导数解答题及其答案doc文档格式.docx

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（a）=O,可得e"

=cc+2,所以g（a）=i+l£

（2,3）.

由于①式等价于k<

g（a）,故整数k的最大值为2.,

已知函数f（x）=x+~+Inx（aeR）.

（1）求函数/（]）的单调区间；

（2）若函数_/U）在（1,+8）上单调递增,求〃的取值范围.

【解】

（1）函数f（x）=x+~+Inx的定义域为（0,+8）,X

a1x+x-a

/（x）=1—p+一=2.

」xxx

%1当1=l+4oW0,即。

W—彳时，得J+x—qNo,则/（x）N0..,-函数./U）在（0,+8）上单调递增，

%1当，=1+物〉0,即。

＞-，时，令/（x）=0,x+x-a=0,

-1-/1+4。

-1+/1+4。

醒付2＜0,松=2.

Vxe（O,+8）,.・/（工）〉0,.・.函数/（x）在（0,+8）上单调递增.

—]+v1+4。

（订）若。

＞0,则xe（o,*）时，/（X）＜0;

一1+、/1+4〃一1+、/1+4.

函数冷）在区间（0,3）上单调递减，在区间（*,+8）上单调递增.

综上所述，当〃W（）时，函数/U）的单调递增区间为（（），+8）；

—1+、11+4〃—1+*\/1+4〃

当4〉0时，函数7U）的单调递减区间为（O,3单调递增区间为（1,+

）•

（2）由题意知，0在（1,+8）上恒成立,即J+x-qNO在（1,+8）上恒成立，

令g（x）=X2+X-a=（x+-a,

则g（x）＞2—。

，从而2-。

NO,「.“W2.

当。

=2时，/。

）＞0在（1,+8）上恒成立，

因此实数。

的取值范围是（-8,2],

利用导数研究函数的极值

皿（2013•合肥模拟）^^）=TT^，其中"

为正实数•1ICtA

⑴当。

=衣时，求的极值点;

（2）若犬x）为R上的单调函数，求。

的取值范围.

（1）当时，求/⑴=0的根，然后利用极值与导数的关系判定；

（2）转化为判定,（'

）不变号满足的不等式，求"

的范围.

1+—9/＞Y

【尝试解答】由必）=苛；

，得S•（算罕①

JLC＜^vxJL“人）

x/t428、

（1）当。

=寻时,

3（1+|?

）2

C（+?

~~3a）ex（4x2-8x+3）

/«

（1成）2

令f（x）=0,即er（4x2-8x+3）=0,恒大于0,.・.4j-8x+3=0.

.••x=3或

结合①式，可知

（-8,f）

G，+8）

—

极大值

极小值

所以，X]=5是极小值点，*2=5是极大值点•

（2）若/（X）为R上的单调函数，则/（#在RJ1不变号.

结合①式，及。

0,得qU-2ax+1&

。

在R上恒成立.

所以二次方程1+履-2ax=0无解或有两个相同实数解，/=4c『-4gW0,即0WoWl.又・.・。

〉0.

故实数“的取值范围是（0,1].

阻*真■争」（2013•绍兴模拟）已知函数/（工）=-疽+姒2+敏，族R）.

（1）要使/3）在（0，2）上单调递增，试求。

的取值范围；

（2）当〃V0时,若函数满足y极大=1,y极小=—3,试求），=/（x）的解析式.

（1）/（%）=一3J+2ax.

依题/⑴N0在（0,2）上恒成立.

即2ax^3x2.'

0,2qN3x,24/36..'

・。

以3.

即。

的取值范围是[3,+8）.

（2）'

//（X）=-3x2+2ax=x（-3x+2a）,

•.w〈o,当xe（-oo,了n时，/.wo,

.•J（x）递减.

jt6（§

〃，0）时，/（x）>

0,冷）递增.

xC[0,+8）时，r（x）W0,递减.

q=_3,b=1.

为以（0）=1,

.•.<

小（铲）=-3.u

••/W=-工3-3x2+1.

擅邕（2012-北京高考）已知函数J[x）=ax2+l（a>

0）,g（x）=x3+bx.

（1）若曲线y=fM^j曲线y=g（x）在它们的交点（1,c）处具有公共切线，求。

，力的值；

（2）当a2=4b时，求函数/U）+g（x）的单调区间，并求其在区间（一8,—1]上的最大值.

【审题视点】

（1）求出两条切线方程比较系数求解.

（2）讨论极值点与区间（-8,—1]的关系，从而确定最大值.

[尝试解答】

（1W）=2"

（x）=3x2+/?

因为曲线）=冷）与曲线y=g（x）在它们的交点（1,c）处具有公共切线,所以/U）=g⑴,且/

（1）="

1）・

EPq+1=1+/?

且山=3+/?

解得。

=3,b=3.

（2）记/?

（%）=必）+g（x）.当b=时,

h（x）=『+ax2+^a2x+h

hf（x）=3x2+2ax+^2.

令h'

（X）=0,得JT]=-《，x2=~7.

0时，/?

（x）与/?

（x）的变化情况如下：

（一8,--）

■!

aa（F-8）

a~6

3+8）

x）

所以函数/?

（x）的单调递增区间为（-8,-《）和（-§

4-OO）;

单调递减区间为（与-勺.

当一-1,即0v〃W2时，

函数/心）在区间（-8,一1］上单调递增，/心）在区间（-00,-1］上的最大值为力（-1）=。

当一§

一1,且一§

2-1,即2<

sW6时，

函数/?

（X）在区间（-8,-号）上单调递增，在区间（-*-1］上单调递减，力（工）在区间（-8,-1］上的最大值为人（-号）=i.

当--1,即a>

6时，

）在区间（-8,-*上单调递增，在区间（-?

，-%上单调递减，在区间（-%-1］上单调递增，

又因为/z（-§

）一/z（-1）=1-a+-2）2>

所以/?

（x）在区间（-8,-1］上的最大值为/?

（-*=1.

娈式训练（2013•济南模拟）巳知函数/⑴=（D我

⑴求龄）的单调区间;

（2）若对于任意的xe（o,+8）,都有求R的取值范围.

（1）由fix）=（x-k）2ek，得

1if（x）=Z（J-户）火令f（x）=0,得x=±

k,若k〉o,当尤变化时，yw与疗⑴的变化情况如下:

（-8,-k）

-k

（-k,k）

（k,+8）

^e1

所以.冷0的单调递增区间是（-8,-k）和（k,+8）,单调递减区间是（-奴k）.若上<

0,当x变化时，，/u）与/（工）的变化情况如下：

（-8,&

）

（奴-k）

（-奴+8）

所以/（x）的单调递减区间是（-8,k）和（-k,+8）,单调递增区间是（奴一k）.

（2）当k〉0时，因为那+l）=ck〉｛,e

所以不会有VxC（0,+8）,e

4妒当*<

0时，由⑴知.心）在（0,+8）上的最大值是犬-幻=——.

1AL11

所以VxC（0,+8）,等价于X-

CCC

解得-普Wk<

故当V"

（0,+8）,必）4时，k的取值范围是［-!

，0）.ez

三、自主体验

1、B

2.（2012-安徽高考）设函数f（x）=a^+-^+b（a>

0）.

C€V

（1）求冷）在［0,+8）内的最小值；

（2）设曲线），=四）在点（2,人2））处的切线方程为），=产求s力的值.

（1）/（工）=血'

-土?

，

当/（x）>

0,即x>

-lntz时，/（》）在（Tno,+8）上递增；

当/（x）vO'

即xv-hi。

时’/（x）在（一8,-ina）上递减.

%1当0<

6/<

1时，-ln〃>

0,犬同在（0,-Ina）上递减，在（-In”，+8）上递增，从而/⑴在［0,+8）上的最小位为f（-In白）=2+b;

%1当oNl时，-InoWO,/（*）在［0,+8）上递增，从而/（*）在［0,+8）上的最小值为人0）="

+£

+b.

131

（2）依题意/

（2）=ae2-狎=冒,解得ae2=2或ae2=-3（舍去）'

2||

所以〃帽，代入原函数可得2+尸力=3,即力=亍四、课后作业十四

10.（2013•潍坊模拟）巳知函数fM=x3-ax2-x+a,其中。

为实数.

⑴求加；

（2）若/（—1）=0,求/W在［一2,3〕上的最大值和最小值；

（3）若必）在（一8,—2］和［3,+8）上都是递增的,求。

（1）/（x）=3x2-2ax-1.

（2）f（-1）=3+2（7-1=0,=-1,=x3+x2-x~Lf（x）=3x2+2r-1,

由f（x）=0可得x='

或x=-1.

又•.顶*）=-券犬一2）=-3,人3）=32,犬一1）=0,••./U）在［-2,3］上的最大值为32,最小值为-3.

（3/（*）=3J-2or-1,其图象开口向上，且恒过点（0,-1）,

于是有

/（-2）

/（3）W0,

30,

解得-

二。

的取值范围是［-?

y-J.

11.（2013-烟台模拟）已知函数/（%）=?

+2alnx.

（1）若函数您:

）的图象在（2,人2））处的切线斜率为1,求实数。

的值；

（2）求函数人工）的单调区间；

⑶若函数舲）=-+冷）在［1,2〕上是减函数，求实数。

la2x~+2a

（l）/V）=2r+;

=—-•AeA

由已知/

（2）=1,解得a=-3.

（2）函数/U）的定义域为（0,+8）.

%1当。

N0时，/（x）〉0,/U）的单调递增区间为（。

，+8）;

右、I,…I…2（x+yj-a）（x-yl-a）

＜0时，加=vy

当工变化时，/（x）,/U）的变化情况如下:

（0,C）

yj-a

N_a,+°

f（x）

由上表可知，函数冷）的单调递减区间是（0,寸^）；

单调递增区间是（J二，+8）.

2］上h\x）=-\-2x=

-（，+处）<

7所以/Q）在［1,2］上为减函数，/?

（X）min=/?

（2）=-"

所以aW-3.

故实数a的取值范围为{gIqW-3}.

12.（2013-金华模拟）已知函数Ax）=olnx—且。

云0）.

（1）求/U）的单调区间；

（2）是否存在实数s使得对任意的xe[l,+8）,都有j（x）WO?

若存在，求。

若不存在，请说明理由.

（iyu）的定义域为（0,+8）.

当Q<

0时，在区间（0,+8）上，/3）<

所以/（x）的单调递减区间是（0,+8）.

当q>

0时，令/（X）=0得x=灯或x=-山（舍）.函数yw，了⑴随*的变化如下：

所以/U）的单调递增区间是（0,$）,单调递减区间是（戒，+8）.

综上所述，当。

0时，/U）的单调递减区间是（0,+8）；

〉0时，/U）的单调递增区间是（0,血）,单调递减区间是糖，+8）.

⑵由⑴可知：

0时，犬工）在[1,+8）上单调递减.

所以/（X）在[1,+8）上的最大值为犬1）=0,即对任意的xefl,+8）都有/（.x）W0.当〃>

（）时，

%1当位WL即0<

a^1时，必）在[1,+8）上单调递减.

所以犬x）在[1,+8）上的最大值为犬i）=o,即对任意的工£

[1,+oo）,都有人r）W0.

%1当V^>

1,即。

1时，/U）在[1,崩）上单调递增，

所以大服）>

犬1）・

又汽1）=0，

所以犬崩）>

0，与对于任意的xE[l,+8）,都有如）《0矛盾.

综上所述，存在实数。

满足题意，此时。

的取值范围是（-8,0）U（0,1].

一、学情自测DCA/（n）>

/（3）>

（2）

导数在方程（函数零点）中的应用

DM1（2013-海淀模拟）已知函数f（x）=cXx2+ax-a）f其中。

是常数.

（1）当』=1时,求曲线y=/W在点（1,./（!

））处的切线方程;

（2）若存在实数h使得关于x的方程f（x）=k在[0,+8）上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

（1）先求切点、切线斜率，再求切线方程；

（2）利用导数判断函数7U）在[0,+8）上的变化情况，数形结合求解.

（1）由J（x）=e（x2+ax-①可得

f（x）=ex[?

+（«

+2）x].

=1时，，人1）=e,/（I）=4e.

所以曲线y=f（x）在点（1,y（l））处的切线方程为y-e=4e（x-1）,即y=4ex-3e.

（2）令/（x）=ex[?

+（q+2）x]=0,

解得x=-（。

+2）或x=0.

当一（〃+2）W0,即a^~2时，在区间［0,+8）上，f（x）mo,所以y（x）是［0,+8）上的增函数，

所以方程j{x）=k在［0,+8）上不可能有两个不相等的实数根.

当-0+2）>

0,即Q<

-2时，/（x）,ZU）随工的变化情况如下表:

（0,一（。

+2））

_（。

+2）

（-（a+2）,+8）

a+4

Q+4

由上表可知函数/⑴在［0,+8）上的最小值为A-（。

+2））=FT.e

因为函数,/U）是（0,-（。

+2））上的减函数，是（-（。

+2）,+8）上的增函数，且当时，有a）>

~a,又/（0）=一ci.

“+4

所以要使方程&

）=k在［0,+8）上有两个不相等的实数根，洋勺取值范围是（ft，-a］.

阻襄或TOI（2013•青岛模拟）巳知〃>

0,函数/（］）=1吨-履，x>

O.（/W的图象连续不断）

⑴求冷）的单调区间;

（2）当时，证明：

存在心£

（2,+8）,使汽心）=/（|）.

（1W）=■-2小='

令f（x）=0,得］-2ax2=0,

..、八、八•

•Q〉（），了>

（）,..工=•

当X变化时，/⑴与,/U）的变化情况如下表：

（。

嶂）2a

屈+8）

.•JQ）的递增区间是（0,平'

），递减区间是+8）.

（2）证明当a=孑时，/W=Inx-¥

由⑴知,/W在（0,2）内单调递增，在（2,+8）内单调递减.

令g（x）=7W-/q），由于必）在（0,2）内单调递增，

故f

（2）>

f（l）,即g

（2）〉0.

341-9e2

取x'

=^e>

2,则g（x'

）=——<

由于欢*）=.作）-・/（3）在（2，+8）内单调递减，

则由零点存在定理，存在唯一的知6（2,|e）,使g3））=0，.•・存在唯一的为€（2,+8）,使得

导数在不等式中的应用

幽2（2013-大连模拟）设。

为实数，函数/W=e'

-2x+M,xeR.

（1）求犬工）的单调区间与极值；

（2）求证：

当a>

ln2—1H.x>

0时，ex>

x2~2ax+［.

（1）令=0,求极值点，然后讨论在各个区间上的单调性.

（2）构造函数^（x）=eA-x2+lax-l（x^R）,注意到g（0）=0,只需证明g（x）在（0,+8）上是增函数，可利用导数求解.

（1）由f（x）=eY-2x+2a,/（x）=eA-2,x^R.令J3=。

，得x=ln2.

于是当x变化时，/（x）,/U）的变化情况如下表：

（-8,in2）

In2

（In2,+8）

单调递减

2（1-ln2+o）

单调递增

故/（*）的单调递减区间是（-8,m2）,单调递增区间是（In2,+8）,

/U）在x=In2处取得极小值，极小值为Rin2）=e”2-21n2+2“=2（1-In2+a）.

（2）设g（x）=ex-x2+2ax-1,x《R.于是g\x）=ex-2x+2cbx^R.

由

（1）知当a>

\n2-1时，g。

）最小值为？

（hi2）=2（l-ln2+tz）〉0.于是对任意xER,都有g«

）>

所以g（x）在R内单调递增.

于是当a>

In2-1时,对任意%e（0,+8）,都有g（x）>

g（0）.

又g（0）=0,从而对任意%e（0,+oo）,g（x）>

即ex-x2+2dx-1>

0,故e>

x~2ax^1.

@安式*（2013•杭州模拟）设函数.幻）=疽此-齐破，Q0.

⑴求公）的单调区间;

（2）求所有的实数。

，使e—1寻>

）<

2对对［1,e］恒成立.（其中，e为自然对数的底数）.

（1）因为f（x）=a2\nx~x1^ax,其中Q0,

，〜、/-（x-a）（2x+a）

所以/W=—2x+a=—.

由于。

0,所以7U）的增区间为（0,。

），减区间为（0,+8）.

（2）由题意得/（I）=a-l^e-1,即oMe.

由⑴知冷）在［1,e］内单调递增，

要使C-1W/3）Wc2对［1,c］恒成立.

只要，

（1）=a-l^e-1,①

/（e）=a2-e2+«

e^e2,②

由①得“'

e；

由②得oWe.

因此。

=e.

故当e-lW/aXS对*e［i,e］恒成立时，实数.的值为e.

山.1

导数与生活中的优化问题

憧屋（2013-南京模拟）请你设计一个包装盒.如图2—12—2所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,。

四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、F在上，是被切去的一•个等腰直的三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x（cm）.

图2—12—2

（1）若广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）某厂商要求包装盆的容V（cm）最大，试问工应取何值？

并求出此时包装盒的高与底而边长的比值.

【思路点拨】用x表示包装盒的高度和底面边长，则

（1）包装盒的侧面积S是关于x的二次函

数，可通过配方求最值；

（2）包装盒的容积V是关于X的三次函数，可通过导数求最大值.

【尝试解答】设包装盒的高为/?

（cm）,底面边长为。

（cm）.

（1）5=4M=8x（30-x）=-8（x-15）2+1800,

所以当x=15时，S取得最大值.

（2）V=a2h=2^2（-尸+30x2）>

r=672x（20-x）.

由#=0得工=0（舍）或工=20.

当xe（o,20）时，W>

当%e（20,30）时，F<

所以当工=20时，V取得极大值，也是最大值.

h1I

此时；

=3，即包装盒的高与底面边长的比值为分

凶苴M某地建-座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距，〃米.余下工程只需建两端桥墩之间

的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元：

距离为工米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+衣）x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为>

万元.

（1）试写出），关于x的函数关系式；

⑵当〃7=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

（1）设需新建〃个桥墩，则（m+l）x=m,即〃=一-1,

所以y=fM=256〃+（/?

+1）（2+\[x）x

256

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