第36招归纳法定义法公式法累加法累乘法Word文件下载.docx
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nrr
Jt-kl+1斤+丁
故叫“=__£
i^+jt+l+l=-^t^+lXJt+2）+A7+2
二（左+2）=+<
fc+2>
=（jt+2X上十3）,故《=盘+1时等式成立;
由①②可知，4=y+lXM+耳的一切
n项，进而猜出数列的通项公式,
【点评】
（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前最后再用数学归纳法加以证明.
（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明,
二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法
4n
n2
公式法
成等比数列，n1,2,3,L.
（1）分别计算a3,a5和a4,a6的值;
（2）求数列｛an｝的通项公式（将an用n表示）；
（3）设数列｛—｝的前n项和为Sn，证明：
Sn
an
方法二
已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量31,d（q），再代入等
差（比）数列的通项公式；
已知Snf（an）或Snf（n）的关系，可以利用项和公式
成立，设bnann
t解析】⑴由內=2及»
4=3耳"
亠+2为w=l时6=了一
3£
只+用十2及决=3£
小+&
-厅+2（«
>
2）
得=3务+2曲-1,故3肝］+丹+1）=炎气+fl）、
即殆=返（川“），当心耐上式也成立,
故仇｝是決3前首项，3対公比的等比数列
11丄1尹_押1八1、40
⑶由
（2）得=—
一十一十•…十一=-2—=—（1-——）>
——
ii4WfW81
故勢沁1解得心4』最小正整数科的值弓
【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项
7项，第
【反馈检测2】已知等比数列｛an｝中，3164,公比q1,82,33,34又分别是某等差数列的第3项，第1项.
⑴求an；
（2）设bnlog2an,求数列｛|g|｝的前n项和Tn.
【例3】数列｛an｝的前n项和为Sn,6=1,an12Sn（n€N）,求｛a.｝的通项公式.
[Ml由心口产2$也当心2时口』;
5厂阳二得鱼—3,因此4】是苜项対
1（n=l）
2x3*-（w>
2>
-%
巳也尸釦的等比数列.故6"
灯小怙2）,而时1不满足该式『所臥应尸
（1）已知Snf（an）或Snf（n）,—般利用和差法.如果已知&
f（务1）或f（务1）也可
以采用和差法.
（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验n1是否满足，能并则并，不并则分
【例4】已知函数f（x）3x26x，Sn是数列｛an｝的前n项和，点（n,&
）（nN）在曲线yf（x）
1
上.（I
a?
b
求数列｛an｝的通项公式；
（n）若bn（―）n1,Cn亠」，且Tn是数列｛Cn｝的前n项
26
3
问Tn是否存在最大值？
若存在，请求出Tn的最大值；
若不存在，请说明理由
所以an96n.
由®
式得+
1212^
=尹茄2尹而r
++即7；
"
a所以T,>
T.>
T,>
->
T^,>
-
所以人存在最大值1\=2・
方法三利用放缩法
【反馈检测3】已知数列｛an｝的前n项和
4
—an
2（n1,2,3,4），求｛an｝的通项公
累加法
方法三
在已知数列中相邻两项存在：
anan1f（n）（n2）的关系
先给递推式anan1f（n）（n2）中的n从2开始赋值，一直到n，—共得到n1个
式子，再把这n1个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项
为数列Sn的前n项和.
法二
亍（百—计一1）■尹匸1
几=$1十禺十十乞-亍（一十尹十…十歹）=--亍（1-亦）
（1）本题anan1n1，符合累加法的使用情景a.a.1f（n）（n2），所以用累加法求
【反馈检测4】已知数列｛an｝满足an1an23n1，印3，求数列｛an｝的通项公式.
方法四
累乘法
若在已知数列中相邻两项存在：
一—g（n）（n2）的关系.
an1
a
先给递推式ng（n）（n2）中的n从2开始赋值，一直到n，—共得到n1个式子，再
把这n1个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项.
【例5】已知数列an满足a1-,an1—an,求务
4n1
【解折】由条件加二丄〒分别令H=1224……血一1）,代入上武得"
1个等武累乘，即孔/r+1
n
又“珥
an
（1）由已知得已」——,符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项
ann1
（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出n1个等式就可以了，不必写n个等式.
【反馈检测5】已知数列｛an｝满足an12（n1）5na.,ai3，求数列｛an｝的通项公式.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲:
数列通项的求法一（归纳法、
定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案
【反馈检测1答案】a33,a56,
9a
a4—,a68.
2
【良愦检测1佯细K析】
（1）由已知,
/9
得疗：
=3』（2-=6J偽二一」白w=S
U3x4
&
==——=
“22
f_2_1x262x3
{2）a，=—=,iJq=—=
12222
F¥
军
a-,=——n口4=一，业=一
-2斗2、2
弩2»
冒"
以下用数学®
邨去证明之•
①当n
1时，a211a11,
a21—2，猜想成立;
②假设
k（k
1,k
N*）时，猜想成立，即
a2k1
k（k1）a
a2k
'
那么
a2
1）
2a2k
a2k12
（k1）2
k（k
（k1）（k
1）1
a2k2
a2k
（k1）（k
（k
1时,
2）2
1）12
猜想也成立.由①②，根据数学归纳法原理,
对任意的
nN*，猜想成立.
n1n1
（n1）（n3）
1
•••当n为奇数时，an
当n为偶数时，an
（n
8
即数列｛an｝的通项公式为an
n为偶数
（n2）
岂”酣偶数也厂乔希r而詁Y冷-余
综上'
占-士
茫111
■■-乂二一+—+-+—
<
S（———+—■—■+…4
2334
=8（--——
2tt+2
二；
73
a1
那么，当k为奇数时,
当k为偶数时,
Sk1Sk
14k
ak1k
2（k2）（k4）
4（k1）
k3
2k1
（k2）（k4）
2）（k3）（k4）
（k1）2
•••n
k1时，不等式也成立.
综上所述：
S1
n（13
【反馈检测2答案】
门）an64G）"
；
（2）Tn=
nl
7）（n6）
（n7）,
21（n7）.
【反馈检测2詳细解析J（I）依題S有业—刃=買內-亦,艮卩2a气一丸■?
+应；
二0,2口I扌-3珂可'
+口二0,
艮卩2g*一+1=02-"
”"
q±
1，二g=—故碍=*（铲.
⑵乞二gg；
［64XG）i］二烛22F=7-叭
［7=冲M<
7,
弃5寸，人二号2
心7臥
丁=兀十依一7X祁一0_2［十Or-7X^-6）
故?
;
二
疏13—w）
Oi-M二叭门
11,241■*
【反馈检测3譯细解析】由--X2^^-H亍趴3）八迪得的=S产〒口1一尹4+才
51r
所汉坷n再S曰飞仏1丐心”+2（"
2J…）②
A1
将®
和②相减得：
町=X产-（码-3）-——2J
3J
整理得w+严=4（%1+厂1）Cn=2.的）因而数列g+于｝是首顼门严2=47=4的等比数列•即碣+八"
4対=斗'
\因而口严¥
—
【反馈检测
4答案】an
3n
n1.学科*网
4详细解析】
由an
1an231得an1
23n1则
an（an
an1）
（an1
an2）
（a3a2）
（a2
ai）
ai
J1
（23
（2
21）
321）
31
32（3n
1J2.-2-1、.
3L33）（n
1）3
23（13n1）
13
所以an
n1.
5答案】
2n1
n（n
5
2_
n!
.
5详细解析】
因为
2（n
1）5n
则旦^2（n1）5n，
an1L
an1an2
西鱼a1
a2a1
[2（n1
1）5n1][2（
n21）5n2]L
[2（2
21
1）5][2（11）5]3
2n1[n（n
1）L3
2]5（n1）（n2）L
32n1
n（n1）
5^n!
所以数列｛an｝的通项公式为an32n
152n!
所以Tn存在最大值T1-
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