新课标I卷高考理科数学试卷带详解.doc
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2014高考真题·全国新课标卷Ⅰ（理科数学）
一、选择题
1.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝（ ）
A.[－2，－1]B.[－1，2）B.[－1，1]D.[1，2）
【测量目标】集合的交集.
【考查方式】给出集合A、集合B，求A∩B.
【参考答案】A.
【试题解析】集合A＝（－∞，－1]∪[3，＋∞），所以A∩B＝[－2，－1].
【难易程度】容易题
2.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]＝（ ）
A.1＋iB.1－IC.－1＋iD.－1－i
【测量目标】复数的四则运算.
【考查方式】对给出的复数进行化简.
【参考答案】D
【试题解析】＝＝＝－1－i.
【难易程度】容易题
3.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.f（x）g（x）是偶函数B.|f（x）|g（x）是奇函数C.f（x）|g（x）|是奇函数D.|f（x）g（x）|是奇函数
【测量目标】函数奇偶性
【考查方式】判断复合函数的奇偶性.
【参考答案】C.
【试题解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.
【难易程度】容易题.
4.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：
（m>0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）
A.B.3C.mD.3m
【测量目标】双曲线及点到直线的距离.
【考查方式】给出含参数双曲线方程，求焦点到渐近线的距离.
【参考答案】A
【试题解析】双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得，，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为（，0）.故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.
【难易程度】容易题
5.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A.B.C.D.
【测量目标】概率计算
【考查方式】以生活实际为情境，根据条件求出概率
【参考答案】D
【试题解析】每位同学有2种选法，基本事件的总数为，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
【难易程度】容易题
6.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图像大致为（ ）
A（ZX056）B（ZX057）C（ZX058） D（ZX059）
【测量目标】函数图像
【考查方式】根据题意判断函数图像
【参考答案】C
【试题解析】根据三角函数的定义，点M（cosx，0），△OPM的面积为|sinxcosx|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f（x）＝|sinxcosx|＝|sin2x|，且当x＝时上述关系也成立，故函数f（x）的图像为选项C中的图像.
【难易程度】容易题
7.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]执行如图1 2所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（ ）
第7题图（ZX035）
A.B.C.D.
【测量目标】程序框图
【考查方式】给出程序框图求输出结果
【参考答案】D
【试题解析】逐次计算，依次可得：
M＝，a＝2，b＝，n＝2；M＝，a＝，b＝，n＝3；M＝，a＝，b＝，n＝4.此时输出M，故输出的是.
【难易程度】容易题
8.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]设α∈，β∈，且tanα＝，则（ ）
A.3α－β＝B.3α＋β＝C.2α－β＝D.2α＋β＝
【测量目标】三角恒等变换
【考查方式】给出的范围利用三角恒等变换求解.
【参考答案】C
【试题解析】tanα＝＝＝＝＝tan，
因为β∈，所以＋∈，又α∈且tanα＝tan，所以α＝，即2α－β＝.
【难易程度】中等题
9.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1：
∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2;p2：
∃（x，y）∈D，x＋2y≥2;p3：
∀（x，y）∈D，x＋2y≤3;p4：
∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是（ ）
A.B.D.
【测量目标】考查线性规划中目标函数的最值、全称命题与特称命题
【考查方式】给出不等式组求解集判断命题的正误
【参考答案】B
【试题解析】不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A（2，－1）处取得最小值，且＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞），故命题为真，命题为假.
第9题图（ZX060）
【难易程度】中等题
10.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知抛物线C：
的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若＝4，则|QF|＝（ ）
A.B.3C.D.2
【测量目标】抛物线定义与性质
【考查方式】给出抛物线方程根据抛物线性质求线段长度
【参考答案】B
【试题解析】由题知F（2，0），设P（－2，t），Q（），则＝（－4，t），＝（），由FP＝4FQ，得－4＝4（－2），解得＝1，根据抛物线定义得|QF|＝＋2＝3.
【难易程度】中等题
11.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f（x）＝，若f（x）存在唯一的零点，且>0，则a的取值范围是（ ）
A.（2，＋∞）B.（1，＋∞）C.（－∞，－2）D.（－∞，－1）
【测量目标】利用导函数求零点
【考查方式】利用导函数得出零点求参数取值范围
【参考答案】C
【试题解析】当a＝0时，f（x）＝，存在两个零点，不符合题意，故a≠0.由，得x＝0或x＝.若a<0，则函数f（x）的极大值点为x＝0，且＝f（0）＝1，极小值点为x＝，且＝f＝，此时只需>0，即可解得a<－2；若a>0，则＝f（0）＝1>0，此时函数f（x）一定存在小于零的零点，不符合题意.综上可知，实数a的取值范围为（－∞，－2）.
【难易程度】中等题
12.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
第12题图（ZX061）
A.6B.6C.4D.4
【测量目标】三视图
【考查方式】根据三视图求棱长
【参考答案】B
【试题解析】该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥（其中E为的中点），其中最长的棱为＝＝6.
第12题图（ZX062）
【难易程度】容易题
二、填空题
13.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）
【测量目标】二项式定理
【考查方式】利用二项式定理求某项的系数.
【参考答案】－20
【试题解析】的展开式中的系数为，的系数为，故的展开式中的系数为8－28＝－20.
【难易程度】容易题
14.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：
我没去过C城市；丙说：
我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.
【测量目标】考查逻辑思维能力
【考查方式】以实际情境为载体考查学生逻辑思维能力
【参考答案】A
【试题解析】由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A城市.又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A城市.
【难易程度】容易题
15.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知A，B，C为圆O上的三点，若＝（＋），则与的夹角为________.
【测量目标】圆的性质与向量运算.
【考查方式】根据圆的性质的出向量的夹角
【参考答案】.90°
【试题解析】由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即与的夹角为90°.
【难易程度】容易题
16.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2＋b）·（sinA－sinB）＝（c－b）sinC，则△ABC面积的最大值为________.
【测量目标】考查正弦定理与余弦定理及基本不等式.
【考查方式】根据正弦定理与余弦定理及基本不等式求解三角形最大面积
【参考答案】
【试题解析】根据正弦定理和a＝2可得（a＋b）（a－b）＝（c－b）c，故得，根据余弦定理得cosA＝＝，所以A＝.根据及基本不等式得，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为.
【难易程度】中等题
三、解答题
17.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知数列的前n项和为，＝1，≠0，＝，其中λ为常数.
（1）证明：
（2）是否存在λ，使得为等差数列？
并说明理由.
【测量目标】考查等差数列
【考查方式】根据等差数列知识完成证明，求出使得为等差数列的参数
【试题解析】
（1）证明：
由题设，，，两式相减得.因为，所以.
（2）由题设，＝1，＝，可得＝λ－1，由
（1）知，＝λ＋1.若为等差数列，则，解得λ＝4，故.由此可得是首项为1，公差为4的等差数列，＝4n－3；是首项为3，公差为4的等差数列，.所以＝2n－1，＝2.因此存在λ＝4，使得数列为等差数列.
【难易程度】中等题
18.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：
第18题图（ZX063）
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求P（187.8（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.
附：
≈12.2.若Z～N（μ，），则p（μ－σ【测量目标】考查平均数和方差及正态分布
【考查方式】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率.
【试题解析】
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：
平均数＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.＝×0.02＋×0.09＋×0.22＋0×0.33＋×0.24＋×0.08＋×0.02＝150.
（2）（i）由
（1）知，Z～N（200，150），从而P（187.8
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