华东师大初中数学九年级上册《图形的相似》全章复习与巩固 知识讲解基础精品Word文件下载.docx

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c，则

=ac（b称为a、c的比例中项）．

要点二、相似三角形

1.相似三角形的判定:

判定方法

（一）：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法

（二）：

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（三）：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　

2.相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

要点三、中位线

1．三角形的中位线：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

性质：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的

，每个小三角形的面积为原三角形面积的

.

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

2．梯形的中位线：

连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.

3.三角形的重心概念：

三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心．

重心与一边中点的连线的长是对应中线长的

．

要点四、位似

1.位似图形定义:

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

要点五、图形与坐标

根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起．

利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：

（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；

（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

1.点的平移：

在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；

将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）．

（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：

右加左减；

（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：

上加下减；

（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：

沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．

2.图形的平移：

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；

如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．

（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．

（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.

【典型例题】

类型一、相似图形及比例线段

1.（2016•崇明县一模）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，

，AC=14；

（1）求AB、BC的长；

（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．

【思路点拨】

（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出

，即可求出AB的长，得出BC的长；

（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．

【答案与解析】

解：

（1）∵AD∥BE∥CF，

∴

，

∵AC=14，∴AB=4，

∴BC=14﹣4=10；

（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：

又∵AD∥BE∥CF，AD=7，

∴AD=HE=GF=7，

∵CF=14，

∴CG=14﹣7=7，

∵BE∥CF，

∴BH=2，

∴BE=2+7=9．

【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；

熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．

举一反三

【变式】如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）.

　　A．7　　　B．7.5　　　C．8　　　D．8.5

【答案】B.

类型二、相似三角形

【高清课堂:

相似专题复习ID号：

394502

关联的位置名称（播放点名称）：

“一线三等角”问题及例5】

2.在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：

△ADQ∽△QCP．

∵BP=3PC，Q是CD的中点，

又∵∠ADQ=∠QCP=90°

∴△ADQ∽△QCP.

【总结升华】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，以及相似三角形的判定.

3.如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．

求证：

（1）四边形AFCE是平行四边形；

（2）FG•BE=CE•AE．

（1）证明：

∵AF∥BC，

∴∠AFD=∠DEC，

∵∠FDA=∠CDE，D是AC的中点，

∴△ADF≌△EDC，

∴AF=CE，

∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）证明：

∵四边形AFCE是平行四边形，

∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，

∴∠FAB=∠ABE，

∴△AFG∽△BEA，

∴FG•BE=AF•AE，

∴FG•BE=CE•AE．

【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出证明等积式需证明△AFG∽△BEA是解决问题的关键．

【变式】在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．

（1）若AB=AE，求证：

∠DAE=∠D；

（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：

FA的值．

证明：

（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD，

∵AE=AB，

∴∠ABE=∠AEB，

∴∠B=∠EAD，

∵∠B=∠D，

∴∠DAE=∠D；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△BEF∽△AFD，

∵E为BC的中点，

∴BE=

BC=

AD，

∴EF：

FA=1：

2．

类型三、中位线与重心

4.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°

，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°

得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；

（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，

（1）中的其他条件不变，你在

（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为

AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，

易证∠1=∠2=90°

-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°

，由AAS证出△CEF≌△FGH．

∴CF=FH．

（2）通过证明△CEF≌△FGH得出．

（1）FH与FC的数量关系是：

FH=FC．

证明如下：

延长DF交AB于点G，

由题意，知∠EDF=∠ACB=90°

，DE=DF，

∴DG∥CB，

∵点D为AC的中点，

∴点G为AB的中点，且DC=

AC，

∴DG为△ABC的中位线，

∴DG=

BC．

∵AC=BC，

∴DC=DG，

∴DC-DE=DG-DF，

即EC=FG．

∵∠EDF=90°

，FH⊥FC，

∴∠1+∠CFD=90°

，∠2+∠CFD=90°

∴∠1=∠2．

∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，

∴∠DEF=∠DGA=45°

∴∠CEF=∠FGH=135°

∴△CEF≌△FGH，

∴CF=FH．

（2）FH与FC仍然相等．

【总结升华】考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大．

【变式】如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（　　）.

A.

B.

C.3D.4

【答案】C.

∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，

∴△BAE是等腰三角形，

同理△CAD是等腰三角形，

∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），

∴PQ是△ADE的中位线，

∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，

∴DE=BE+CD-BC=6，

∴PQ=

DE=3．故选C．

5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC上任意一点，连接AE、DE、G1、G2、G3分别为△ABE，△ADE，△DEC的重心，BC=2AD=12，梯形的高为6，求△G1G2G3的面积．

连接AG1，并延长交BC于点F，连接DG3，并延长交BC于点K，连接EG2，并延长交AD于点Q，交G1G3于点P，

∵G1、G2、G3分别为△ABE，△ADE，△DEC的重心，

∴AD∥FK∥G1G3，EF=

BE，CK=

EC，

∴FK=BE+EC=

BE+

EC=

BC，

∵BC=2AD=12，

∴FK=AD，

∴四边形AFKD是平行四边形，

∴AD=FK=G1G3=6，

∵G2Q=

EQ，EP：

EQ=G3K：

DK=1：

3，

即EP=

EQ，

∴G2P=

∵梯形的高为6，

∴△G1G2G3的高为：

×

6=2，

∴△G1G2G3的面积为：

6×

2=6．

【总结升华】考查了三角形重心的性质、平行线的性质以及平行四边形的性质与判定．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用

类型四、图形与坐标

6.已知△ABC中，AB=2

，AC=4

，BC=6

（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；

（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×

10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．

①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）

②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．

（1）

①∵△AMN∽△ABC，

∵M为AB中点，AB=2

∴AM=

∵BC=6，

∴MN=3；

②

∵△AMN∽△ACB，

∵BC=6，AC=4

，AM=

∴MN=1.5；

（2）①如图所示：

②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个．

【总结升华】注意平移关键是先确定几个关健点，接着把这几个点分别移动，再连成图形便可．位似作图其实就是从位似中心开始做相似图形，对应点的连线在位似中心交于一点．