线段和最短专题.docx
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线段和最短专题
专题复习
《两线段之和最短》
在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB这类线段之和最小问题，解决这一类问题关键是要运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手,把两条线段的和变为一条线段来研究,利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明。
关于最短距离,我们有下面几个相应的结论：
（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间,线段最短）；
（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
一、数学模型
1、实际问题：
人教版八年级上册课本P42轴对称探究
如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，
泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
2、数学问题：
已知：
直线l和l的同侧两点A、B
求作：
点P，使P在直线l上，并且PA＋PB最小.
二、在三角形背景下探求线段和的最小值
1、如图,等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为_________
2、如图,等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EP+CP的最小值为
三、在四边形背景下探求线段和的最小值
3、如图,在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC,AD＝4,AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时,PB的长为__________
4、如图，等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点,则PA+PB的最小值为 ．
5、如图菱形ABCD中,AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 ．
6、如图,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2，N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为 ．
7、如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值____________cm．
8、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小,则这个最小值为____________
四、在圆背景下探求线段和的最小值
9、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______
五、在函数背景下探求线段和的最小值
10、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2,0）,B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点，
求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
11、如图，正比例函数图象与反比例函数
在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，
已知△OAM的面积为1。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A
不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小。
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16、如图,在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN的最小周长是_______．
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延伸4：
直线L的异侧有两个点A、B，在直线L上求一个点C，使得：
A、B到C的距离的差的绝对值最小。
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六、拓展延伸
17、如图,已知直线
与y轴交于点A，与x轴交于点D,抛物线
与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使｜AM－MC｜的值最大，求出点M的坐标
延伸1：
在不同直线上找两点A、B，使PA+PB最短。
13、如图，在锐角△ABC中，AB＝
，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．
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延伸2：
已知直线L外有一个定点P,在直线L上找两点A、B，使AB=m,且PA+PB最短.（其中m为定值）
14、如图，在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,
顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3，OB=4，D为边OB的
中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，
求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2，
当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。
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延伸3:
在两条相交线之外有一个定点P,分别在两条直线上找点B、C使得PB+BC+CP最短，如何确定B、C的位置？
15、如图，∠AOB=45°,P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
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