二轮复习专题训练第一部分知识方法篇专题1集合与常用逻辑用语第2练用好逻辑用语突破充要条件文专题卷.docx

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二轮复习专题训练第一部分知识方法篇专题1集合与常用逻辑用语第2练用好逻辑用语突破充要条件文专题卷

第2练　用好逻辑用语，突破充要条件

[题型分析·高考展望]　逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．

体验高考

1．（2015·山东）若m∈R,命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（　　）

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0

D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

答案　D

解析　原命题为“若p，则q”，

则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．

∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

2．（2016·山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若直线a和直线b相交，

则平面α和平面β相交；

若平面α和平面β相交，

那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，

故选A.

3．（2015·重庆）“x＞1”是“（x＋2）＜0”的（　　）

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　（x＋2）＜0⇔x＋2＞1⇔x＞－1，

因此选B.

4．（2015·四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（　　）

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故选A.

5．（2016·浙江）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（　　）

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

答案　D

解析　全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，n≥x2的否定是n＜x2，故选D.

高考必会题型

题型一　命题及其真假判断

常用结论：

（1）原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；

（2）四个命题中，真命题的个数为偶数；（3）只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；（4）全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假．

例1　

（1）（2015·安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

（2）命题p：

若sinx＞siny，则x＞y；命题q：

x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是（　　）

A．p或qB．p且q

C．qD．綈p

答案　

（1）D　

（2）B

解析　

（1）对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．

（2）取x＝，y＝，可知命题p不正确；由（x－y）2≥0恒成立，可知命题q正确，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．

点评　利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识地去练习．

变式训练1　已知命题p：

∀x∈R，x2＞0，命题q：

∃α，β∈R，使tan（α＋β）＝tanα＋tanβ，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．p∨（綈q）

C．（綈p）∧qD．p∧（綈q）

答案　C

解析　因为∀x∈R，x2≥0，所以命题p是假命题，因为当α＝－β时，tan（α＋β）＝tanα＋tanβ，所以命题q是真命题，所以p∧q是假命题，p∨（綈q）是假命题，（綈p）∧q是真命题，p∧（綈q）是假命题．

题型二　充分条件与必要条件

例2　

（1）（2015·北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　m⊂α，m∥β⇒/α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，

所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．

（2）已知（x＋1）（2－x）≥0的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1＜0（m＞－）的解为条件q.

①若p是q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围；

②若綈p是綈q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围．

解　①设条件p的解集为集合A，

则A＝{x|－1≤x≤2}，

设条件q的解集为集合B，

则B＝{x|－2m－1＜x＜m＋1}，

若p是q的充分不必要条件，

则A是B的真子集解得m＞1.

②若綈p是綈q的充分不必要条件，

则B是A的真子集解得－＜m≤0.

点评　判断充分、必要条件时应注意的问题

（1）先后顺序：

“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.

（2）举出反例：

如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．

（3）准确转化：

若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件．

变式训练2　（2015·湖北）设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：

a1，a2，…，an成等比数列；q：

（a＋a＋…＋a）·（a＋a＋…＋a）＝（a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2，则（　　）

A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

答案　B

解析　若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，则（a＋a＋…＋a）（a＋a＋…＋a）＝a（1＋q2＋…＋q2n－4）·a（1＋q2＋…＋q2n－4）＝aa（1＋q2＋…＋q2n－4）2，（a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2＝（a1a2）2（1＋q2＋…＋q2n－4）2，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝an＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.

题型三　与命题有关的综合问题

例3　下列叙述正确的是（　　）

A．命题：

∃x0∈R，使x＋sinx0＋2<0的否定为：

∀x∈R，均有x3＋sinx＋2<0

B．命题：

“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为：

若x≠1或x≠－1，则x2≠1

C．已知n∈N，则幂函数y＝x3n－7为偶函数，且在x∈（0，＋∞）上单调递减的充分必要条件为n＝1

D．函数y＝log2的图象关于点（1,0）中心对称的充分必要条件为m＝±1

答案　C

解析　A：

命题：

∃x0∈R，使x＋sinx0＋2<0的否定为：

∀x∈R，均有x3＋sinx＋2≥0，故A错误；

B：

命题：

若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：

若x≠1且x≠－1，则x2≠1，故B错误；

C：

因为幂函数y＝x3n－7在x∈（0，＋∞）上单调递减，

所以3n－7<0，解得n<，又n∈N，

所以n＝0,1或2；又y＝x3n－7为偶函数，

所以，n＝1，即幂函数y＝x3n－7为偶函数，

且在x∈（0，＋∞）上单调递减的充分必要条件为n＝1，

C正确；

D：

令y＝f（x）＝log2，

由其图象关于点（1,0）中心对称，得f（x）＋f（2－x）＝0，

即log2＋log2

＝log2＝0，

＝1.

整理得：

m2＋2m－3＝0，

解得m＝1或m＝－3，

当m＝－3时，＝－1<0，

y＝log2无意义，

故m＝1.

所以，函数y＝log2图象关于点（1,0）中心对称的充分必要条件为m＝1，故D错误．

点评　解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件．若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一．

变式训练3　下列命题：

①若ac2＞bc2，则a＞b；

②若sinα＝sinβ，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；

④若f（x）＝log2x，则f（|x|）是偶函数．其中正确命题的序号是________．

答案　①③④

解析　对于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正确；

对于②，sin30°＝sin150°D⇏30°＝150°，∴②错误；

对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，

即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，∴③正确；

④显然正确．

高考题型精练

1．已知复数z＝（a∈R，i为虚数单位），则“a＞0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　z＝＝－（a＋3i）i＝3－ai，若z位于第四象限，则a＞0，反之也成立，所以“a＞0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．

2．已知条件p：

x＋y≠－2，条件q：

x，y不都是－1，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为p：

x＋y≠－2，q：

x≠－1或y≠－1，

所以綈p：

x＋y＝－2，綈q：

x＝－1且y＝－1，

因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q，

所以綈q是綈p的充分不必要条件，

即p是q的充分不必要条件．

3．（2015·湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：

l1，l2是异面直线；q：

l1，l2不相交，则（　　）

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

答案　A

解析　两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.

4．（2016·天津）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的（　　）

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　由题意得，a2n－1＋a2n＜0⇔a1（q2n－2＋q2n－1）＜0⇔q2（n－1）（q＋1）＜0⇔q∈（－∞，－1），故是必要不充分条件，故选C.

5．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互