湖北省高考数学试卷文科答案与解析.doc
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2009年湖北省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2009•湖北）若向量=（1，1），=（﹣1，1），=（4，2），则=（ ）
A．3+ B．3﹣ C．﹣+3 D．+3
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；待定系数法．
【分析】设=λ+μ，由=（4，2），用待定系数法求出λ和μ，可得结果．
【解答】解：
设=λ+μ=（λ，λ）+（﹣μ，μ）=（λ﹣μ，λ+μ）=（4，2），∴λ﹣μ=4，λ+μ=2，
∴λ=3，μ=﹣1，可得，
故选B．
【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量坐标形式的运算．
2．（5分）（2009•湖北）函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】反函数．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】按照反函数的定义，直接求出函数的反函数．
【解答】解：
可得2xy﹣y=x﹣2，
所以
把x，y互换，
它就是原函数的反函数
故选A．
【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：
1、换：
x、y换位，2、解：
解出y，3、标：
标出定义域，据此即可求得反函数．
3．（5分）（2009•湖北）“sinα=”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】二倍角的余弦．菁优网版权所有
【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简cos2α=，得到sinα的值等于两个值，得到“sinα=”是“”的充分不必要条件即可．
【解答】解：
由可得1﹣2sin2α=，即sin2α=，
∴sinα=±，
故是成立的充分不必要条件，
故选A．
【点评】此题考查学生掌握充分及必要条件的证明方法，灵活意义二倍角的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．
4．（5分）（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：
根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，
再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，
则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，
故选B．
【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意优先分析特殊的元素，同时需要区分排列与组合的意义．
5．（5分）（2009•湖北）已知双曲线的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=（ ）
A．3 B． C． D．
【考点】椭圆的标准方程；圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先根据双曲线的方程求得双曲线的准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入双曲线的准线方程求得b．
【解答】解：
依题意可得双曲线的准线为，又因为椭圆焦点为
所以有．即b2=3故b=．
故选C．
【点评】本题主要考查了椭圆和双曲线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握．
6．（5分）（2009•湖北）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠ACC1=60°，∠BCC1=45°，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱的结构特征．菁优网版权所有
【专题】计算题；作图题．
【分析】过C1作面ACB、线BC、AC的垂线，交点分别为O，D，E，连接OD、OC、OE，推出四边形OECD为矩形，求出OC，然后求出该三棱柱的高．
【解答】解：
过C1作面ACB、线BC、AC的垂线，交点分别为O，D，E，连接OD、OC、OE，
可知OE⊥AC，OD⊥BE，又因为∠ACB=90°，所以四边形OECD为矩形．
∠ACC1=60°，则CE=CC1=，同理CD=
在直角三角形OCD中，由勾股定理得OC=，
在直角三角形COC1中0C1==
故选A．
【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查作图和计算能力，是基础题．
7．（5分）（2009•湖北）函数y=cos（2x+）﹣2的图象F按向量平移到F′，F′的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（ ）
A．（，﹣2） B．（，2） C．（，﹣2） D．（，2）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的奇偶性．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos（2x+）﹣2到y=﹣sin2x的路线，进而确定向量．
【解答】解：
：
∵y=cos（2x+）﹣2∴将函数y=cos（2x+）﹣2向左平移个单位，再向上平移2个单位可得到y=cos（2x+）=﹣sin2x
∴=（，2）
故选B．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意向量的平移的方向．
8．（5分）（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）
A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2800元
【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；数形结合．
【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值
【解答】解：
设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，
得线性约束条件
求线性目标函数z=400x+300y的最小值．
解得当时，zmin=2200．
故选B．
【点评】在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．
9．（5分）（2009•湖北）设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x﹣[x]，则{}，[]，（ ）
A．是等差数列但不是等比数列
B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】可分别求得，．则等比数列性质易得三者构成等比数列．
【解答】解：
根据题意可得，．
∵×=12，+≠2
∴{}，[]，为等比数列，不是等差数列
故选B．
【点评】本题主要考查了等差关系和等比关系的判定．定义法之外，也可利用等差中项和等比中项的性质来判断．
10．（5分）（2009•湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．289 B．1024 C．1225 D．1378
【考点】数列的应用；归纳推理．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；新定义．
【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．
【解答】解：
由图形可得三角形数构成的数列通项，
同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2，
则由bn=n2（n∈N+）可排除D，又由，
与无正整数解，
故选C．
【点评】考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）（2009•湖北）已知（1+ax）5=1+10x+a2x2+bx3+…+anxn，则a2= 40 ．
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据题意，已知其展开式中x的系数为10，则结合（1+ax）5的展开式，写出其x项，令其等于10，可得a的值，进而可得a2的值．
【解答】解：
因为Tr+1=C5r•（ax）rr=1时，T2=C51•a1x=10x，
解得a=2；
r=3时，C52•a2=a2，
a2=40；
故答案为40．
【点评】本题考查二项式定理的应用，注意在其展开式中，会根据题意要求与系数的关系、性质，代入特殊值进行计算．
12．（5分）（2009•湖北）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是
0.24 ，三人中至少有一人没有达标的概率是
0.76 ．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据题意，设甲、乙、丙三人达标为依次为事件A、B、C，分析可得这三个事件相互独立，三人均达标，即ABC同时发生；由相互独立事件的乘法公式，计算可得第一空的答案，进而分析可得三人中至少有一人没有达标，其对立事件为三人全部达标；由互为对立事件的概率之和为1，计算可得第二空的答案．
【解答】解：
设甲、乙、丙三人达标为依次为事件A、B、C，三个事件相互独立，且则P（A）=0.8，P（B）=0.6，P（C）=0.5，
三人均达标，即ABC同时发生，故其概率为P1=0.8×0.6×0.5=0.24，
三人中至少有一人没有达标，其对立事件为三人全部达标；
由互为对立事件的概率性质，可得三人中至少有一人达标为1﹣0.24=0.76；
故答案为0.24；0.76．
【点评】本题考查相互独立事件的概率的计算，注意首先认真审题，认清事件之间的关系，出现至少或最多一类的词语时，要运用对立事件进行分析．
13．（5分）（2009•湖北）设集合A={x|log2x＜1}，B={x|＜0}，则A∩B= {x|0＜x＜1} ．
【考点】交集及其运算；对数函数的定义域．菁优网版权所有
【专题】集合．
【分析】把集合A中的1变为log22，然后利用对数函数的定义域和对数函数为增函数即可求出x的范围即可得到集合A；由集合B中的不等式得到x﹣1与x+2异号，列出不等式求出解集即可得到集合B，然后求出A与B的交集即可．
【解答】解：
由已知，集合A中的不等式log2x＜1=log22，由2＞1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域为：
x＞0得到：
0＜x＜2；而集合B中的不等式＜0可化为或，解得﹣2＜x＜1，
则A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣2＜x＜1}，所以A∩B={x|0＜x＜1}．
故答案为：
{x|0＜x＜1}．
【点评】本题考查学生会求对数函数的定义域以及灵活运用对数函数的增减性解决实际问题，理解不等式＜0
与不等式（x﹣a）（x﹣b）＜0同解，掌握交集的定义并会进行交集的运算．
14．（5分）（2009•湖北）过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为 4 ．
【考点】直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】如图：
先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cosα，二倍角公式求出cos∠PO1Q，三角形PO1Q中，
用余弦定理求出|PQ|．
【解答】解：
圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=5，
圆心（3，4）到原点的距离为5．故cosα=，
∴cos∠PO1Q=
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