北京市高考数学试卷文科解析.doc
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2015年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分,共40分）
1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．
{x|﹣3＜x＜2}
B．
{x|﹣5＜x＜2}
C．
{x|﹣3＜x＜3}
D．
{x|﹣5＜x＜3}
2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A．
（x﹣1）2+（y﹣1）2=1
B．
B（x+1）2+（y+1）2=1
C．
（x+1）2+（y+1）2=2
D．
（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
3．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
y=x2sinx
B．
y=x2cosx
C．
y=|lnx|
D．
y=2﹣x
4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．
90
B．
100
C．
180
D．
300
5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
6．（5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（ ）
A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件
C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A．
1
B．
C．
D．
2
8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日
12
35000
2015年5月15日
48
35600
注：
“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．
6升
B．
8升
C．
10升
D．
12升
二、填空题
9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为 ．
10．（5分）（2015•北京）2﹣3，3，log25三个数中最大数的是 ．
11．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B= ．
12．（5分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b= ．
13．（5分）（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为 ．
14．（5分）（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；
②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．
三、解答题（共80分）
15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．
16．（13分）（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：
b6与数列{an}的第几项相等？
17．（13分）（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
18．（14分）（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：
VB∥平面MOC；
（2）求证：
平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
19．（13分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：
若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．
20．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：
x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
2015年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分,共40分）
1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．
{x|﹣3＜x＜2}
B．
{x|﹣5＜x＜2}
C．
{x|﹣3＜x＜3}
D．
{x|﹣5＜x＜3}
考点：
交集及其运算．菁优网版权所有
专题：
集合．
分析：
直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
解答：
解：
集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，
则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．
故选：
A．
点评：
本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力．
2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A．
（x﹣1）2+（y﹣1）2=1
B．
B（x+1）2+（y+1）2=1
C．
（x+1）2+（y+1）2=2
D．
（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
考点：
圆的标准方程．菁优网版权所有
专题：
计算题；直线与圆．
分析：
利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．
解答：
解：
由题意知圆半径r=，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
故选：
D．
点评：
本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
3．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
y=x2sinx
B．
y=x2cosx
C．
y=|lnx|
D．
y=2﹣x
考点：
函数奇偶性的判断．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．
解答：
解：
对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；
对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；
对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；
对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；
故选B
点评：
本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断f（﹣x）与f（x）关系，相等是偶函数，相反是奇函数．
4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．
90
B．
100
C．
180
D．
300
考点：
分层抽样方法．菁优网版权所有
专题：
计算题；概率与统计．
分析：
由题意，老年和青年教师的人数比为900：
1600=9：
16，即可得出结论．
解答：
解：
由题意，老年和青年教师的人数比为900：
1600=9：
16，
因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，
故选：
C．
点评：
本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．
5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
考点：
程序框图．菁优网版权所有
专题：
图表型；算法和程序框图．
分析：
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．
解答：
解：
模拟执行程序框图，可得
k=0，a=3，q=
a=，k=1
不满足条件a＜，a=，k=2
不满足条件a＜，a=，k=3
不满足条件a＜，a=，k=4
满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．
故选：
B．
点评：
本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
6．（5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（ ）
A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件
C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
专题：
平面向量及应用；简易逻辑．
分析：
由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．
解答：
解：
（1）；
∴时，cos=1；
∴；
∴∥；
∴“”是“∥”的充分条件；
（2）∥时，的夹角为0或π；
∴，或﹣；
即∥得不到；
∴“”不是“∥”的必要条件；
∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．
故选A．
点评：
考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．
7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A．
1
B．
C．
D．
2
考点：
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案
解答：
解：
由三视图知：
几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，
底面为正方形如图：
其中PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形
∴PA=1，AB=1，AD=1，
∴PB=，PC==．
PD=
该几何体最长棱的棱长为：
故选：
C．
点评：
本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键
8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日
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