南京大学《声学基础》课后习题答案Word格式.docx

1、力由何产生并应怎样表示 图 习题1-3 2 当外力去掉后质量 在此恢复力 作用下产生振动它 的振动频率应如何表示 3 当质量置于哪一位置时振动频率最低 解首先对 进行受力分析见右图 l x x F T 0 T 0 0 x l x 2 2 x 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 x x x l x l x 0 0 0 0 0 F T T y 2 2 2 2 T T Tl x0 l x0 M M M k 可见质量 受力可等效为一个质点振动系统质量 弹性系数 m m x0 l x0 1恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生大小为F 方向为竖直向下 K Tl 2 振动频率为 M x0 l x0 M

2、m 3 对 分析可得当 0 时系统的振动频率最低 l x 1-4 设有一长为 的细绳它以张力 固定在两端如图所示设在绳的 位置处悬有一质量为 T M 0 的重物求该系统的固有频率提示当悬有 时绳子向下产生静位移 以保持力的平衡并假定 M M 离平衡位置 的振动 位移很小满足 条件 图 习题14 2T cos Mg 解如右图所示受力分析可得 0 4 cos Mg 1 l l 0 d 又 0 T T 可得振动方程为 2T l M d t2 d 4T 4T 即 M 2 0 d t l l 1 4T l 1 Mg 1 g 2 M 2 M 2 1-5 有一质点振动系统已知其初位移为 初速度为零试求其振动

3、位移速度和能量 解设振动位移 cos t a 0 速度表达式为v sin t 0 a 0 v 0 由于 t 0 0 t 0 代入上面两式计算可得 cos t v sin t 0 0 0 1 2 1 2 2 振动能量E M v M m a m 0 a v 1-6 有一质点振动系统已知其初位移为 初速度为 试求其振动位移速度和能量 K M x 解如右图所示为一质点振动系统弹簧的弹性系数为 质量为 取正方向沿 轴位移 为 d 2 2 Km 则质点自由振动方程为 0 其中 d t2 0 0 M 解得 cos t a 0 0 v sin t cos t 0 a 0 0 0 a 0 0 d t 2 1 2

4、 2 2 cos v 0 a 0 a 0 0 0 v v 当 t 0 0 t 0 0 时 v cos v0 0 0 a 0 2 arctan 1 2 2 2 v0 质点振动位移为 v cos t arctan 0 0 0 0 质点振动速度为 2 2 2 v0 v v cos t arctan 1 2 1 2 2 2 质点振动的能量为E M v M v m a m 0 0 0 1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率不同振幅振动的叠加 1 sin t sin 2t 试问 1 在什么时候位移最大 2 在什么时候速度最大 解 sin t sin 2t cos t cos 2t dt d

5、2 2 sin t 2 sin 2t dt 2 令 0 得t 2k 或t 2k dt 3 2k 3 经检验后得t 时位移最大 d 2 1 令 0 得 t k或t 2karccos dt 2 4 2k 经检验后得t 时速度最大 1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示 cos t cos t 1 1 2 2 试证明 c o s t a 2 2 sin sin 其中 2 cos arctan 1 1 2 2 a 1 2 1 2 2 1 cos cos 证明 cos t cos t c o st c os s it n si n tco s c o s t s i n s i n 1 1 1 1

6、2 2 2 2 c o s t co s c os t s i n s i n s i n 1 1 2 2 1 1 2 2 设 A cos cos B sin sin 2 2 B 则 A cost B sint A B cos t 其中 arctan A 又 2 2 2 2 2 2 A B cos cos 2 cos cos 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 s i n s i n 2 s in si n 2 cos cos sin sin 1 2 1 2 1 2 1 2 2 cos 1 2 1 2 2 1 B s i n s i n 又 a r c t an 1 1 2 2 a

7、 r c t a n A c o s c o s 令 A B 2 cos 则 c o s t 1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示 cos w t cos w t w w 1 1 2 2 2 1 试证明 cos w t a 1 2 2 sin wt 其中 2 cos wt arctan 2 w w w a 1 2 1 2 1 2 cos wt 1 2 解因为位移是矢量故可以用矢量图来表示 由余弦定理知 2 cos w t w t 2 cos wt 1 2 1 2 其中w w2 w1 由三角形面积知 1 1 sin wt sin 1 2 1 a sin wt 得 sin 2 得 tg 2

8、2 2 2 a 2 s i nwt c o swt 2 故 2 即可证 1-10 有一质点振动系统其固有频率f 0 为已知而质量Mm 与弹性系数Km 待求现设法在此质量 M 上附加一已知质量m 并测得由此而引起的弹簧伸长 于是系统的质量和弹性系数都可求得试 m 1 证明之 证 由胡克定理得 mg Km1 Km mg1 1 K m K m mg 由质点振动系统固有频率的表达式f 0 得M m 2 2 2 2 2 M m 4 f 0 4 f 0 1 纵上所述系统的质量Mm 和弹性系数Km 都可求解 1-11 有一质点振动系统其固有频率f 0 为已知而质量Mm 与弹性系数待求现设法在此质量Mm 上附

9、加一质量m 并测得由此而引起的系统固有频率变为f 0 于是系统的质量和弹性系数都可求得试 1 K m 2 解由 f 0 得 K m 2f 0 M m 由 f 0 得 K m 2f 0 M m m 2 M m mf 4 mf f 联立两式求得M 0 K 0 0 m 2 2 m 2 2 f f f f 1-12 设有如图1-2-3 和图1-2-4 所示的弹簧串接和并接两种系统试分别写出它们的动力学方程 并求出它们的等效弹性系数 图 1-2-3 图 1-2-4 d 2 K K K K 解 串接时动力学方程为M 1m 2m 0 等效弹性系数为K 1m 2m m dt 2 K K K K 1m 2m 1

10、m 2m 并接时动力学方程为M m 2 K 1m K 2m 0 等效弹性系数为K K 1m K 2m 1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品此秤已在地球上经过校验弹簧 压缩0100mm 可称01kg 宇航员取得一块岩石利用此秤从刻度上读得为04 kg 然后使它振 动一下测得其振动周期为1s 试问月球表面的重力加速度是多少而该岩石的实际质量是多少 解设该岩石的实际质量为 地球表面的重力加速度为g 98m s2 月球表面的重力加速度为 g Mg 1g 由虎克定律知 F Kx 又 F Mg 则 K 10g x 01 2 M 10g 1098 T 2 1 则M 2 2 25kg

11、K 4 4 x 1 又 则 x 004m x 04 K 2 2 Mg Kx 则g x 4 004 158m s 故月球表面的重力加速度约为158m s2 而该岩石的实际质量约为25kg 1-14 试求证 a cost a cos t a cos t 2 a cos t n 1 sin n 2 n 1 a cos t sin 2 证 aej t aej t aej t2 aej t n1 aej t 1ej 1ej n 1cos nj sin n j t j t ae ae 1ej 1cosj sin 2 n n n n 2 sin j sin n sin sin j cos j t 2 j t

12、 2 2 2 2 sin j sin sin sin j cos n n n n sin j sin n1 sin n1 e 2 2 j j t j t 2 j t 2 2 2 2 ae ae e a e j sin e 2 2 sin sin 同时取上式的实部结论即可得证 1-15 有一弹簧 在它上面加一重物 构成一振动系统其固有频率为 K m M m f 0 1 假设要求固有频率比原来降低一半试问应该添加几只相同的弹簧并怎样联接 2 假设重物要加重一倍而要求固有频率 不变试问应该添加几只相同的弹簧并怎样联接 f 0 解固有频率f o m f 0 K m 1f 0 K m 故应该另外串接三根

13、相同的弹簧 2 4 M m 2 m 2 K m 2K m 故应该另外并接一根相同的弹簧 f 0 f 0 1-16 有一直径为 的纸盆扬声器低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待现已知其总质 K 量为 弹性系数为 试求该扬声器的固有频率 解该扬声器的固有频率为 f 0 m 2 M 1-17 原先有一个 05 的质量悬挂在无质量的弹簧上弹簧处于静态平衡中后来又将一个 02 的质量附加在其上面这时弹簧比原来伸长了004m当此附加质量突然拿掉后已知这05 质量 的振幅在1s 内减少到初始值的1e 倍试计算 1这一系统的力学参数Km Rm f 0 2当02 的附加质量突然拿掉时系统所具有的能量 3在经

14、过1s 后系统具有的平均能量 解1由胡克定理知Km mg 所以 Km 0298004 49Nm e 1 e 1 R 故 m R 1N s m 2M m 2 1 49 w0 w0 f 0 1 157Hz 2 05 2系统所具有的能量E K 49 004 00392J 2 m 2 1 2 2t 3 3平均能量E K e 53110 J m 0 1-18 试求当力学品质因素Qm 05 时质点衰减振动方程的解假设初始时刻 0 v v0 试 讨论解的结果 解系统的振动方程为 d d M R K 0 m dt 2 m dt m 进一步可转化为设 m 2M d d 2 2 0 dt 2 dt 设 it e

15、于是方程可化为 2 2 j t 2j e 0 解得 j t 方程一般解可写成 t t t e Ae 0 Be 0 存在初始条件 0 v v t 0 t 0 0 代入方程计算得 A 0 B 0 解的结果为 e Ae 0 Be 0 其中A 0 B 0 f f 1-19 有一质点振动系统其固有频率为 如果已知外力的频率为 试求这时系统的弹性抗与 质量抗之比 解质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 质量抗为 M 已知 f 0 50Hz f 300Hz K 1 K 4 f 50 1 M M 0 0 则 M M 2 2 2 2 2 M M 4 f 300 36 1-20 有一质量为04kg 的重物

16、悬挂在质量为03kg弹性系数为150Nm 的弹簧上试问 1 这系统的固有频率为多少 2 如果系统中引入5kgs 的力阻则系统的固有频率变为多少 3 当外力频率为多少时该系统质点位移振幅为最大 4 相应的速度与加速度共振频率为多少 1 K 1 150 解 1 考虑弹簧的质量f 0 m 276Hz 2 M M 3 2 04 03 3 m s 2 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统但此时系统的等效质量M 为M M 3 m m s R 5 m 5 1 2 2 1 150 2 f 5 264Hz 2M 2 05 0 0 m 2 2 04 03 3 M 1658 05 3 品质因素Qm 0 m 1

17、66 位移共振频率f r f 0 1 2 239Hz 2Qm 4 速度共振频率f f 264Hz r 0 加速度共振频率f Q f 1 292Hz r m 0 2 1-21 有一质点振动系统被外力所策动试证明当系统发生速度共振时系统每周期的损耗能量与 总的振动能量之比等于 Qm 解系统每个周期损耗的能量 E W T R v T F m a R v T E m a R 2 m E 1 M v2 fM m 2 m a 发生速度共振时f f 0 E R 2 2 E f M M Q 0 m 0 m m 1-22 试证明1质点作强迫振动时产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有 f f f f

18、 f 频率 2假定 与 为在 两侧其平均损耗功率比 下降一半时所对应的两个频率则有 0 1 2 0 0 Qm f 2 f 1 证明1平均损耗功率为 1 T 1 2 为力阻 为速度振幅 W W dt R v R v R T 0 R 2 m a m a 质点强迫振动时的速度振幅为 F Q z a m 为外力振幅 为固有频率 为质量 为 va Fa 0 M m Qm M z z 1 Q 0 m m 力学品质因素频率比z 当 1 即 时发生速度共振 取最大值产生最大的平均损耗功率 z f f 0 va 2 W R v R m a 1 2 1 F 2 Q2 a m WR R v R 2 m a 2 m

19、2 2 1 1 2 1 1 F 2 Q2 2 F 2 Q2 W WR 则 Rm va Rm a m 即 2va a m 1 R 2 2 2 2 2 2 2 2 M M 0 m 0 m F Q z 2 2 2 2 把va a m 带入式1则z z 1 Qm 2 1 14Q2 1 14Q2 2 m m 由式2得z z 1 Qm 解得z 取z1 2Qm 2Qm z z 1 Qm 解得z 取z2 1 f 2 f 1 f 2 f 1 1 则 z2 z1 即 Qm f 0 f 0 f 0 Qm 1-23 有一质量为04 的重物悬挂在质量可以忽略弹性系数为160Nm 的弹簧上设系统的力阻 为2N sm作用在

20、重物上的外力为FF 5cos 8tN 1试求这一系统的位移振幅速度与加速度振幅以及平均损耗功率 2假设系统发生速度共振试问这时外力频率等于多少如果外力振幅仍为5N那么这时系统 的位移振幅速度与加速度振幅平均损耗功率将为多少 解1由强迫振动方程M m 2 Rm K m FF 得 dt dt 04 2 160 5cos 8t 则位移振幅 a 00369m K m w M m w Rm 速度振幅v w 0296m s a a 加速度振幅 2 2 a w 2364m s 平均损耗功率P R v 00876 w 1 K m Rm 2 2速度共振时f r f 0 3158Hz 2 R 2M 则位移振幅 a

21、 0126m 速度振幅v w 2495m s a w 496m s 平均损耗功率P R v 6225 w 1-24 试求出图1-4-1 所示单振子系统在t 0 初始条件下强迫振动位移解的表示式并分别讨论 0 与 0 两种情形下 当0 时解的结果 解对于强迫振动解的形式为 e cos t cos t 0 0 0 a 其中 Z 2 初始条件 0 v 0 代入得 cos cos 0 0 0 a cos sin sin 0 0 0 0 0 0 a 解得 a 2 2 2 2 2 cos sin 2cossin cos cos arccos 2 2 2 2 2 令G cos sin 2cossin cos 得 a t Ge cos t cos t 2 0 0 a X 当 0 时R 0 arctan m m 0 0 0 R 2 2