全国各地中考数学真题分类解析汇编04 一元一次方程及其应用.docx

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全国各地中考数学真题分类解析汇编04一元一次方程及其应用

一元一次方程及其应用

一、选择题

1．（2014·台湾，第19题3分）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？

（　　）

底面积（平方公分）

甲杯

60

乙杯

80

丙杯

100

A．5.4B．5.7C．7.2D．7.5

分析：

根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出甲杯内水的高度．

解：

设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，

根据题意得：

60×10＋80×10＋100×10＝60×3x＋80×4x＋100×5x，

解得：

x＝2.4，

则甲杯内水的高度变为3×2.4＝7.2（公分）．

故选C．

点评：

此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．

2.（2014•滨州，第4题3分）方程2x﹣1=3的解是（）

A．

﹣1

B．

C．

1

D．

2

考点：

解一元一次方程

分析：

根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案．

解答：

解：

2x﹣1=3，移项，得

2x=4，

系数化为1得

x=2．

故选：

D．

点评：

本题考查了解一元一次方程，根据解一元次方程的一般步骤可得答案．

二、填空题

1．（2014•浙江湖州，第11题4分）方程2x﹣1=0的解是x=　　．

分析：

此题可有两种方法：

（1）观察法：

根据方程解的定义，当x=

时，方程左右两边相等；

（2）根据等式性质计算．即解方程步骤中的移项、系数化为1．

解：

移项得：

2x=1，系数化为1得：

x=

．

点评：

此题虽很容易，但也要注意方程解的表示方法：

填空时应填x=

，不能直接填

．

2.（2014•湘潭，第15题，3分）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为　2x+56=589﹣x　．

考点：

由实际问题抽象出一元一次方程．

分析：

设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，根据到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．列方程即可．

解答：

解：

设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，

由题意得，2x+56=589﹣x．

故答案为：

2x+56=589﹣x．

点评：

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，列出方程．

三、解答题

1.（2014•益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：

∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．

参考数据：

sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；

sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．

（第1题图）

考点：

解直角三角形的应用．

分析：

设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．

解答：

解：

设AD=x米，则AC=（x+82）米．

在Rt△ABC中，tan∠BCA=

，

∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82）．

在Rt△ABD中，tan∠BDA=

，

∴AB=AD•tan∠BDA=4x．

∴2.5（x+82）=4x，

解得x=

．

∴AB=4x=4×

≈546.7．

答：

AB的长约为546.7米．

点评：

此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．

2.（2014•益阳，第19题，10分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售时段

销售数量

销售收入

A种型号

B种型号

第一周

3台

5台

1800元

第二周

4台

10台

3100元

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）

（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

（3）在

（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？

若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

考点：

二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．

分析：

（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；

（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合

（2）的条件，可知不能实现目标．

解答：

解：

（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，

依题意得：

，

解得：

，

答：

A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．

依题意得：

200a+170（30﹣a）≤5400，

解得：

a≤10．

答：

超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；

（3）依题意有：

（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）=1400，

解得：

a=20，

∵a＞10，

∴在

（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．

点评：

本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．

3.（2014•株洲，第20题，6分）家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：

（1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；

（2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；

（3）抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；

（4）下山用1个小时；

根据上面信息，他作出如下计划：

（1）在山顶游览1个小时；

（2）中午12：

00回到家吃中餐．

若依据以上信息和计划登山游玩，请问：

孔明同学应该在什么时间从家出发？

考点：

一元一次方程的应用．

分析：

由

（1）得v下=（v上+1）千米/小时．

由

（2）得S=2v上+1

由（3）、（4）得2v上+1=v下+2．

根据S=vt求得计划上、下山的时间，然后可以得到共需的时间为：

上、下上时间+山顶游览时间．

解答：

解：

设上山的速度为v，下山的速度为（v+1），则

2v+1=v+1+2，

解得v=2．

即上山速度是2千米/小时．

则下山的速度是3千米/小时，山高为5千米．

则计划上山的时间为：

5÷2=2.5（小时），

计划下山的时间为：

1小时，

则共用时间为：

2.5+1+1=4.5（小时），

所以出发时间为：

12：

00﹣4小时30分钟=7：

30．

答：

孔明同学应该在7点30分从家出发．

点评：

本题考查了应用题．该题的信息量很大，是不常见的应用题．需要进行相关的信息整理，只有理清了它们的关系，才能正确解题．

4.（2014年江苏南京，第25题）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发xh后，到达离甲地ykm的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．

（1）小明骑车在平路上的速度为　　km/h；他途中休息了　　h；

（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；

（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？

（第4题图）

考点：

一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用

分析：

（1）由速度=路程÷时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，进而得出途中休息的时间；

（2）先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出B的坐标和C的坐标就可以由待定系数法求出解析式；

（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，根据距离甲地的距离相等建立方程求出其解即可．

解答：

（1）小明骑车在平路上的速度为：

4.5÷0.3=15，

∴小明骑车在上坡路的速度为：

15﹣5=10，

小明骑车在上坡路的速度为：

15+5=20．

∴小明返回的时间为：

（6.5﹣4.5）÷2+0.3=0.4小时，

∴小明骑车到达乙地的时间为：

0.3+2÷10=0.5．

∴小明途中休息的时间为：

1﹣0.5﹣0.4=0.1小时．

故答案为：

15，0.1

（2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时，∴B（0.5，6.5）．

小明下坡行驶的时间为：

2÷20=0.1，∴C（0.6，4.5）．

设直线AB的解析式为y=k1x+b1，由题意，得

，解得：

，

∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；

设直线BC的解析式为y=k2+b2，由题意，得

，解得：

，

∴y=﹣20x+16.5（0.5＜x≤0.6）

（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意，得

10t+1.5=﹣20（t+0.15）+16.5，解得：

t=0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5，∴该地点离甲地5.5km．

点评：

本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．

5.（2014•泰州，第20题，8分）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．

（1）该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球？

（2）在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小亮说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小亮的说法正确吗？

请说明理由．

考点：

一元一次方程的应用；概率的意义

分析：

（1）设该运动员共出手x个3分球，则3分球命中0.25x个，未投中0.75x个，根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛，平均每场有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可；

（2）根据概率的意义知某事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值；由此加以理解即可．

解答：

解：

（1）设该运动员共出手x个3分球，根据题意，得

=12，

解得x=640，

0.25x=0.25×640=160（个），

答：

运动员去年的比赛中共投中160个3分球；

（2）小亮的说法不正确；

3分球的命中率为0.25，是相对于40场比赛来说的，而在其中的一场比赛中，虽然该运动员3分球共出手20次，但是该运动员这场比赛中不一定投中了5个3分球．

点评：

此题考查了一元一次方程的应用及概率的意义．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程及正确理解概率的含义．

6．（2014·浙江金华，第20题8分）一种长方形餐桌的四周可坐6从用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接.

（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？

（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？

【答案】

（1）18，34；

（2）22.

【解析】

7．（2014•浙江宁波，第24题10分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）

A方法：

剪6个侧面；B方法：

剪4个侧面和5个底面．

现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．

（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；

（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？

考点：

一元一次方程的应用；列代数式．

分析：

（1）由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；

（2）由侧面个数和底面个数比为3：

2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．

解答：

解：

（1）∵裁剪时x张用A方法，

∴裁剪时（19﹣x）张用B方法．

∴侧面的个数为：

6x+4（19﹣x）=（2x+76）个，

底面的个数为：

5（19﹣x）=（95﹣5x）个；

（2）由题意，得

，

解得：

x=7，

∴盒子的个数为：

=30．

答：

裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．

点评：

本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．

8.（2014•滨州，第19题3分）

（1）解方程：

2﹣

=

考点：

解一元一次方程．

专题：

计算题．

分析：

（1）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解；

解答：

解：

（1）去分母得：

12﹣2（2x+1）=3（1+x），

去括号得：

12﹣4x﹣2=3+3x，

移项合并得：

﹣7x=﹣7，

解得：

x=1；

点评：

此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．（2014•德州，第20题8分）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：

进价（元/只）

售价（元/只）

甲型

25

30

乙型

45

60

（1）如何进货，进货款恰好为46000元？

（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？

考点：

一次函数的应用；一元一次方程的应用

分析：

（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；

（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论．

解答：

解：

（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，由题意，得

25x+45（1200﹣x）=46000，

解得：

x=400．

∴购进乙型节能灯1200﹣400=800只．

答：

购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；

（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由题意，得

y=（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a），

y=﹣10a+18000．

∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，

∴﹣10a+18000≤[25a+45（1200﹣a）]×30%，

∴a≥450．

∵y=﹣10a+18000，

∴k=﹣10＜0，

∴y随a的增大而减小，

∴a=450时，y最大=13500元．

∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．

点评：

本题考查了单价×数量=总价的运用，列了一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出求出一次函数的解析式是关键．

10.（2014•菏泽，第17题7分）

（1）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？

考点：

一元一次方程的应用；

分析：

（1）设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100﹣x）瓶，根据270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，列方程求解；

解答：

解：

（1）设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100﹣x）瓶，

由题意得，2x+3（100﹣x）=270，

解得：

x=30，100﹣x=70，

答：

A饮料生产了30瓶，则B饮料生产了70瓶；

点评：

本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．