第36招归纳法定义法公式法累加法累乘法Word文件下载.docx

1、n rrJt-kl + 1 斤 + 丁故叫“ =_i+jt+l + l = -t+lXJt+2）+A7+2二（左+ 2）=+ = （jt + 2X上十3）,故 =盘+1时等式成立;由可知，4=y+lXM+耳的一切n项，进而猜出数列的通项公式,【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 最后再用数学归纳法加以证明 .（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明,二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法4nn 2公式法成等比数列，n 1,2,3,L .（1 ）分别计算a3, a5和a4 , a6的值;（2）求数列an的通项公式（

2、将an用n表示）；（3）设数列的前n项和为Sn，证明：Snan方法二已知数列是等差数列或等比数列， 先求出等差（比）数列的基本量31,d（q），再代入等差（比）数列的通项公式；已知 Sn f （an）或Sn f（n）的关系，可以利用项和公式成立，设bn an nt解析】由內=2及4 = 3耳亠+ 2为w = l时6 = 了一3只+用十2及决=3小+ &-厅+2 （2）得 = 3务+2曲-1,故3肝+丹+ 1）=炎气+ fl）、即殆=返（川“），当心耐上式也成立,故仇是決3前首项，3対公比的等比数列11 丄1 尹_押 1八1、40由（2）得=一十一十十一=- 2 =（1-） ii 4 W f W

3、 81故勢沁1解得心4最小正整数科的值弓【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项7项，第【反馈检测2】已知等比数列 an中，31 64,公比q 1, 82,33,34又分别是某等差数列的第 3项，第1项.求an ； （2）设bn log2an,求数列| g |的前n项和Tn.【例3】数列 an的前n项和为Sn, 6=1, an 1 2Sn （ n N ）,求 a.的通项公式.Ml由心 口产2$也当心2时口;5厂阳二得鱼3,因此4】是苜项対1 （n=l）2x3*-（w2- %巳也 尸釦的等比数列.故6灯小 怙2）,而时1不满足该式所臥应尸（1 ）已知

4、Sn f （an）或Sn f（n）, 般利用和差法.如果已知& f （务1）或f （务1 ）也可以采用和差法.（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验 n 1是否满足，能并则并，不并则分【例4】已知函数f（x） 3x2 6x，Sn是数列an的前n项和，点（n ,&）（ n N ）在曲线y f（x）1上.（Ia ? b求数列an的通项公式；（n）若bn （）n1 , Cn 亠，且Tn是数列 Cn 的前n项263问Tn是否存在最大值？若存在，请求出 Tn的最大值；若不存在，请说明理由所以an 9 6n.由式得+1 2 12=尹茄2尹而r+ + 即7； a 所以T,T.T,-T, -所以人存在最

5、大值1=2方法三利用放缩法【反馈检测3】已知数列 an的前n项和4 an2（n 1,2,3, 4 ），求 an的通项公累加法方法三在已知数列中相邻两项存在： an an 1 f（n） （n 2）的关系先给递推式an an 1 f （n） （n 2）中的n从2开始赋值，一直到n，共得到n 1个式子，再把这n 1个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项为数列Sn的前n项和.法二亍（百计一1）尹匸1几 =$1十禺十十乞-亍（一十尹十十歹）=-亍（1-亦）（1）本题an an 1 n 1，符合累加法的使用情景 a. a. 1 f（n）（n 2），所以用累加法求【反馈检测4】已知数列an满足an 1

6、 an 2 3n 1，印3，求数列an的通项公式.方法四累乘法若在已知数列中相邻两项存在： 一 g（n）（n 2）的关系.an 1a先给递推式 n g（n）（n 2）中的n从2开始赋值，一直到 n，共得到n 1个式子，再把这n 1个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项 .【例5】已知数列an满足a1 -,an 1 an,求务4n 1【解折】由条件加二丄分别令H =1224血一 1）,代入上武得1个等武累乘，即 孔 /r+1n又“珥a n（1 ）由已知得 已 ,符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项an n 1（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出 n 1个等式就可以了

7、，不必写 n个等式.【反馈检测5】已知数列an满足an 1 2（n 1）5n a., ai 3，求数列an的通项公式.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 36讲:数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案【反馈检测1答案】a3 3, a5 6 ,9 aa4 , a6 8.2【良愦检测1佯细K析】（1）由已知,/ 9得疗：=3（2- = 6 J偽二一白w = SU 3x4&= “ 2 2f _2_1x2 6 2x32） a，= = , iJq = 1 2 2 2 2F 军a-,=n 口4 = 一，业=一-2 斗 2 、 2弩2冒以下用数学邨去证明之当n1 时，a2 1

8、1 a1 1 ,a21 2，猜想成立;假设k （k1,kN*）时，猜想成立，即a2k 1k（k 1） a ,a2k那么a21）2a2ka2k 1 2（k 1）2k（k（k 1） （k1） 1a2k 2a2k（k 1）（k（k1时,2）21） 1 2猜想也成立.由，根据数学归纳法原理,对任意的n N*，猜想成立.n 1 n 1（n 1）（n 3） 1当n为奇数时，an当n为偶数时，an（n8即数列an的通项公式为ann为偶数（n 2）岂”酣偶数也 厂乔希r而詁 Y冷-余综上占-士茫 1 1 1- 乂二一+-+ S（ + +42 3 3 4=8（-2 tt+2二；73a1那么，当k为奇数时,当k为

9、偶数时,Sk 1 Sk1 4kak 1 k2 （k 2）（k 4）4（k 1）k 32 k 1（k 2）（k 4）2）（k 3）（k 4）（k 1） 2 nk 1时，不等式也成立.综上所述：S1n（13【反馈检测2答案】门）an 64 G） ； （2） Tn =nl7）（n 6）（n 7）,21 （n 7）.【反馈检测2詳细解析J （I）依題S有业刃=買內-亦, 艮卩2a气一丸? +应；二0, 2口I扌 -3珂可+口二0,艮卩 2g* 一 +1 = 0 2- ” q 1，二 g = 故碍=*（铲.乞二 gg ；64 X G）i二烛2 2 F = 7 -叭7 =冲 M 7,弃5寸，人二号2心7臥

10、丁 =兀十依一7X祁一0_2十 Or-7X-6）故?;二疏13 w）Oi-M二叭门1 1 ,2 4 1 *【反馈检测3譯细解析】由- -X 2 -H亍趴3 ）八迪得的=S产口1 一尹4 +才51 r所汉坷n再S曰飞仏1丐心”+2 （2J）A 1将和相减得：町=X 产-（码-3）- 2 J3J整理得w +严=4（%1 +厂1） Cn=2.的）因而数列g+于是首顼门严2 = 47 = 4 的等比数列即碣+八4対=斗因而口严 【反馈检测4答案】an3nn 1.学科*网4详细解析】由an1 an 2 3 1 得 an 12 3n 1 则an （anan 1）（an 1an 2）（a3 a2）（a2ai）aiJ 1（2 3（22 1）32 1）313 2（3n1 J 2 . -2 -1、 .3 L 3 3） （n1） 323（1 3n1）1 3所以ann 1.5答案】2n1n（n52_n!.5详细解析】因为2（n1）5n则旦 2（n 1）5n，an 1 Lan 1 an 2西鱼a1a2 a12（ n 11）5n12（n 2 1）5n 2 L2（22 11） 5 2（1 1） 5 32n 1n（n1） L 32 5（ n 1） （n 2） L3 2n 1n（n 1）5 n!所以数列an的通项公式为an 3 2n 1 5 2 n!所以Tn存在最大值T1 -