高中大学高等数学公式集锦Word文档格式.docx
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u
2,
1u
tgi,
2du
sinx’
lim1
x0x
lim(1-)xe2.718281828459045…
archxIn(xx21)
三角函数公式:
•诱导公式:
函数
角A、\
sin
tg
Ctg
-a
-sina
COsa
-tga
-Ctga
90°
-a
sina
Ctga
tga
+a
180°
-COsa
-Ctga
+a
270°
360°
-和差角公式:
sin(
)sin
cos(
)cos
tg(
)汽
1tg
ctg(
)ctg
-和差化积公式:
2sin
2cos
COSCOS2COSCOS
sin2
2sincos
cos2
2cos21
ctg2
ctg21
2ctg
tg2
2tg
•倍角公式:
12sin2
-半角公式:
・2sin
sin3
3sin4sin3
cos3
4cos3cos
tg3
3tgtg3
13tg2
Y2
sin—
1cos
cos—
'
X
ctg—J
2\
:
-正弦定理:
ab
sinAsinB
c
sinC
2R
•余弦定理:
c2a2b22abcosC
•反三角函数性质:
arcsinxarccosx
arctgx
arcctgx
高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:
2!
k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)
f(a)f()(ba)
柯西中值定理:
丄型
f(a)
f()
F(b)
F(a)
F()
(n)k(nk)(k)
(uv)Cnuv
k0
(n)(n1)n(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)
uvnuvuvuv
当F(x)x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率:
uv
(n)
定积分应用相关公式:
弧微分公式:
ds.1y2dx,其中ytg
平均曲率:
K.:
从M点到M点,切线斜率的倾角变化量;
s:
MM弧长。
yi)
yiyni]
2(y2y4yn2)伽gyni)]
功:
W
水压力:
Fs
FpA
引力:
Fkmim2,k为引力系数
r
ib
函数的平
F均值:
yf(x)dx
baa
均方根:
Jb"
心)出,baa
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
dM1M2J(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影:
PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。
Prju(aia2)PrjaiPJa?
多元函数微分法及应用
全微分:
dz—dx—dy
xy
全微分的近似计算:
zdz
多元复合函数的求导法:
du—dx—dy—dzyz
fy(x,y)y
fx(x,y)x
z
f[u(t),v(t)]
dzdt
zu
ut
zv
vt
uz
v
f[u(x,y),v(x,y)]
Xv
当u
u(x,y),vv(x,y)时,
du
—dx—dy
dv
—dy
y
隐函数的求导公式:
隐函数F(x,y)0,
dy
Fx
d2y
.2
(
卜y
隐函数F(x,y,z)0,
•
Fy
Fz
卜z
隐函数方程组:
F(x,y,u,v)
j
(F,G
G(x,y,u,v)
(u,v:
1(F,G)
(F,G)
J(x,v)
J
(u,x)
J(y,v)
(u,y)
微分法在几何上的应用:
空间曲线y
F
G
Fu
Gu
Fv
Gv
(t)
(t)在点M(xo,yo,zo)处的切线方程:
XXo
(to)
yo
zZo
在点M处的法平面方程:
(to)(xXo)(to)(y
yo)
(to)(ZZo)
FyFz
GyGzG
FzFxF
Gx,G
若空间曲线方程为:
F(x,y,z)°
则切向量t{
G(x,y,z)o
曲面F(x,y,z)o上一点M(Xo,yo,Zo),则:
过此点的法向量:
n{Fx(Xo,yo,Zo),Fy(Xo,yo,Zo),Fz(x。
y。
Zo)}过此点的切平面方程:
Fx(Xo,yo,Zo)(xXo)Fy(Xo,yo,Zo)(yy。
)
2、
3、
过此点的法线方程:
xXo
yyo
Gy
Fz(xo,yo,Zo)(zZo)0
方向导数与梯度:
Fx(Xo,yo,Zo)Fy(Xo,yo,Zo)Fz(Xo,yo,Zo)
函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为:
——cos—^in
lxy
其中为x轴到方向I的转角。
函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)—i—j
它与方向导数的关系是:
-fgradf(x,y)e,其中ecosisinj,为I方向上的单位向量。
f是gradf(x,y)在I上的投影。
多元函数的极值及其求法:
fxy(xo,yo)B,fyy(X0,y°
)C
设fx(Xo,y°
)fy(xo,yo)0,令:
fxx(Xo,y°
)A,
平面薄片的重心:
x匹
M
x(x,y)d
D
(x,y)d
平面薄片的转动惯量:
对于X轴IX
(x,y)d,
y(x,y)d
对于y轴Iy
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a
0)的引力:
(x,y)xd
D(x2y2
柱面坐标和球面坐标:
3?
a2)2
(x,y)yd
D(x2y2a2!
X(X,y)d
{Fx,Fy,Fz},其中:
3
22辽
ya)
fa—
D(x2
AC
B2
卄A
0时
0,(x。
,y。
)为极大值
0>
A
)为极小值
则:
0时,
无极值
0时,
不确定
重积分及其应用:
xrcos
柱面坐标:
yrsin,f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,
zz
球面坐标:
rsinsin
rd
rsin
d
drr2sindrdd
rcos
r(,)
f(x,y,z)dxdydz
F(r,
)r2
drdd
dF(r,,)r2
dr
00
重心:
xdv,
dv,z
zdv,其中
xdv
转动惯量:
Ix
(y2
z2)
dv,
I
y(x2
2z
)dv,Iz
(x2
y2)dv
曲线积分:
其中:
F(r,,z)f(rcos,rsin,z)
xrsincos
第一类曲线积分
(对弧
长的曲线积分)
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
二元函数的全微分求积:
QP
在——=一时,PdxQdy才是二兀函数u(x,y)的全微分,其中:
(x,y)
u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设x0y00。
曲面积分:
对面积的曲面积分:
f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1Zx(x,y)Zy(x,y)dxdy
Dxy
对坐标的曲面积分:
P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中:
R(x,y,z)dxdy
R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
P(x,y,z)dydz
P[x(y,z),y,z]dydz取曲面的前侧时取正号;
Dyz
Q(x,y,z)dzdx
Q[x,y(z,x),z]dzdx取曲面的右侧时取正号。
Dzx
两类曲面积分之间的关系:
PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds
高斯公式:
PQR
()dv<
PdydzQdzdxRdxdy二(PcosQcosRcos)ds
xyz
散度:
PQ
div
R,即:
单位体积内所产生
的流体质量,若div0,则为消失
通量:
AndsAnds
(PcosQcosRcos
)ds,
—通量与散度:
高斯公式的物理意义
因此,高斯公式又可写成:
divAdv"
Ands
QdyRdz
yz
:
x
dxdy
dydz
dzdx
上式左端又可写成:
—
P
Q
R
Pdx
空间曲线积分与路径无
关的条件:
—)dxdy
曲线积分与曲面积分的关系:
(上
斯托克斯公式-
(-R—)dydz(―—)dzdx
i
旋度:
rotA一x
向量场A沿有向闭曲线
的环流量:
■:
PdxQdyRdz-Atds
常数项级数:
等比数列:
1qq2
等差数列:
23
调和级数:
--
级数审敛法:
(n1)n
丄是发散的
1正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):
1时,级数收敛
设:
limnUn,则1时,级数发散
1时,不确定
2、比值审敛法:
”m,则1时,级数发散
Un1时,不确定
3、定义法:
snuu2un;
limsn存在,贝叫攵敛;
否则发散。
交错级数u1u2u3u4(或u1U2U3,Un0)的审敛法莱布尼兹定理:
级数:
p级数
绝对收敛与条件收敛:
(1)u1U2Un,其中Un为任意实数;
(2)U1U2U3Un
如果
(2)收敛,则
(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;
如果
(2)发散,而
(1)收敛,则称
(1)为条件收敛级数。
1发散,而』收敛;
nn
丄收敛;
1:
p1时发散
np\p1时收敛
幕级数:
1xx2
X3
|x1时,收敛于
对于级数(3)a0
a-|X
a2x2
数轴上都收敛,则必存
在R,
|x1时,发散
,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全
R时收敛
R时发散,其中R称为收敛半径。
anX
R时不定
0时,R-
求收敛半径的方法:
设
lim
an1
an
其中an,an1是(3)的系数,则
0时,R
时,R0
函数展开成幕级数:
函数展开成泰勒级数:
f(x)f(X°
)(XX。
)f4x^(xx。
)2
n!
(n1)
余项:
Rn
(丄(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:
limRn0
(n1)!
n
Xo
0时即为麦克劳林公式:
f(x)f(0)f(0)X^^x2
f(n)(0)n
些函数展开成幕级数:
m
(1x)
1mxm(mJ)x2
m(m1)(mn1)n
1x1)
sinxx
3x_3!
5x
5!
2n1
欧拉公式:
ix
ecosx
isinx
三角级数:
f(t)Ao
1)n1
(2n1)!
cosx
或
sinx
e
ixix
ee
ixe
tn)|
Ansin(n
n1
aA0,anAnsinn,S
其中,a。
正交性:
1,sinx,cosx,sin2x,cos2x上的积分=0。
傅立叶级数:
(ancosnxbnsinnx)
AnCosn,tX。
sinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[
f(x)
a0
(ancosnxbnsinnx),周期
f(x)cosnxdx
(n0,1,2
其中
bn
f(x)sinnxdx
(n1,2,3
1尹
11
2242
正弦级数:
余弦级数:
62
81
24
0,bn
0,an
尸
22
歹
32
4"
f(x)sinnxdx
f(x)cosnxdx
周期为2l的周期函数的傅立叶级数:
(相加)
6
一(相减)
12
1,2,3
0,1,2
f(x)
bnsinnx是奇函数
ancosnx是偶函数
f(x)三
1'
「'
nx
(ancos
1l
nxbnsin—l
f(x)cos-dx
l
(n
),周期21
0,1,2)
1,2,3)
微分方程的相关概念:
一阶微分方程:
yf(x,y)
可分离变量的微分方程:
一阶微分方程可以化为g(y)dy
g(y)dyf(x)dx得:
G(y)F(x)C称为隐式通解。
dydx
或P(x,y)dxQ(x,y)dy0
f(x)dx的形式,解法:
齐次方程:
一阶微分方程可以写成
f(x,y)
(x,y),
即写成上的函数,解法:
设uy,则鱼u
xdx
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:
xdx,
(u),
-分离变量,积分后将—代替u,
ux
1、
阶线性微分方程:
P(x)y
Q(x)
当Q(x)0时,为齐次方程,
yCe
P(x)dx
当Q(x)0时,为非齐次方程,y
(Q(x)edx
P(x)dx
C)e
2、贝努力方程:
翌P(x)yQ(x)yn,(n0,1)dx
全微分方程:
如果P(x,y)dx
Q(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程,即:
uu
du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:
-P(x,y),—Q(x,y)
u(x,y)C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:
d2ydy■-f(x)
rP(x)Q(x)yf(x),
dxdxf(x)
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)ypyqy0,其中p,q为常数;
求解步骤:
1、写出特征方程:
()r2prq0,
2、求出()式的两个根几卫
0时为齐次
0时为非齐次
其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;
3、根据的不同情况,按下表写出(*)式的通解:
r-i,r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根(p24q0)
nxr2x
yc®
C2e2
两个相等实根(p24q0)
y(c1c2x)e"
一对共轭复根(p24q0)
yex(GCOSxc2sinx)
r-i,Di
p寸4qp2
2,2
二阶常系数非齐次线性微分方程
ypyqyf(x),p,q为常数
f(x)exPm(x)型,为常数;
f(x)ex[R(x)cosxFn(x)sinx]型