《高等数学》一课程教学大纲docWord格式文档下载.docx
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选用教材
1.《微积分》.魏贵民等编.高等教育出版社，2004年
2.《理工数学实验》.魏贵民、郭科主编.高等教育出版社，2003年
主要教学
参考书
1．《高等数学》.赵树嫄.中国人民大学出版社，2002年
2.《微积分》.盛祥耀.高等教育出版社，1998年
3.《微积分》.朱秉义.高等教育出版社，2004年
考核方式
闭卷
本课程在
专业课程
体系中的
地位和作用
本课程是理、工、管等相关专业的第一基础课。
本课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。
本课程学习结束后，以此为出发点，学生才能进入相关课程的学习阶段。
二、课程内容与学时分配表
序号
章节内容
学时分配
讲课
实验
其他
1
§
1实数集，§
2函数
2
3数列的极限，§
4函数的极限
4函数的极限，§
5极限的性质与四则运算法则
6极限存在准则两个重要极限
7无穷小量与无穷大量
8函数的连续性
9连续函数的运算与初等函数的连续性
10闭区间上连续函数的性质
1导数概念
2初等函数的导数
3高阶导数
4隐函数及参量函数微分法
5函数的微分
3
1中值定理
2L‘Hospital法则
3Taylor公式
4函数的单调性，§
5函数的极值
6曲线的凹凸与拐点
7渐近线，§
8函数图形的描绘
9曲率
10方程的近似值
习题课
4
1定积分
2不定积分
3换元积分法
4分部积分法
5几种特殊类型函数的积分
1微元分析法，§
2平面图形的面积
3体积，§
4平面曲线的弧长
5旋转体的侧面积，§
6定积分在物理上的应用
6定积分在物理上的应用，§
7函数的平均值
6
1无穷限的广义积分，§
2无界函数的广义积分
7
1空间解析几何，§
2向量的概念
3向量的加法和数量乘法，§
4向量的加减法
1曲面方程与曲线方程
2平面方程，§
3直线方程
9
1一些空间曲面
2几种常见的二次曲面，§
3几种常见的空间曲线
10
1二元函数的极限
2全微分与偏导数
3复合函数的微分法
4隐函数微分法
5高阶偏导数
6方向导数
11
1偏导数的几何应用
2多元函数的极值
12
1Riemann积分的概念和性质，§
2二重积分
3三重积分
4重积分的应用
5第一类曲线积分
6第一类曲面积分
13
1向量分析，§
2场的概念
3第二类曲线积分
4曲线积分与路径无关的条件
5第二类曲面积分
6曲线积分、曲面积分与重积分的关系
7数量场的梯度，§
8向量场的通量与散度，§
9向量场的环量与旋度
14
1数项级数的概念，§
2级数的一般性质
3正项级数
4任意项级数
15
1函数项级数的概念
2幂级数
3Taylor级数
4函数值的近似计算，§
5Euler公式
16
1函数的Fourier级数，§
2奇函数与偶函数的Fourier级数
3半区间上函数的Fourier级数
4任意区间上函数的Fourier级数
5F级数的复数形式
17
1常微分方程的基本概念，§
2可分离变量方程
3齐次方程
4一阶线性微分方程
5全微分方程
6可降阶的高阶微分方程
7二阶线性微分方程解的结构
8二阶常系数线性微分方程的解法，§
9Euler方程
数学实验
合计
148
机动
总计
168
三、教学内容及基本要求
第一章函数极限连续
教学目的：
掌握极限、连续的基本计算
教学重点和难点：
重点：
函数概念，极限概念，极限的四则运算法则，函数的连续性。
难点：
复合函数，极限的定义，建立实际问题中的函数关系式。
主要教学内容及要求：
1.理解函数的定义（函数的表示，显函数与反函数，基本初等函数）及其图形，复合函数，初等函数，分段函数，双曲函数与反双曲函数，函数的特性.
2.了解数列极限的“
–
”定义，数列收敛的条件（必要、充分、重要），函数极限的“
”定义。
3.掌握函数的左右极限，无穷小与无穷大的定义，无穷小的性质，无穷小与极限的关系，极限的四则运算存在两准则和两个重要极限，无穷小比较，无穷小代换.
4.掌握函数的连续性，连续的定义，间断点及其分类，连续运算性，连续函数的反函数连续性，连续函数的复合函数连续性，基本初等函数和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理.
第二章导数与微分
掌握导数与微分的基本计算
导数、微分概念，导数的几何意义，初等函数，导数求法（一阶及二阶）
1.复合函数、隐函数、参数方程求导，最大值、最小值应用。
2.拉格朗日定理，泰勒定理。
1.理解导数的定义（导数作为变化率、几何、物理意义，可导性与连续之间关系）。
2.掌握函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，反函数的导数，基本初等函数的导数公式，初等函数的求导问题，高阶导数，隐函数的导数，对数求导法，参数方程求导法。
3.理解微分的定义（微分与增量关系，微分几何意义），熟悉微分的运算法则，了解微分形式不变性，微分在近似计算及误差估计中的应用。
第三章一元函数微分法的应用
掌握导数与微分的基本应用
罗尔定理，拉格朗日定理，洛必塔法则，用导数判断函数的单调性及极值。
拉格朗日定理，泰勒定理，最大值、最小值应用。
1.了解中值定理：
罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）定理，柯西（Canchy）定理，罗必塔（L’Hospital）法则，带有拉格朗日余项的泰勒（Taylor）公式.
2.掌握导数应用：
函数的增减性及其判定法，函数极值及其求法，最大最小值问题，函数，函数图形的凸凹及其判定法，拐点及其求法，水平、垂直斜渐近线，了解函数图形的描述，弧微分，曲率定义及其计算公式，函数的渐伸线，方程的近似解的弦位法和切线法.
第四章定积分与不定积分
掌握定积分与不定积分的概念和运算
定积分概念，变上限函数及其导函数，微元法。
1.理解不定积分：
原函数与不定积分的定义，不定积分性质，基本积分公式.
2．熟练掌握积分学：
换元积分法，分部积分法.
3.了解几类可积函数：
有理函数，三角函数的有理式，简单无理函数，积分表的使用.
4.理解定积分概念：
定积分定义，存在定理叙述，定积分性质.
5.掌握定积分作为变上限的函数及其导数定理，牛顿（Newton）–莱不尼茨（Leibniz）公式.
6.熟练掌握积分法：
换元法，分部积分法，近似积分法.
第五章一元函数积分法的应用
掌握定积分的应用技巧和方法
定积分的几何应用。
微元分析法的理解和应用。
1．理解定积分的元素法.
2．熟练掌握定积分在几何学上的应用:
平面图形的面积，体积，平面曲线的弧长.
3．了解定积分在物理学上的应用:
变力作功，水压力，引力.
第六章广义积分
掌握广义积分的定义和计算
两种积分的计算。
无界广义积分的确定。
1.理解无穷限广义积分的定义。
2.理解无界广义积分的定义。
3.掌握广义积分的计算。
第七章向量代数
掌握向量的概念及运算。
向量的运算。
向量的内积和外积。
1．理解空间直角坐标系、向量的定义。
2．熟练掌握向量的运算。
第八章平面与直线
掌握平面与直线方程
空间平面方程（点法式、一般式、截距式），空间直线方程（对称式、参数式、一般式）。
两平面的关系，点到平面的距离，两直线关系，直线与平面夹角，点到直线距离.
1．掌握空间平面方程（点法式、一般式、截距式），了解两平面的关系，点到平面的距离。
2．掌握空间直线方程（对称式、参数式、一般式），了解两直线关系，直线与平面夹角，点到直线距离.
第九章常见的二次曲面和常见的空间曲线
掌握常见的二次曲面和常见的空间曲线的画法
二次曲面（椭球面、双曲面、抛物面）锥面，旋转曲面。
常见的空间曲线。
1．了解二次曲面（椭球面、双曲面、抛物面）锥面，旋转曲面。
2．了解曲线的参数、掌握空间曲线在坐标面上的投影。
第十章多元函数微分法
在理解各元函数的基础上，进一步理解偏导数与全微分的概念，熟练掌握一个偏导数的计算。
偏导数与全微分的概念，多元函数概念，偏导数的计算。
复合函数、隐函数的一、二阶偏导数求解，特别是抽象函数的高阶（二阶）偏导数的求法。
1.了解多元函数概念：
多元函数定义，点函数、二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性，闭域上连续函数的性质.
2．掌握偏导数：
偏导数的定义，二元函数偏导数的几何意义，高阶偏导数，全增量与全微分的定义、存在条件，全微分在近似计算及误差估计中的应用.
3.理解多元复合函数求导法，全微分形式不变性，全导数，函数求导公式（包括方程组）.
4.了解方向导数。
第十一章多元函数积分法的应用
掌握空间曲面的切平面与法线，空间曲线的切线与法平面，多元函数极值。
多元函数的极值和条件极值（拉格朗日乘数法）。
空间曲面的切平面与法线，空间曲线的切线与法平面。
1.掌握空间曲面的切平面与法线，空间曲线的切线与法平面。
2.掌握多元函数极值，最大值与最小值，条件极值，拉格朗日乘数法。
第十二章Riemann积分
熟练计算二重积分和三重积分，学会利用重积分计算几何量（面积、体积等）及物理量（重心、转动惯量）。
第一类曲线、曲面积分（定义，包括曲线的方向、性质、关系）及计算。
二重积分、三重积分的概念及计算、应用。
第一类曲线积分计算。
三重积分的计算，第一类曲面积分计算。
1.理解重积分概念：
二重积分定义，存在定理，二重积分的性质，三重积分概念.
2.熟练掌握重积分计算：
二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），三重积分的计算方法（直角坐标、极坐标，球面坐标）.
3.掌握重积分应用：
平面面积，立体体积，曲面面积，质量重心，转动惯量.
4．第一类曲线、曲面积分的定义（包括曲线的方向、性质、关系），掌握计算方法。
第十三章第二类曲线积分与第二类曲面积分
掌握第二类曲线积分与第二类曲面积分的定义和计算
第二类曲线积分的概念及计算，格林公式。
第二类曲面积分的概念及计算，奥-高公式。
1.掌握第二类曲线积分（定义，包括曲线的方向、性质、关系）及计算。
3.熟练掌握格林公式，平面积分与路径无关的条件。
4.了解斯托克斯（Stotes）公式，掌握奥-高公式.公式。
5.了解场的有关概念与梯度、散度、旋度的概念及计算。
第十四章数项级数
掌握正项级数敛散性的判定方法
正项级数敛散性的判定方法。
绝对收敛与条件收敛。
教学内容：
1.熟悉无穷级数的收敛与发散的定义，收敛的必要条件。
2.理解收敛级数的主要性质，了解柯西收敛准则，熟悉几何级数和
–级数的收敛性。
3.熟练掌握正项级数的比较法和比值审敛法。
4.掌握交错级数莱布尼茨定理，绝对收敛与条件收敛。
2.理解函数项级数及其收敛域，函数项级数性质。
3.了解阿贝尔定理，学会求幂级数的收敛区间与收敛半径，理解幂级数的四则运算性和连续性，逐项积分法与逐项微分法，掌握泰勒级数，函数展开为幂级数，了解欧拉公式，幂级数在近似计算中的应用。
4.傅里叶（Fourier）级数：
三角函数系及其正交性，傅里叶系数公式，函数的傅里叶级数，函数展为傅里叶级数充分条件的叙述，偶函数与奇函数的傅里叶级数，函数的傅里叶正弦级数、余弦级数，任意区间上傅里叶级数.
无穷级数收敛、发散的概念，正项级数的比值判别法，幂级数的收敛区间，泰勒级数，函数的幂级数展开式，函数的傅里叶级数，函数的傅里叶正弦和余弦级数.
正项级数的比较审敛法，用间接法展函数为泰勒级数.
教学提示：
本章的重点要求理解线性方程收敛、发散概念，正项级数比值判别法，函数的傅里叶级数概念，会求幂级数的收敛区间及函数的幂级数展开式。
第十五章幂级数
掌握幂级数及函数的幂级数展开式。
幂级数的收敛区间，泰勒级数，函数的幂级数展开式。
用间接法展函数为泰勒级数。
1.理解函数项级数及其收敛域，函数项级数性质。
2.了解阿贝尔定理，学会求幂级数的收敛区间与收敛半径，理解幂级数的四则运算性和连续性，逐项积分法与逐项微分法。
3.掌握泰勒级数，函数展开为幂级数，了解欧拉公式，幂级数在近似计算中的应用。
第十六章Fourier级数
掌握将函数展开成傅里叶级数的公式
各种傅里叶级数的公式。
收敛定理的使用。
1.了解三角函数系及其正交性，熟悉傅里叶系数公式，函数的傅里叶级数，理解函数展为傅里叶级数充分条件的叙述。
2.掌握偶函数与奇函数的傅里叶级数，函数的傅里叶正弦级数、余弦级数，任意区间上傅里叶级数。
第十七章常微分方程
掌握各种常微分方程的解法
可分离变量及一阶线性微分方程解法，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次微分方程解法。
建立微分方程，确定初始条件，二阶常系数非齐次线性方程特解的设法。
1.了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。
2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。
３.会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程。
４.会用降阶法解下列方程：
和
。
５.理解二阶线性微分方程解的结构。
６.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
７.会求自由项形如
、
的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
四、课程教学的有关说明
本课程课内外学时比例：
2：
1；
平均周学时：
6学时／周；
课内习题课的安排及学时：
12学时
对学生能力培养的要求：
学生在学习高等数学基础知识的同时，要学会将所学知识应用于实践。
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