高中大学高等数学公式集锦.docx

高中大学高等数学公式集锦.docx

《高中大学高等数学公式集锦.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中大学高等数学公式集锦.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中大学高等数学公式集锦

常用导数公式:

高中大学高等数学公式集锦

（tgx）secx

（ctgx）cscx

（secx）secxtgx

（cscx）cscxctgx

（ax）axlna

（logax）1

xlna

（arcsinx）

（arccosx）

（arctgx）

（arcctgx）

1

1

1x2

1

1x2

基本积分表：

tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx

~2

ax

dx

~2

xa

dx

~2

ax

dx

2

ax

IncosxC

InsinxC

InsecxtgxC

IncscxctgxC

1

x

-arctg—

C

a

a

1

xa

——In

C

2a

xa

1

ax

——In

C

2aax

arcsin仝Ca

In

2

sinxdx

cos

xdx

dx

2~cosx

dx

~~~2-

sinx

sec2xdxtgxC

2

cscxdxctgxC

secxtgxdxsecxC

cscxctgxdxcscxC

x

axdx—C

Ina

shxdxchxC

chxdxshxC

22

In（x、xa）C

22v7xa

In

x2

2a'

x2

2a'

a2

x2

dx

dx

dx

o

x2

—x

2

2a

x2

—x

2

2a

x2

1a

2x

n

2

o

2a—In（x

2

2a.一Inx

2

2

a.xarcsinC

2

x2a2）C

、x2a2

三角函数的有理式积分:

2u

sinx2,cosx

1u2

2

u

2，

1u

tgi，

dx

2du

1u2

sinx’

lim1

x0x

lim（1-）xe2.718281828459045…

x

archxIn（xx21）

三角函数公式:

•诱导公式：

函数

角A、\

sin

cos

tg

Ctg

-a

-sina

COsa

-tga

-Ctga

90°-a

COsa

sina

Ctga

tga

90°+a

COsa

-sina

-Ctga

-tga

180°-a

sina

-COsa

-tga

-Ctga

180°+a

-sina

-COsa

tga

Ctga

270°-a

-COsa

-sina

Ctga

tga

270°+a

-COsa

sina

-Ctga

-tga

360°-a

-sina

COsa

-tga

-Ctga

360°+a

sina

COsa

tga

Ctga

-和差角公式:

sin（

）sin

cos

cos

sin

cos（

）cos

cos

sin

sin

tg（

）汽

tg

1tg

tg

ctg（

）ctg

Ctg

1

Ctg

Ctg

-和差化积公式:

sin

sin

2sin

cos

2

2

sin

sin

2cos

sin

2

2

COSCOS2COSCOS

22

cos

cos

2sin

sin

2

2

sin2

2sincos

cos2

2cos21

ctg2

ctg21

2ctg

tg2

2tg

2

1tg

•倍角公式:

12sin2

-半角公式:

・2sin

sin3

3sin4sin3

cos3

4cos3cos

tg3

3tgtg3

13tg2

2cos

tg2

1

cos

Y2

1

cos

sin—

2

1cos

1cos

sin

sin

1cos

cos—

2

'1

cos

X

2

ctg—J

2\

：

1

cos

1cos

1

cos

sin

sin

1cos

-正弦定理:

ab

sinAsinB

c

sinC

2R

•余弦定理：

c2a2b22abcosC

•反三角函数性质：

arcsinxarccosx

2

arctgx

arcctgx

高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：

2!

k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f（b）

f（a）f（）（ba）

柯西中值定理：

丄型

f（a）

f（）

F（b）

F（a）

F（）

n

（n）k（nk）（k）

（uv）Cnuv

k0

（n）（n1）n（n1）（n2）n（n1）（nk1）（nk）（k）

uvnuvuvuv

当F（x）x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率：

uv

（n）

定积分应用相关公式:

弧微分公式：

ds.1y2dx,其中ytg

平均曲率：

K.:

从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：

MM弧长。

yi）

yiyni]

2（y2y4yn2）伽gyni）]

功：

W

水压力:

Fs

FpA

引力：

Fkmim2,k为引力系数

r

ib

函数的平

F均值：

yf（x）dx

baa

均方根:

Jb"心）出,baa

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：

dM1M2J（x2x1）2（y2y1）2（z2z1）2向量在轴上的投影：

PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。

Prju（aia2）PrjaiPJa?

多元函数微分法及应用

全微分：

dz—dx—dy

xy

全微分的近似计算：

zdz

多元复合函数的求导法：

du—dx—dy—dzyz

fy（x,y）y

fx（x,y）x

z

f[u（t）,v（t）]

dzdt

zu

ut

zv

vt

z

z

uz

v

z

f[u（x,y）,v（x,y）]

X

u

Xv

X

当u

u（x,y）,vv（x,y）时，

du

—dx—dy

dv

v

dx

—dy

xy

X

y

隐函数的求导公式：

隐函数F（x,y）0,

dy

Fx

d2y

.2

（

dx

卜y

dx

X

隐函数F（x,y,z）0,

z

Fx

•

z

Fy

X

Fz

y

卜z

隐函数方程组：

F（x,y,u,v）

0

j

（F,G

G（x,y,u,v）

0

（u,v：

u

1（F,G）

v

1

（F,G）

X

J（x,v）

X

J

（u,x）

u

1（F,G）

v

1

（F,G）

y

J（y,v）

y

J

（u,y）

微分法在几何上的应用:

x

空间曲线y

F

v

G

v

Fu

Gu

Fv

Gv

（t）

（t）在点M（xo,yo,zo）处的切线方程:

（t）

XXo

（to）

yo

（to）

zZo

（to）

在点M处的法平面方程：

（to）（xXo）（to）（y

yo）

（to）（ZZo）

FyFz

GyGzG

FzFxF

Gx,G

若空间曲线方程为：

F（x,y,z）°,则切向量t{

G（x,y,z）o

曲面F（x,y,z）o上一点M（Xo,yo,Zo）,则:

过此点的法向量：

n{Fx（Xo,yo,Zo）,Fy（Xo,yo,Zo）,Fz（x。

y。

Zo）}过此点的切平面方程：

Fx（Xo,yo,Zo）（xXo）Fy（Xo,yo,Zo）（yy。

）

2、

3、

过此点的法线方程:

xXo

yyo

Fy

Gy

Fz（xo,yo,Zo）（zZo）0

方向导数与梯度:

zZo

Fx（Xo,yo,Zo）Fy（Xo,yo,Zo）Fz（Xo,yo,Zo）

函数zf（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向I的方向导数为：

——cos—^in

lxy

其中为x轴到方向I的转角。

函数zf（x,y）在一点p（x,y）的梯度：

gradf（x,y）—i—j

xy

它与方向导数的关系是：

-fgradf（x,y）e,其中ecosisinj，为I方向上的单位向量。

f是gradf（x,y）在I上的投影。

多元函数的极值及其求法：

fxy（xo,yo）B,fyy（X0,y°）C

设fx（Xo,y°）fy（xo,yo）0,令：

fxx（Xo,y°）A,

平面薄片的重心：

x匹

M

x（x,y）d

D

（x,y）d

D

平面薄片的转动惯量：

对于X轴IX

（x,y）d,

y（x,y）d

D

（x,y）d

D

对于y轴Iy

平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a

0）的引力:

（x,y）xd

D（x2y2

柱面坐标和球面坐标:

3?

a2）2

Fy

（x,y）yd

3?

D（x2y2a2!

Fz

2

X（X,y）d

D

{Fx,Fy,Fz}，其中:

（x,y）xd

3

22辽

ya）

fa—

D（x2

AC

B2

卄A

0时

0,（x。

，y。

）为极大值

AC

D

0>

A

0,（x。

，y。

）为极小值

则：

AC

B2

0时，

无极值

AC

B2

0时,

不确定

重积分及其应用:

xrcos

柱面坐标：

yrsin,f（x,y,z）dxdydzF（r,,z）rdrddz,

zz

球面坐标：

y

rsinsin

dv

rd

rsin

d

drr2sindrdd

z

rcos

2

r（,）

f（x,y,z）dxdydz

F（r,

）r2

sin

drdd

d

dF（r,,）r2

sin

dr

0

00

重心：

x

1

M

xdv,

y

1

M

y

dv,z

1

M

zdv,其中

M

xdv

转动惯量：

Ix

（y2

z2）

dv,

I

y（x2

2z

）dv,Iz

（x2

y2）dv

曲线积分：

其中：

F（r,,z）f（rcos,rsin,z）

xrsincos

第一类曲线积分

（对弧

长的曲线积分）

减去对此奇点的积分，注意方向相反!

二元函数的全微分求积：

QP

在——=一时，PdxQdy才是二兀函数u（x,y）的全微分，其中:

xy

（x,y）

u（x,y）P（x,y）dxQ（x,y）dy,通常设x0y00。

曲面积分：

对面积的曲面积分：

22

f（x,y,z）dsf[x,y,z（x,y）]1Zx（x,y）Zy（x,y）dxdy

Dxy

对坐标的曲面积分：

P（x,y,z）dydzQ（x,y,z）dzdxR（x,y,z）dxdy,其中：

R（x,y,z）dxdy

R[x,y,z（x,y）]dxdy,取曲面的上侧时取正号；

Dxy

P（x,y,z）dydz

P[x（y,z）,y,z]dydz取曲面的前侧时取正号；

Dyz

Q（x,y,z）dzdx

Q[x,y（z,x）,z]dzdx取曲面的右侧时取正号。

Dzx

两类曲面积分之间的关系：

PdydzQdzdxRdxdy（PcosQcosRcos）ds

高斯公式:

PQR

（）dv

xyz

散度：

PQ

div

xy

R,即：

单位体积内所产生

z

的流体质量，若div0,则为消失

通量：

AndsAnds

（PcosQcosRcos

）ds,

—通量与散度:

高斯公式的物理意义

因此，高斯公式又可写成：

divAdv"Ands

QdyRdz

yz

:

x

x

dxdy

y

cos

cos

cos

dydz

dzdx

上式左端又可写成：

—

—

—

—

—

—

x

y

z

x

y

z

P

Q

R

P

Q

R

Pdx

Q

Q

R

P

空间曲线积分与路径无

关的条件:

—）dxdy

曲线积分与曲面积分的关系：

Q

（上

斯托克斯公式-

（-R—）dydz（―—）dzdx

i

旋度：

rotA一x

P

向量场A沿有向闭曲线

的环流量：

■:

PdxQdyRdz-Atds

常数项级数：

等比数列：

1qq2

等差数列：

23

调和级数：

--

23

级数审敛法:

（n1）n

2

丄是发散的

n

1正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：

1时，级数收敛

设：

limnUn，则1时，级数发散

1时，不确定

2、比值审敛法：

1时，级数收敛

设：

”m，则1时，级数发散

Un1时，不确定

3、定义法：

snuu2un;limsn存在，贝叫攵敛；否则发散。

n

交错级数u1u2u3u4（或u1U2U3,Un0）的审敛法莱布尼兹定理:

调和级数：

级数：

p级数

绝对收敛与条件收敛:

（1）u1U2Un，其中Un为任意实数；

（2）U1U2U3Un

如果

（2）收敛，则

（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果

（2）发散，而

（1）收敛，则称

（1）为条件收敛级数。

1发散，而』收敛;

nn

丄收敛；

n

1：

p1时发散

np\p1时收敛

幕级数:

1xx2

X3

|x1时，收敛于

对于级数（3）a0

a-|X

a2x2

数轴上都收敛，则必存

在R,

|x1时，发散

，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

R时收敛

R时发散，其中R称为收敛半径。

n

anX

R时不定

0时，R-

求收敛半径的方法：

设

lim

n

an1

an

其中an，an1是（3）的系数，则

0时，R

时，R0

函数展开成幕级数:

函数展开成泰勒级数:

f（x）f（X°）（XX。

）f4x^（xx。

）2

2!

n!

（n1）

余项：

Rn

（丄（xx0）n1,f（x）可以展开成泰勒级数的充要条件是：

limRn0

（n1）!

n

Xo

0时即为麦克劳林公式:

f（x）f（0）f（0）X^^x2

2!

f（n）（0）n

x

n!

些函数展开成幕级数:

m

（1x）

1mxm（mJ）x2

2!

m（m1）（mn1）n

x

n!

1x1）

sinxx

3x_3!

5x

5!

2n1

欧拉公式:

ix

ecosx

isinx

三角级数:

f（t）Ao

1）n1

x

（2n1）!

cosx

或

sinx

ix

e

2

ixix

ee

2

ixe

tn）|

Ansin（n

n1

aA0，anAnsinn，S

其中，a。

正交性：

1,sinx,cosx,sin2x,cos2x上的积分=0。

傅立叶级数：

（ancosnxbnsinnx）

n1

AnCosn，tX。

sinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[

f（x）

a0

2

（ancosnxbnsinnx）,周期

n1

an

f（x）cosnxdx

（n0,1,2

其中

bn

f（x）sinnxdx

（n1,2,3

1

1尹

11

2242

正弦级数:

余弦级数:

1

62

an

bn

81

24

0,bn

0，an

1

尸

1

22

1

歹

1

32

1

4"

1

f（x）sinnxdx

f（x）cosnxdx

周期为2l的周期函数的傅立叶级数:

2

（相加）

6

2

一（相减）

12

1,2,3

0,1,2

f（x）

f（x）

bnsinnx是奇函数

a0

2

ancosnx是偶函数

a0

f（x）三

an

其中

n

1'

「'

'

nx

（ancos

1l

nxbnsin—l

f（x）cos-dx

l

（n

bn

（n

），周期21

0,1,2）

1,2,3）

微分方程的相关概念:

一阶微分方程：

yf（x,y）

可分离变量的微分方程：

一阶微分方程可以化为g（y）dy

g（y）dyf（x）dx得：

G（y）F（x）C称为隐式通解。

dydx

或P（x,y）dxQ（x,y）dy0

f（x）dx的形式，解法:

齐次方程：

一阶微分方程可以写成

f（x,y）

（x,y）,

即写成上的函数，解法:

x

设uy，则鱼u

xdx

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

du

xdx，

du

dx

（u）,

dx

x

du

-分离变量，积分后将—代替u，

ux

1、

阶线性微分方程:

dy

dx

P（x）y

Q（x）

当Q（x）0时,为齐次方程,

yCe

P（x）dx

当Q（x）0时，为非齐次方程，y

P（x）dx

（Q（x）edx

P（x）dx

C）e

2、贝努力方程:

翌P（x）yQ（x）yn,（n0,1）dx

全微分方程：

如果P（x,y）dx

Q（x,y）dy0中左端是某函数的全微分方程，即：

uu

du（x,y）P（x,y）dxQ（x,y）dy0,其中：

-P（x,y）,—Q（x,y）

xy

u（x,y）C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

d2ydy■-f（x）

rP（x）Q（x）yf（x）,

dxdxf（x）

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

（*）ypyqy0,其中p,q为常数;

求解步骤：

1、写出特征方程：

（）r2prq0,

2、求出（）式的两个根几卫

0时为齐次

0时为非齐次

其中r2,r的系数及常数项恰好是（*）式中y,y,y的系数;

3、根据的不同情况，按下表写出（*）式的通解:

r-i，r2的形式

（*）式的通解

两个不相等实根（p24q0）

nxr2x

yc®C2e2

两个相等实根（p24q0）

y（c1c2x）e"x

一对共轭复根（p24q0）

yex（GCOSxc2sinx）

r-i，Di

p寸4qp2

2，2

二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf（x），p,q为常数

f（x）exPm（x）型，为常数；

f（x）ex[R（x）cosxFn（x）sinx]型