最新中考数学复习专题特殊平行四边形Word文件下载.docx

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12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°

，FO=FC，则下列结论：

①FB⊥OC，OM=CM；

②△EOB≌△CMB；

③四边形EBFD是菱形；

④MB：

OE=3：

2．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

二．填空题（共6小题）

13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°

，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于　　度．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=

的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为　　．

15．如图：

在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是　　．

16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：

①EG=EF；

②△EFG≌△GBE；

③FB平分∠EFG；

④EA平分∠GEF；

⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　　．

17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°

，则∠2=　　．

18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　　．

三．解答题（共6小题）

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．

（1）证明：

四边形ADCE为菱形．

（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．

20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．

求证：

GE与FD互相垂直平分．

22．如图：

在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．

（1）求证：

四边形AECF为矩形；

（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；

（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．

23．如图：

矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．

（1）判断△BEC的形状，并说明理由？

（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？

并证明你的判断；

（3）求四边形EFPH的面积．

24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°

，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．

BD=DF；

（2）求证：

四边形BDFG为菱形；

（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．

参考答案与试题解析

【解答】解：

A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；

B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；

C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；

D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．

故选C．

∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

∴A、B、D都不正确．

∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

故C正确．

矩形的性质有：

①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；

菱形的性质有：

①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；

∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，

故选D．

如图：

A、∵AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠BAD=90°

，

∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；

B、∵OA=OB=OC=OD，

∴AC=BD，

C、∵AB=CD，AB∥CD，

∵AC=BD，

D、∵AB∥CD，AB=CD，

根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；

因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：

①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；

②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；

③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；

④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．

因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．

故选A．

∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，

∴OD=

BD=4cm，OA=

AC=3cm，

在直角三角形AOD中AD=

=

=5cm．

连结EF，AE与BF交于点O，如图，

∵AO平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AF∥BE，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=EB，

同理：

AF=BE，

又∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：

OA=

=8，

∴AE=2OA=16．

故选：

A．

过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，

则∠4=∠5=90°

=∠AMF

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°

=∠AMF，

∴四边形AMFD是矩形，

∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，

同理HN=AB=2，HN∥AB，

∵HG⊥EF，

∴∠HOE=90°

∴∠1+∠GHN=90°

∵∠3+∠GHN=90°

∴∠1=∠3=∠2，

即∠2=∠3，∠4=∠5，

∴△FME∽△HNG，

∴

∴EF：

GH=AD：

CD=3：

故选B．

如图，连接CP．

∵∠C=90°

，AC=3，BC=4，

∴AB=

=25，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°

∴四边形CFPE是矩形，

∴EF=CP，

由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，

此时，S△ABC=

BC?

AC=

AB?

CP，

即

×

20×

15=

25?

解得CP=12．

如图，连接BF，

在△BCF和△DCF中，

∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF

∴△BCF≌△DCF

∴∠CBF=∠CDF

∵FE垂直平分AB，∠BAF=

80°

=40°

∴∠ABF=∠BAF=40°

∵∠ABC=180°

﹣80°

=100°

，∠CBF=100°

﹣40°

=60°

∴∠CDF=60°

．

延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：

在△BGF与△CPF中，

∴△BGF≌△CPF（ASA），

∴GF=PF，

∴F为PG中点．

又∵由题可知，∠BEP=90°

∴EF=

PG，

∵PF=

∴EF=PF，

∴∠FEP=∠EPF，

∵∠BEP=∠EPC=90°

∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，∠ABC=180°

﹣∠A=70°

∵E，F分别为AB，BC的中点，

∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=

（180°

﹣70°

）=55°

∴∠FPC=55°

；

连接BD，

∴AC=BD，AC、BD互相平分，

∵O为AC中点，

∴BD也过O点，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°

，OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°

在△OBF与△CBF中

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，

∴FB⊥OC，OM=CM；

∴①正确，

∵∠OBC=60°

∴∠ABO=30°

∵△OBF≌△CBF，

∴∠OBM=∠CBM=30°

∴∠ABO=∠OBF，

∵AB∥CD，

∴∠OCF=∠OAE，

∵OA=OC，

易证△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴OB⊥EF，

∴四边形EBFD是菱形，

∴③正确，

∵△EOB≌△FOB≌△FCB，

∴△EOB≌△CMB错误．

∴②错误，

∵∠OMB=∠BOF=90°

，∠OBF=30°

∴MB=

，OF=

∵OE=OF，

∴MB：

2，

∴④正确；

C．

，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于　75　度．

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°

∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°

，∠C=60°

∵P为AB的中点，

∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°

∴∠PDC=90°

∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°

在△DEC中，∠DEC=180°

﹣（∠CDE+∠C）=75°

故答案为：

75．

的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为　4

　．

过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，

∵A，B两点在反比例函数y=

的图象上且纵坐标分别为3，1，

∴A，B横坐标分别为1，3，

∴AE=2，BE=2，

∴AB=2

S菱形ABCD=底×

高=2

2=4

故答案为4

在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是　3　．

如图，连接CE，

设DE=x，则AE=8﹣x，

∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，

∴OE是AC的垂直平分线，

∴CE=AE=8﹣x，

在Rt△CDE中，

x2+42=（8﹣x）2

解得x=3，

∴DE的长是3．

3．

⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　①②④　．

令GF和AC的交点为点P，如图所示：

∵E、F分别是OC、OD的中点，

∴EF∥CD，且EF=

CD，

∴AB∥CD，且AB=CD，

∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），

∵点G为AB的中点，

∴BG=

AB=

CD=FE，

在△EFG和△GBE中，

∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，

∴∠EGF=∠GEB，

∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），

∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，

∴BO=

BD=BC，

∵E为OC中点，

∴BE⊥OC，

∴GP⊥AC，

∴∠APG=∠EPG=90°

∵GP∥BE，G为AB中点，

∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=

BE，

在△APG和△EGP中，

∴△APG≌△EPG（SAS），

∴AG=EG=

AB，

∴EG=EF，即①成立，

∵EF∥BG，GF∥BE，

∴四边形BGFE为平行四边形，

∴GF=BE，

∵GP=

BE=

GF，

∴GP=FP，

∵GF⊥AC，

∴∠GPE=∠FPE=90°

在△GPE和△FPE中，

∴△GPE≌△FPE（SAS），

∴∠GEP=∠FEP，

∴EA平分∠GEF，即④成立．

①②④．

，则∠2=　30°

∴∠ABC=∠BAD=90°

，OB=OD，OA=OC，AC=BD，

∴OB=OC，OB=OA，

∴∠OCB=∠OBC，

∵AB=BE，∠ABE=90°

∴∠BAE=∠AEB=45°

∵∠1=15°

∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°

﹣15°

=30°

∴∠OBC=∠OCB=30°

∴∠AOB=30°

+30°

∵OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OB，

∵∠BAE=∠AEB=45°

∴AB=BE，

∴OB=BE，

∴∠OEB=∠EOB，

∵∠OBE=30°

，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°

∴∠OEB=75°

∵∠AEB=45°

∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°

30°

18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　

连接OP，

∴∠DAB=90°

，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，

∴OA=OD=OC=OB，

∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=

S矩形ABCD=

6×

8=12，

在Rt△BAD中，由勾股定理得：

BD=

=10，

∴AO=OD=5，

∵S△APO+S△DPO=S△AOD，

AO×

PE+

DO×

PF=12，

∴5PE+5PF=24，

PE+PF=

【解答】证明：

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，D为AB中点，

∴CD=

AB=AD，

又∵AE∥CD，CE∥AB

∴四边形ADCE是平行四边形，

∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）在Rt△ABC中，AC=

=8．

∵平行四边形ADCE是菱形，

∴CO=OA，

又∵BD=DA，

∴DO是△ABC的中位线，

∴BC=2DO．

又∵DE=2DO，

∴BC=DE=6，

∴S菱形ADCE=

=24．

【解答】答：

四边形BFDE的形状是菱形，

理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OB=OD，

∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，

∴△OED≌△OFB，

∴DE=BF，

又∵ED∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴?

BEDF是菱形．

∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，

∴∠DGB=∠DEC=90°

，EK∥DG，DE∥GH，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△DGB和△DEC中，

∴△DGB≌△DEC（AAS），

∴DG=DE，

∵四边形DEFG是平行四边形，

∴四边形DEFG是菱形，

∴GE与FD互相垂直平分．

【解答】

∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，

∴∠AEC=∠AFC=90°

又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，

∴∠ACE+∠ACF=

（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=

180°

=90°

∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．

（2）结论：

MN∥BC且MN=

BC．

证明：

∵四边形AECF为矩形，

∴对角线相等且互相平分，

∴NE=NC，

∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，

∴MN∥BC，

又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），

∴N是AC的中点，

若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，

则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，

而MN∥BC，M1即为点M，

所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）

∴MN=

BC；

法二：

延长MN至K，使NK=MN，

因为对角线互相平分，

所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，

所以MBCK是平行四边形，MK=BC，

所以MN=

BC

（3）解：

△ABC是直角三角形（∠ACB=90°

）．

理由：

∵四边形AECF是菱形，

∴AC⊥EF，

∵EF∥AC，

∴A