二次函数yax2+bx+c的图像及性质.docx

二次函数yax2+bx+c的图像及性质.docx

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二次函数yax2+bx+c的图像及性质

二次函数的图象

【教学目标】

1、会用描点法画出二次函数、与的图象；

2、能结合图象确定抛物线、、的对称轴与顶点坐标；

3、通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力；

【教学重点】

画出形如、与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标。

【教学难点】

理解函数、、与及其图象间的相互关系

【知识点梳理】

知识点一、二次函数的定义：

　　形如y=ax2+bx+c（a≠0，a，b,c为常数）的函数称为二次函数（quadraticfuncion）.其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.

知识点二、二次函数的图象及画法

　　二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是对称轴平行于y轴（或是y轴本身）的抛物线。

几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.

　　1.用描点法画图象

　　首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图。

画结构图时应抓住以下几点：

对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点。

　　2.用平移法画图象

　　由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象。

步骤为：

利用配方法或公式法将二次函数化为y=a（x-h）2+k的形式，确定其顶点（h，k），然后做出二次函数y=ax2的图象。

将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到（h，k）。

知识点三、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质

1。

函数y=ax2（a≠0）的图象与性质：

函数

a的符号

图象

开口方向

顶点坐标

对称轴

增减性

最大（小）值

y=ax2

a>0

向上

（0,0）

y轴

x>0时，y随x增大而增大

x<0时,y随x增大而减小

当x=0时，

y最小=0

y=ax2

a<0

向下

（0,0）

y轴

x〉0时，y随x增大而减小

x<0时，y随x增大而增大

当x=0时，

y最大=0

2。

函数y=ax2+c（a≠0）的图象及其性质:

（1）当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为（0，c），当x=0时,y最小=c

（2）当a〈0时,开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为（0，c），当x=0时，y最大=c

3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质：

　　二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线。

它的顶点坐标是，

　　对称轴是直线

函数

二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数,a≠0）

图象

a>0

a<0

性质

（1）当a〉0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点。

（2）在对称轴直线的左侧,抛物线自左向右下降,在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升。

（1）当a<0时，抛物线开口向下,并向下无限延伸，顶点是它的最高点.

（2）在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.

知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用

a，b,c的代数式

作用

字母的符号

图象的特征

a

1。

决定抛物线的开口方向；

2。

决定增减性

a〉0

开口向上

a〈0

开口向下

c

决定抛物线与y轴交点的位置,交点坐标为（0，c）

c〉0

交点在x轴上方

c=0

抛物线过原点

c〈0

交点在x轴下方

决定对称轴的位置,对称轴是直线

ab>0

对称轴在y轴左侧

ab〈0

对称轴在y轴右侧

b2-4ac

决定抛物线与x轴公共点的个数

b2—4ac>0

抛物线与x轴有两个交点

b2—4ac=0

顶点在x轴上

b2—4ac〈0

抛物线与x轴无公共点

【典型例题】

题型一:

的图象和性质

例1、一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．

例2、 在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象.

由图象思考下列问题:

（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

　　（3）抛物线，与的开口方向,对称轴，顶点坐标有何异同？

（4）抛物线与同有什么关系?

例3、已知二次函数，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？

写出其函数关系式．

变式训练：

1、已知函数,，．

（1）分别画出它们的图象；

（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（3）试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．

2、不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平移得到的．

3、若二次函数的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？

是多少？

题型二:

的图象和性质

例1、不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗？

例2、已知函数，，．

（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；

（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）分别讨论各个函数的性质．

例3、根据上题的结果,试说明:

分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？

变式训练：

1、函数,当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得最值，最值y=．

2、不画出图象,请你说明抛物线与之间的关系．

3、将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为—2，且新抛物线经过点（1,3），求的值．

题型三：

+k的图象和性质

例1、把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位,得到抛物线，求b、c的值．

例2、把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为．

例3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

变式训练：

1、抛物线可由抛物线向平移个单位,再向平移个单位而得到．

2、将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．

3、将抛物线如何平移,可得到抛物线？

4、抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．

题型四、的图象和性质

例1、通过配方,确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．

例2、已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．

例3、已知抛物线,求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．

例4、利用配方法，把下列函数写成+k的形式,并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

（1）

（2）

（3）（4）

变式训练:

1、

（1）二次函数的对称轴是．

（2）二次函数的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．

（3）抛物线的顶点横坐标是—2，则=．

2、抛物线的顶点是，则、c的值是多少?

3、已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．

4、当时，求抛物线的顶点所在的象限．

5、已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．

题型五、的最大或最小值

例1、求下列函数的最大值或最小值:

（1）；

（2）．

例2、某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：

x（元）

130

150

165

y（件）

70

50

35

若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？

此时每日销售利润是多少？

例3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现,如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?

变式训练：

1、对于二次函数,当x=时，y有最小值．

2、已知二次函数有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（）

A．a＜bB．a=bC．a＞bD．不能确定

3、求下列函数的最大值或最小值:

（1）；

（2）．

4、已知二次函数的最小值为1，求m的值．，

5、心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：

分）之间满足函数关系：

．y值越大,表示接受能力越强．

（1）x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强？

x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

（2）第10分时,学生的接受能力是多少？

（3）第几分时，学生的接受能力最强？

6、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米?

（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？

如果能,请求出最大面积,并说明围法；如果不能，请说明理由．

题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式

例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（—1，2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1，—3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（—3，0）、（5,0），且与y轴交于点（0，-3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．

例3、已知二次函数的图象经过点A（—1，12）、B（2，-3），

（1）求该二次函数的关系式;

（2）用配方法把

（1）所得的函数关系式化成的形式,并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．

例4、已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式．

变式训练：

1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3,5）;

（2）已知抛物线的顶点为（-1,2），且过点（2，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（—1,0）、（2,0），且经过点（1，2）．

2、二次函数图象的对称轴是x=—1，与y轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．

3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

4、已知二次函数，当x=3时,函数取得最大值10,且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．

5、抛物线过点（2,4）,且其顶点在直线上，求此二次函数的关系式．

【随堂练习】

1、二次函数y=ax2＋bx2＋c的图象如图所示,则a0,b0，c0（填“＞”或“＜”＝．）

2、二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（）

3、在同一坐标系中,函数y=ax2＋bx与y=的图象