ）中相隔两行 （ 或两列 ）的方格中考点】构造幻方 【难度】 3 星 【题型】填空9，最小的数是 1，且横加、竖加、20

11、，而 9 11 20 ，因此，如果原解析】 观察原表中的各数是从 19 不同的九个自然数，其中最大的数是 对角线方式相加结果相等根据题意，要求新制的幻方最大数为 表中的各数都增加 11，就能符合新表中的条件了如下图2014161812例 5】 从 1、2、320 这 20个数中选出 9个不同的数放入 33 的方格表中，使得每行、每列、每条对角 线上的三个数的和都相等。这个 9 个数中最多有 个质数。考点】幻方性质 【难度】 4 星 【题型】解答 关键词】走美杯，四年级，初赛，第 4 题 解析】答案】 7例 6】 请你将 1 25这二十五个自然数填入 5 5 的空格内使每行、每列、每条对角线上的

12、五数之和相等 考点】构造幻方 【难度】 2 星 【题型】填空解析】 罗伯法：教师边写边说口诀： “一居上行正中央，后数依次右上连上出框时往下填，右出框 时往左填排重便在下格填，右上排重一个样 ”见第二个图这是法国人罗伯特总结出的 “罗伯 法”，它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数 阶幻方2422阶梯法：阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的这个方法十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方这个方法把 n 阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把 n 2个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方下面的图 和图 表示了如

13、何用阶梯法构成 5阶幻方图 中顶边以上的 4、5、10 三个数在图 中被移入底边上方相应 的 3 个原先为空的方格中，其余三侧照此处理练习：大家一起来练习用罗伯法写个七阶的幻方，注意强调细节上出框与右出框的处理有时不 容易把握，老师隆重推荐大家一种方法 “卷纸筒 ”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右 上填的位置正好在下边的对应点上强调这种方法适用于任意奇数阶幻方模块二、幻方性质任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定例 7】 将九个数填入下图的九个空格中，使得任一行、 数 k ，则中心方格中的数必为 k 3 考点】幻方性质 【难度】 4 星 【题型】解答解析】 略答案】因为每行的三数之和

14、都等于 k ，共有三行，所以九个数之和等于 3k 如右上图所示，经过中心方格 的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于 k，四条虚线上的所有数之和等于 4k ，其中只有中心方格中的数是 “重叠数 ”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次所以有： 九数之和 +中心方格中的数 3 4k ，3k 中心方格中的数 3 4k ，中心方格的数 k 3注意：例题中对九个数及定数 k 都没有特殊要求这个结论对求解 3 3方格中的数阵问题很实用例 8】 请编出一个三阶幻方，使其幻和为 24 考点】幻方性质 【难度】 3 星 【题型】填空解析】 根据题意，要求其三阶幻方的幻和为 24，所以中心数为 24

15、3 8 既然 8 是中心数，那么与 8在一条直线的各个组的其余两数的和为 16，想一想哪两个数相加为 16呢？1 15 16，2 14 16，3 13 16， 4 12 16，5 11 16，6 10 16，7 9 16 按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案60巩固】将九个连续自然数填入下图的九个空格，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于ADBC考点】 解析】幻方性质难度】3 列得：3 星 【题型】填空A 12 D D 20 11， A 12 20 11 ， A 19 实际上它即为每行、 每列的三个数的和巩固】从 1 行和 观察对角线上的三个数的总和， A 15 11 1

16、9 15 11 45 B 45 （16 19） 10 D 45 （20 11） 14 C 45 （16 11） 18 A 19、 B 10、C 18、 D 14A 19、 B 10、C 18、 D 14在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则对角线上的三个数的和：N=N考点】 幻方性质 【难度】 2 星 【题型】填空 关键词】希望杯，四年级，复赛，第 9题， 5分 解析】 12 2 6 18答案】 18巩固】在下面两幅图的每个空格中，填入 7 个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于 21考点】幻方性质 【难度】 3 星 【题型】填空 解析】 根 据题意填

17、法如下：巩固】在图 1 所示的和方格表中填入合适的数 ,使得每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等。那么 标有 “ ”的方格内应填入的数是 .考点】幻方性质 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】希望杯，六年级，初赛，第 4题， 6分解析】例 11】 在九宫图中，第一行第三列的位置上填 5，第二行第一列位置上填 6，如下图请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为 27解析】 为 了叙述方便，我们将其余方格用字母表示，如上右图所示根据题意可知：A B 5 27（1）5 C E 27（2）5 D G 27（3）6 C D 27 （4）A 6 E 27 （5）A

18、C G 27（6）B C F 27（7）E F G 27 （8）由中心数 幻和 3 得知： C 27 3 9 将 C 9 代入 （4），得 D 12 ，将 C 9 代入 （2），则 E 13 将 D 12代入（3），则G 10将 E 13代入（5），则 A 8将 A 8代入 （1），则 B 14 将B 14、 C 9 代入 （7），则 F 4 由分析可知，中心方格必须填数字 9，其他方格中也只有一种填法见右上图57巩固】 在下图的空格里填入七个自然数，使每一行、每一列及每一条对角线上的上的三个数的和都等于 9047行第三列的数为 （23 57） 2 40 ，由 2d b 知第考点】幻方性质 【

19、难度】 3 星 【题型】填空 解析】 中 心数 90 3 30，又由 c （a b） 2知第行 第 二列 的数 是 30 2 57 3 ； 第一行 第 一列 的数 是 90 40 3 47 ； 第二行 第 三列 的数 是 90 23 30 37 ；第三行第一列的数是 90 47 23 20；第三行第三列的数是 90 20 57 13 ，所 以答案见右上图403037巩固】右图中有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之 和都相等。问：图中左上角的数是多少 ?？考点】幻方性质 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】华杯赛，初赛，第 9 题解析】 如 图，设

20、相应方格中的数为 x1，x2， x3， x4。x1x2x3x4由已知条件：行、列及对角线的三个数的和都相等，可以列出下面的等式 （方程）：?十x1十 x2? x3 x4 x1x3 13x2十 19x4，这样，前面两个式子的和就等于后面两个式子的和， 即有 2x1十 x2 x3 x4 13 19 x1十 x2 x3x4所以 21319 ？ 13 19 16，左上角的数是 16答案】 16 ”代表的数是巩固】图中是一个 3 3 幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中考点】幻方性质 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】学而思杯， 4 年级，第 11 题解析】 总和为 18 ，

21、左下角应该是 16，中间应该是 8 =（10+16） 2=13，所以 13 8 21 答案】 21巩固】图中 A , B , C ， D 时，它才能构成一个三阶幻方？26解析】 从第一列第三行可知 A 25 19 26, A 20 又由两条对角线可知 D 22 20 26,得 D 24再由 每 行 和 可 知 20 B 22 25 2C3 24 19 ，2 由 此 ，其 余 各 数 都 可 求 得， 即 A 20,B 27,C 21,D 24答案】 A 20,B 27,C 21,D 24巩固】在如图所示的九宫图中，不同的汉字代表不同的数，每行、每列和两条对角线上各数的和相等。已 知中 21，学

22、 9，欢 12，则希，望，杯的和是 。中小学希望杯受欢迎考点】幻方性质 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】希望杯，六年级，二试，第 10 题，5分 解析】 可 通过设未知数填出整个幻方，希望杯的和为 54。答案】 54角线上的四个数字所组成的四位数例 12】在下面的 4 4方格中填入 09 中的数字， 使得每行每列的和等于每行的右端及每列的下端所写的 数字其中，所有的 0 都已经填好，而且同一行或者同一列中不允许出现相同的非零数字则对ABCD 是7 20 9考点】幻方性质 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】学而思杯， 5 年级，第 9 题 解析】 突破口在 D，横看 D的结果可以是 3也可以是 1，但是竖看 D 若为 1D上面的空格为 11，不符合方 格中填 09 中数字，所以 D 为 3，依次类推出 A 为 1，所以答案为 1963答案】 1963巩固】方格中的图形符号 “”，“，”“”， “”代表填入方格中的数，相同的符号代表相同的数，如图 所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别是 36， 50，41，37，则第三行的四个数的和为