南京大学《声学基础》课后习题答案Word格式.docx
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力由何产生并应怎样表示
图习题1-3
2当外力去掉后质量在此恢复力作用下产生振动它
的振动频率应如何表示
3当质量置于哪一位置时振动频率最低
解首先对进行受力分析见右图
lxx
FT0T00
x
lx22x22
00
222222
xxxlxlx
00000
FTT
y2222
TT
Tl
x0lx0
MMMk
可见质量受力可等效为一个质点振动系统质量弹性系数
mmx0lx0
1恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生大小为F方向为竖直向下
KTl
2振动频率为
Mx0lx0Mm
3对分析可得当0时系统的振动频率最低
lx
1-4设有一长为的细绳它以张力固定在两端如图所示设在绳的位置处悬有一质量为
TM
0
的重物求该系统的固有频率提示当悬有时绳子向下产生静位移以保持力的平衡并假定
MM
离平衡位置的振动位移很小满足条件
图习题1－4
2TcosMg
解如右图所示受力分析可得04
cosMg
1ll
0d
又0TT可得振动方程为2TlMdt2
d4T4T
即M20
dtll
14Tl1Mg1g
2M2M2
1-5有一质点振动系统已知其初位移为初速度为零试求其振动位移速度和能量
解设振动位移cost
a0
速度表达式为vsint
0a0
v0
由于t00t0
代入上面两式计算可得
cost
vsint
000
12122
振动能量EMvM
mam0a
v
1-6有一质点振动系统已知其初位移为初速度为试求其振动位移速度和能量
KMx
解如右图所示为一质点振动系统弹簧的弹性系数为质量为取正方向沿轴位移
为
d22Km
则质点自由振动方程为0其中
dt200M
解得cost
a00
vsintcost
0a000a00
dt2
1222
cosv
0a0a000
vv
当t00t00时
vcosv0
00a0
2arctan
1222v0
质点振动位移为vcostarctan
0000
质点振动速度为222v0
vvcostarctan
121222
质点振动的能量为EMvMv
mam000
1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率不同振幅振动的叠加
1
sintsin2t试问
1在什么时候位移最大
2在什么时候速度最大
解sintsin2t
costcos2t
dt
d22
sint2sin2t
dt2
令0得t2k或t2k
dt3
2k3
经检验后得t时位移最大
d21
令0得tk或t2karccos
dt24
2k
经检验后得t时速度最大
1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示
costcost
1122
试证明cost
a
22sinsin
其中2cosarctan1122
a121221
coscos
证明costcost
costcossitnsintcoscostsinsin
11112222
costcoscostsinsinsin
11221122
设AcoscosBsinsin
22B
则AcostBsintABcost其中arctan
A
又222222
ABcoscos2coscos
11221212
2222
sinsin2sinsin
2coscossinsin
12121212
2cos
121221
Bsinsin
又arctan1122
arctan
Acoscos
令AB2cos
则cost
1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示
coswtcoswtww
112221
试证明
coswt
a1
22sinwt
其中2coswtarctan2www
a121212
coswt
12
解因为位移是矢量故可以用矢量图来表示
由余弦定理知
2coswtwt
2coswt
1212
其中ww2w1
由三角形面积知
11
sinwtsin
121a
sinwt
得sin2
得tg2
222
a2
sinwt
coswt2
故2
即可证
1-10有一质点振动系统其固有频率f0为已知而质量Mm与弹性系数Km待求现设法在此质量
M上附加一已知质量m并测得由此而引起的弹簧伸长ξ于是系统的质量和弹性系数都可求得试
m1
证明之
证由胡克定理得mg＝Kmξ1Km＝mgξ1
1KmKmmg
由质点振动系统固有频率的表达式f0得Mm2222
2Mm4f04f01
纵上所述系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解
1-11有一质点振动系统其固有频率f0为已知而质量Mm与弹性系数待求现设法在此质量Mm
上附加一质量m并测得由此而引起的系统固有频率变为f0于是系统的质量和弹性系数都可求得试
1Km2
解由f0得Km2f0Mm
由f0得Km2f0Mmm
2Mm
mf4mff
联立两式求得M0K00
m22m22
ffff
1-12设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统试分别写出它们的动力学方程
并求出它们的等效弹性系数
图1-2-3图1-2-4
d2KKKK
解串接时动力学方程为M1m2m0等效弹性系数为K1m2m
mdt2KKKK
1m2m1m2m
并接时动力学方程为Mm2K1mK2m0等效弹性系数为KK1mK2m
1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品此秤已在地球上经过校验弹簧
压缩0～100mm可称0～1kg宇航员取得一块岩石利用此秤从刻度上读得为04kg然后使它振
动一下测得其振动周期为1s试问月球表面的重力加速度是多少而该岩石的实际质量是多少
解设该岩石的实际质量为地球表面的重力加速度为g98ms2月球表面的重力加速度为
g
Mg1g
由虎克定律知FKx又FMg则K10g
x01
2M10g1098
T21则M2225kg
K44
x1
又则x004m
x04
K22
MgKx则gx4004158ms
故月球表面的重力加速度约为158ms2而该岩石的实际质量约为25kg
1-14试求证
acostacostacost2acostn1
sinn
2n1
acost
sin2
证aejtaejtaejt2aejtn1
aejt1ej
1ejn1cosnjsinn
jtjt
aeae
1ej1cosjsin
2nnnn
2sinjsinnsinsinjcos
jt2jt222
2sinjsinsinsinjcos
nnnn
sinjsinn1sinn1
e22jjt
jt2jt2222
aeaeeae
j
sine22sinsin
同时取上式的实部结论即可得证
1-15有一弹簧在它上面加一重物构成一振动系统其固有频率为
KmMmf0
1假设要求固有频率比原来降低一半试问应该添加几只相同的弹簧并怎样联接
2假设重物要加重一倍而要求固有频率不变试问应该添加几只相同的弹簧并怎样联接
f0
解固有频率fom
f0Km
1f0Km故应该另外串接三根相同的弹簧
24
Mm
2m2Km2Km故应该另外并接一根相同的弹簧
f0f0
1-16有一直径为的纸盆扬声器低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待现已知其总质
K
量为弹性系数为试求该扬声器的固有频率
解该扬声器的固有频率为f0m
2πM
1-17原先有一个05㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上弹簧处于静态平衡中后来又将一个02
㎏的质量附加在其上面这时弹簧比原来伸长了004m当此附加质量突然拿掉后已知这05㎏质量
的振幅在1s内减少到初始值的1e倍试计算
1这一系统的力学参数KmRmf0
2当02㎏的附加质量突然拿掉时系统所具有的能量
3在经过1s后系统具有的平均能量
解1由胡克定理知Km＝mgε
所以Km＝02×
9800449Nm
e1e1
R
故mR1Nsm
2Mm
2149
w0w0f01157Hz
205
2系统所具有的能量EK4900400392J
2m2
122t3
3平均能量EKe53110J
m0
1-18试求当力学品质因素Qm05时质点衰减振动方程的解假设初始时刻0vv0试
讨论解的结果
解系统的振动方程为
dd
MRK0
mdt2mdtm
进一步可转化为设m
2M
dd2
20
dt2dt
设
it
e
于是方程可化为
22jt
2je0
解得j
t
方程一般解可写成
ttt
eAe0Be0
存在初始条件
0vv
t0t00
代入方程计算得
A0B0
解的结果为eAe0Be0
其中A0B0
ff
1-19有一质点振动系统其固有频率为如果已知外力的频率为试求这时系统的弹性抗与
质量抗之比
解质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为质量抗为M
已知f050Hzf300Hz
K1K4f501
MM00
则MM＝22222
MM4f30036
1-20有一质量为04kg的重物悬挂在质量为03kg弹性系数为150Nm的弹簧上试问
1这系统的固有频率为多少
2如果系统中引入5kgs的力阻则系统的固有频率变为多少
3当外力频率为多少时该系统质点位移振幅为最大
4相应的速度与加速度共振频率为多少
1K1150
解1考虑弹簧的质量f0m276Hz
2MM3204033
ms
2考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统但此时系统的等效质量M为MM3
mms
R5
m512211502
f5264Hz
2M20500
m2204033
M165805
3品质因素Qm0m166
位移共振频率frf012239Hz
2Qm
4速度共振频率ff264Hz
r0
加速度共振频率fQf1292Hz
rm02
1-21有一质点振动系统被外力所策动试证明当系统发生速度共振时系统每周期的损耗能量与
总的振动能量之比等于
Qm
解系统每个周期损耗的能量
EWTRvT
Fma
RvT
EmaR
2m
E1Mv2fMm
2ma
发生速度共振时ff0
ER22
EfMMQ
0m0mm
1-22试证明1质点作强迫振动时产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有
fffff
频率2假定与为在两侧其平均损耗功率比下降一半时所对应的两个频率则有
01200
Qm
f2f1
证明1平均损耗功率为
1T12
为力阻为速度振幅
WWdtRvRv
RT0R2mama
质点强迫振动时的速度振幅为
FQz
am为外力振幅为固有频率为质量为
vaFa0MmQm
Mzz1Q
0mm
力学品质因素频率比z
当1即时发生速度共振取最大值产生最大的平均损耗功率
zff0va
2WRv
Rma
121F2Q2
am
WRRv＝R
2ma2m22
11211F2Q22F2Q2
WWR则Rmva＝Rmam即2va＝am1
R2222
2222MM
0m0m
FQz2222
把vaam带入式1则zz1Qm2
114Q2114Q2
2mm
由式2得zz1Qm解得z取z1
2Qm2Qm
zz1Qm解得z取z2
1f2f1f2f11
则z2z1即
Qmf0f0f0Qm
1-23有一质量为04㎏的重物悬挂在质量可以忽略弹性系数为160Nm的弹簧上设系统的力阻
为2N·
sm作用在重物上的外力为FF5cos8tN
1试求这一系统的位移振幅速度与加速度振幅以及平均损耗功率
2假设系统发生速度共振试问这时外力频率等于多少如果外力振幅仍为5N那么这时系统
的位移振幅速度与加速度振幅平均损耗功率将为多少
解1由强迫振动方程Mm2RmKmFF得
dtdt
0421605cos8t
则位移振幅a00369m
KmwMmwRm
速度振幅vw0296ms
aa
加速度振幅22
aw2364ms
平均损耗功率PRv00876w
1KmRm2
2速度共振时frf03158Hz
2R2M
则位移振幅a0126m
速度振幅vw2495ms
aw496ms
平均损耗功率PRv6225w
1-24试求出图1-4-1所示单振子系统在t0
初始条件下强迫振动位移解的表示式并分别讨论0与0两种情形下
当0时解的结果
解对于强迫振动解的形式为
ecostcost
000a
其中
Z2
初始条件0v0
代入得
coscos0
00a
cossinsin0
00000a
解得
a22222
cossin2cossincos
cos
arccos
22222
令Gcossin2cossincos
得
at
Gecostcost
200a
X
当0时R0arctanm
m000
R22
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