极化恒等式资料讲解.docx

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极化恒等式资料讲解

极化恒等式

活跃在高考中的一个恒等式——极化恒等式

01何谓极化恒等式

2

rbra

2

rbra

1-4rbra

02极化恒等式应用

例1，（2017全国II，理12）已知VABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一

uuuuuuuur

点，贝UPAPBPC的最小值是（）

解法1（坐标法）：

以BC所在直线为x轴，BC的中垂线y轴建立平面直角坐标系，

厂uuu厂uur

B1,0,C1,0,A0,3，设Px,y，则PAx,、3y,PB1x,y，

mur

PC1x,y

uuuuuiuuuur一

PAPBPCx,、3y2x,2y

2x2+2y2,3y2x2

解法2（极化恒等式）：

uuur

uju

uuu

uuur

uuu

ujun

2

1iiLLr2

2aoI

uuju

PA

PB

PC

2P0

PA

2

PM

2

PM

设BC的重点为O,0C的中点为M，连接0P,

PM，

2

3

2

当且仅当M与P重合始去等号.

例2在VABC中，已知C90o,AC4,BC3,D是AB的中点，E，F分别是BC，AC上的uuuruuur

动点，且EF=1,则DEDF的最小值为（）

A昱B.15C.17D.丄

4444

解法1（坐标法）

以AC所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则

3

A4,O，B0，3，D2，-,

设E0,b,Fa,0,则

b2

UULT

DE

2，b1

UUUT

DF

ujutuut25DEDF2a

4

3b

y

25

4

4a

3b

由柯西不等式可得:

a2

b2

42

32

4a

3b

，即4a

4

3b5，当且仅当a5

3

，b5时取

iuur

等号，DEDF

uuur

25

4

1

2

解法2（极化恒等式）

UUUU2

UUUT2

UJUT2

1

1

DM

EM

DM

CD

—

4

2

UJITUULT

DEDF

本题也可用三角换元法解决

A.ABC90oB.ABACC.BAC90°D.ACBC

解法1（坐标法）

以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设

AB4,Ca,b,Px,0，贝U

uuuuuuumruuir

F01,0,A2,0,B2,0,PB2x,0,PCax,b,F0B1,0,RCa1,b，

uuuuuuuurluir

QPBPCP0BPC,2xaxa1恒成立，即：

xa1x10恒成立,

a11,即：

a0，

pli^PC=~P^-（PR+Rcy\71Q=AB-AHa2+

T而•荒M丽•乩目冠=R,化当z=］吋，用•疋取得最小值，

.苏昴_1

”—皿易r

:

朮兪=一护朮初=一血皿（0为BC的中点）,

•二方•｛石7卜刃5）=山即；刁^0?

=0,

AOCLAB.乂TO为R「的中点，

：

.AC=B（\故选（D）.

解法2（基地法）解法3（极化恒等式）

二|而卜-：

誌空|恥卜-:

祝巴二|而|纠恥卜

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解法1（坐标法）

解法2（基底法）

设万a，I）P=hf

则初.c5=（7+3"AH-7+3T）=9|~A|2-|^|2=4,

菇•手=（“+方）•（——a+b）=|b|2—|a卩=——1*

—气〜13

解得：

|b|2=gt|（i

/.a+2b）*（—a+2b}=4|bp—|a

解法3（极化恒等式）

设DC^a.DF=b,窈•打二血卩一|詡一卅=4#

詁抒=|詡卩一画卩初一宀一1,

解得；沖=：

例5、（2018宝鸡一模）直线axbyc0与圆O:

x2寸馅相交于两点M,N,若

ooouuurmur

c2a2b2，P为圆O上任意一点，贝UPMPN的取值范围为

解法1（坐标法）以O为坐标原点，MN的平行线为x轴，建立如图所示的直角坐标系,

则戸立=（—715—4cosfl*—1—4stnfl）t

oXt）+I^|2^4X4Xcos2ZV/04-2^04+I6^16X（2cos2ZA/

r心+1昨=2—

8co亦亦*«3>e|-6,101，

故PM•冋V的取值范碉为|—6，10].

解法3（极化恒等式）

设MV的中点为zL筋•函r=|曲雨即=|丙卜一仮

丁|湖一|衬底］丙底|讷+|丽|,

A3^|pt|^5T茁心ID.nmth40

陥•蔵=|用|2—15E[—6,10],

解法1（坐标法）

例6,如图，已知B,D是直角C两边上的动点,

以C为坐标原点，BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系,

则C&*cXr=^[5cos2//+43sin/kostf十3听】卩"|=：

（23sin2^+cos2tf+4）=^（\；'I3sin（2^+^）I4|^j（/13+4）>

故筋的显大値为J（13+4）.

解法2（基底法）

设ZCD"二仏揄•內'=：

（刁+詡卜（再+刃）=：

（2詡

+/卜（2胡+励=：

（2尬刃+谕•祁+苗切）=a

+co$2^+4）=|[13En（2"+叭+引W»\「3+4）.

故插•乔t的故人值为：

（：

.<13+4）.

解法3（极化恒等式）：

设的中点为G.BD的中点为仏帀衣=|&卩—：

|耐2=|商一容如4mathlO

「I苗w|函+崗=£+晋,

A初=：

（佃+4"

故陆揃9般人们为扌（13+4）.

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