江苏省高考数学试卷.doc

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2018年江苏省高考数学试卷

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=　　．

2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为　　．

3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为　　．

4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为　　．

5．（5分）函数f（x）=的定义域为　　．

6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为　　．

7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为　　．

8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　　．

9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为　　．

10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　　．

11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为　　．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：

y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为　　．

13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　　．

14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞12an+1成立的n的最小值为　　．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．

求证：

（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α﹣β）的值．

17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；

（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：

3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．

（1）证明：

函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．

20．（16分）设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．

（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|an﹣bn|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；

（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：

存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．

数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．

B.[选修4-2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

22．（10分）已知矩阵A=．

（1）求A的逆矩阵A﹣1；

（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．

C.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．

D.[选修4-5：

不等式选讲]（本小题满分0分）

24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．

【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2……in的一个逆序，排列i1i2……in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：

对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记fn（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．

（1）求f3

（2），f4

（2）的值；

（2）求fn

（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．

2018年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=　{1，8}　．

【分析】直接利用交集运算得答案．

【解答】解：

∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，

∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，

故答案为：

{1，8}．

【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．

2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为　2　．

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：

由i•z=1+2i，

得z=，

∴z的实部为2．

故答案为：

2．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为　90　．

【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．

【解答】解：

根据茎叶图中的数据知，

这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，

它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．

故答案为：

90．

【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．

4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为　8　．

【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．

【解答】解：

模拟程序的运行过程如下；

I=1，S=1，

I=3，S=2，

I=5，S=4，

I=7，S=8，

此时不满足循环条件，则输出S=8．

故答案为：

8．

【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．

5．（5分）函数f（x）=的定义域为　[2，+∞）　．

【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．

【解答】解：

由题意得：

≥1，

解得：

x≥2，

∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．

故答案为：

[2，+∞）．

【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．

6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为　0.3　．

【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可，

（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可

【解答】解：

（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，

共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，

故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，

（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，

则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，

其中全是女生为AB，AC，BC共3种，

故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，

故答案为：

0.3

【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．

7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为　　．

【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．

【解答】解：

∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，

∴2×+φ=kπ+，k∈Z，

即φ=kπ﹣，

∵﹣φ＜，

∴当k=0时，φ=﹣，

故答案为：

﹣．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．

8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　2　．

【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．

【解答】解：

双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，

可得：

=b=，

可得，即c=2a，

所以双曲线的离心率为：

e=．

故答案为：

2．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为　　．

【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．

【解答】解：

由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，

则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，

f（）=c