高考一轮北师大版数学文科 第7章 第2节 空间图形的基本关系与公理Word下载.docx
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(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
4.定理(等角定理)
空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α,且a
α,则α内的所有直线与a异面.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
2.(教材改编)如图721所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
图721
C [连接B1D1,D1C(图略),则B1D1∥EF,
故∠D1B1C为所求的角,
又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°
.]
3.在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
A [A不是公理,是个常用的结论,需经过推理论证;
B,C,D是公理.]
4.(2016·
山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [由题意知aα,bβ,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;
反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.]
5.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是________.
b与α相交或bα或b∥α
空间图形的公理及其应用
如图722,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
图722
[证明]
(1)如图,连接EF,CD1,A1B.
∵E,F分别是AB,AA1的中点,
∴EF∥BA1.2分
又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F四点共面.5分
(2)∵EF∥CD1,EF<
CD1,
∴CE与D1F必相交,设交点为P,
则由P∈直线CE,CE平面ABCD,
得P∈平面ABCD.8分
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.12分
[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法:
(1)直接法:
证明直线平行或相交,从而证明线共面.
(2)纳入平面法:
先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
(3)辅助平面法:
先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
2.证明点共线问题的常用方法:
(1)基本性质法:
一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.
(2)纳入直线法:
选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
[变式训练1] 如图723所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC綊
AD,BE綊
FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?
为什么?
【导学号:
66482329】
图723
[解]
(1)证明:
由已知FG=GA,FH=HD,得GH綊
AD.2分
又BC綊
AD,
∴GH綊BC,∴四边形BCHG是平行四边形.5分
(2)C,D,F,E四点共面,理由如下:
由BE綊
AF,G为FA的中点知BE綊GF,
∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.8分
由
(1)知BG∥CH,∴EF∥CH,
∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.12分
空间直线的位置关系
(1)(2015·
广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
(2)(2017·
郑州模拟)在图724中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).
① ② ③ ④
图724
(1)D
(2)②④ [
(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.
(2)图①中,直线GH∥MN;
图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;
图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图②④中,GH与MN异面.]
[规律方法] 1.异面直线的判定方法:
(1)反证法:
先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
(2)定理:
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
2.点、线、面位置关系的判定,要注意几何模型的选取,常借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.
[变式训练2] (2017·
烟台质检)a,b,c表示不同的直线,M表示平面,给出四个命题:
①若a∥M,b∥M,则a∥b或a,b相交或a,b异面;
②若bM,a∥b,则a∥M;
③若a⊥c,b⊥c,则a∥b;
④若a⊥M,b⊥M,则a∥b.其中正确的为( )
A.①④ B.②③
C.③④D.①②
A [对于①,当a∥M,b∥M时,则a与b平行、相交或异面,①为真命题.②中,bM,a∥b,则a∥M或aM,②为假命题.命题③中,a与b相交、平行或异面,③为假命题.由线面垂直的性质,命题④为真命题,所以①④为真命题.]
异面直线所成的角
(1)如图725,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
图725
(2)(2016·
全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )
B.
C.
D.
(1)D
(2)A [
(1)连接BC1,易证BC1∥AD1,
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.
连接A1C1,由AB=1,AA1=2,
则A1C1=
,A1B=BC1=
,
在△A1BC1中,由余弦定理得
cos∠A1BC1=
=
(2)设平面CB1D1∩平面ABCD=m1.
∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,
∴B1D1∥m1,∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1,
且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,
同理可证CD1∥n.
因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等,即∠CD1B1为m,n所成的角.
在正方体ABCDA1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形,
故直线B1D1与CD1所成角为60°
,其正弦值为
[规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型:
利用图中已有的平行线平移;
利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;
补形平移.
2.求异面直线所成角的三个步骤:
(1)作:
通过作平行线,得到相交直线的夹角.
(2)证:
证明相交直线夹角为异面直线所成的角.
(3)求:
解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
[变式训练3] 如图726,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.
图726
[取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,
则因为C是圆柱下底面弧AB的中点,
所以AD∥BC,
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,
所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,
所以C1D=
所以直线AC1与AD所成角的正切值为
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为
[思想与方法]
1.主要题型的解题方法
(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上.
2.判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理:
(2)反证法:
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.
3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为相交直线的夹角,体现了转化与化归思想.
[易错与防范]
1.异面直线不同在任何一个平面内,不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.
3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.