极化恒等式资料讲解.docx

1、极化恒等式资料讲解极化恒等式活跃在高考中的一个恒等式 极化恒等式01何谓极化恒等式2r b r a2r b r a1 - 4 r b r a02极化恒等式应用例1，（ 2017全国II，理12）已知VABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一uuu uuu uur点，贝U PA PB PC的最小值是（）解法1 （坐标法）：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线y轴建立平面直角坐标系，厂 uuu 厂 uurB 1,0 ,C 1,0 ,A 0, 3，设 P x, y，则 PA x,、3 y , PB 1 x, y，murPC 1 x, yuuu uuiu uuur 一PA PB PC x,、3

2、y 2x, 2y2x2 +2y2 ,3y 2 x2解法2 （极化恒等式）：uuurujuuuuuuuruuuujun21 iiLLr 22aoIuujuPAPBPC2P0PA2PM2PM设BC的重点为O, 0C的中点为M，连接0P,PM，232当且仅当M与P重合始去等号.例2在VABC中，已知 C 90o, AC 4, BC 3,D是AB的中点，E，F分别是BC，AC上的 uuur uuur动点，且EF = 1 ,则DE DF的最小值为（）A 昱 B. 15 C. 17 D.丄4 4 4 4解法1 （坐标法）以AC所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则3A4,O，B0，3，D

3、 2，-,设 E 0,b ,F a,0 ,则b2UULTDE2，b 1UUUT,DFujut uut 25 DE DF 2a43by2544a3b由柯西不等式可得:a2b242324a3b，即4a43b 5，当且仅当a 53，b 5时取iuur等号， DE DFuuur25412解法2 （极化恒等式）UUUU 2UUUT 2UJUT 211DMEMDMCD42UJIT UULTDE DF本题也可用三角换元法解决A. ABC 90o B. AB AC C. BAC 90 D. AC BC解法1 （坐标法）以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设AB 4,C a,b ,P x

4、,0 ，贝Uuuu uuu umr uuirF0 1,0 ,A 2,0 ,B 2,0 ,PB 2 x,0 , PC a x, b , F0B 1,0 , RC a 1,b ，uuu uuu uur luirQPB PC P0B PC, 2 x a x a 1 恒成立，即： x a 1 x 1 0恒成立,a 1 1,即：a 0，pliPC=P-(PR + Rcy 71Q=AB-AHa2 +T而荒M丽乩目冠=R, 化当z=吋，用疋取得最小值，. 苏昴_ 1”皿易r:朮兪=一护朮初=一血皿（0为BC的中点）,二方石7卜刃5）=山 即；刁0?=0,AOCLAB. 乂TO 为 R的中点，：.AC=B（

5、故选（D）.解法2 （基地法） 解法3 （极化恒等式）二|而卜-：誌空|恥卜-:祝巴二|而|纠恥卜收集于网络，如有侵权请联系管理员删除解法1 (坐标法)解法2 (基底法)设万a，I)P= h f则初.c5=(7 + 3AH-7 +3T)=9|A |2-|2=4,菇手=(“ + 方)(a + b ) = | b |2 | a 卩=1 * 气 13解得：| b |2=gt |(i/.a +2 b )*( a +2 b =4| b p | a解法3 (极化恒等式)设DCa. DF=b,窈打二血卩一|詡一卅=4#詁抒=|詡卩一画卩初一宀 一 1,解得；沖=：,例5、（ 2018宝鸡一模）直线ax by

6、 c 0与圆O : x2寸 馅相交于两点 M , N,若o o o uuur murc2 a2 b2，P为圆O上任意一点，贝U PM PN的取值范围为解法1 （坐标法） 以O为坐标原点，MN的平行线为x轴，建立如图所示的直角坐标系,则戸立=(7154cosfl* 1 4stnfl)toXt) + I|24X4Xcos2ZV/04-204 + I616X (2cos2ZA/M-1)-2X4X| Xcose|-6, 101，故PM冋V的取值范碉为|6，10.解法3 （极化恒等式）设MV的中点为zL 筋函r=|曲雨即=|丙卜一仮丁|湖一|衬底丙底|讷+|丽|,A3|pt|5T 茁心 ID. nmth

7、40陥蔵=| 用 |215E6, 10,解法1 （坐标法）例6,如图，已知B, D是直角C两边上的动点,以C为坐标原点，BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系,则C&*cXr=5cos2/+4 3sin/kostf十3听】卩| =：(2 3 sin2+cos2tf+4)=(； I3sin(2+) I 4| j( /13+4)故筋的显大値为J（ 13 + 4）.解法2 （基底法）设ZCD二仏 揄內=：（刁+詡卜（再+刃）=：（2詡+/卜（2胡+励=：（2尬刃+谕祁+苗切）=a+ co$2+4)=| 13En(2+叭+引W3+4).故插乔t的故人值为：(：. 13+4).解法3 （极化恒等式）：设的中点为G. BD的中点为仏帀衣=|&卩：|耐2 = |商一 容如4 mathlOI苗w|函+崗=+晋,A 初=：（佃+4故陆揃9般人们为扌（13 + 4）.B