因式分解法解一元二次方程典型例题文档格式.docx
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典型例题二
例用因式分解法解下列方程
6x2+3V3x=2层+76
把方程左边因式分解为:
（2x+73）（3x-72）=0
•••2x+応=0或3X-72=0
J3近
•-X1=-一，X2=一23
对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式,均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题三
例用因式分解法解下列方程。
2y=y+15
移项得：
2y2-y_15=0
把方程左边因式分解
得：
（2y+5）（y—3）=0
•••2y+5=0或y-3=0
53
…％=，y2=3.
在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令
每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题四
（1）6x2-13x+2=0；
（2）3（2x+1）2-9（J3x-2）2=0；
分析：
一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零•二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如
（2）符合平方差公式的结构特征.
（1）原方程可变形为
（6x-1）（x-2）=0,
6x-1=0或x-2=0，
_1_2
--X1-—,X2-2.
6
（2）原方程可化为
（273x+73）2_（373x_6）2=0，
即（273x+73+373x-6）（273x+73-373x+6）=0,
•（5応X-6）（73+6-73x）=0,
•5J3x+J3-6=0或73+6-73x=0,
2J3-119；
…X1=,X2=1+2^3.
5
因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一
元方程，也是此法.
典型例题五
例用因式分解法解方程:
X2-5x-36=0;
2（2x—3）2-3（2x-3）=0；
（3）
（4）
分析:
x2-（2-272'
）x-3+272=0；
y2-（2U3+3V2）x+6J6=0.
用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为AB=0的形式，然
后通过A=0或B=0，求出Xi,X2.
（1）（X-9）（x+4）=0，
X-9=0或X+4=0.
/.%=9,X2=-4.
（2）（2x-3）（4x-6-3）=0,
即（2x-3）（4x-9）=0.
•••2x-3=0或4x-9=0,_3_9
■-X^2'
X^4.
（3）（x+1）X-（3-2血）]=0,
即x+1=0或x-（3-2J2）=0.
•-X1=—1,X2=3—2J2.
（4）（y-273）（y-372）=0，
即y-2U3=0或y-3^/2=0,
•••yi=2*Q,y2=3J2.
有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法,也可将之和因式分解法求解.
典型例题六
例用适当方法解下列方程:
（1）2x2-5=0；
2I
（2）5x2+2=2（1-x）-x（x-?
）；
（3）2（x_3）2+2（x2-1）=4x+1；
2—
X-4V3X+10=0
（5）3x2-7x+4=0（用配方法）
（1）移项，得
2x2
方程两边都除以2,得
解这个方程，得
XT，
X1冷（帀，X2T皿
（2）展开，整理，得
4x+x=O.
方程可变形为
x（4x+1）=0
X=0或4x+1=0，
c1
X1=0,X2=—
4
4x2—16x+15=0，
（2x-3）（2x-5）=0
2x-3=0或2x—5=0
35
Xi=—,X2=—■
22
（4）va=1,b=/JS,c=10,
（5）
b2-4ac=（-4J3）2-4x1>
d0=8》0，
（5）移项，得
3x-7x=4，
274
X—一X=—一
33
配方，得
（x-2）（4x+1）+（x-1）（x-2）也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移
项后提取公因式，得（X-2）［（4x+1）-（X-1）］=0，用因式分解法求解，得
Xi=2,X2=--，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以（x-2），这
会丢掉一个根x=2.也就是方程两边不能除以含有未知数的整式.
典型例题七
例解关于x的方程20m2x2+11mnx-3n2=0（m^O）
解法一：
原方程可变形为
（5mx—n）（4mx+3n）=0
5mx-n=0或4mx+3n=0
•/mHO,
n3n
-11mn±
V36m2n2-11mn±
19mn
…x==
…X1=—,X2=--—.
5m4m
说明解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零.
对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的
特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单.
典型例题八
例已知m-2=1，试解关于x的方程mx（x-2）+2=（x+1）（x-1）.
分析由m-2=1，容易得到m=3或m=1.整理关干x的方程，得
（m-1）x2-2mx+3=0.题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当m-1=0时，方程是一兀一次方程；
当m-1工0时，方程是一元二次方程。
由m-2=1，得
m-2=±
1,
m1=3,m2T.
整理mx（x-2）+2=（x+1）（x-1），得
（m—1）x—2mx+3=0.
当m=3时，原方程为2x2-6x+3=0,
解得
3+43
X1=—-一，X2
3-73
当m=1时，原方程为-2x+3=0,解得
X=-
当m=1时，X=—
填空题
3.
方程（2y+1）+3（2y+1）+2=0的解是
解答题
1•用因式分解法解下列方程:
（9）
x2+x=0;
（6）x2-2x-35=0;
X—7x+10=0;
（8）X+9x+18=0;
10x2-11x-6=0；
（1O）6x2+11x-7=0.
2.用因式分解法解下列方程:
（1）（x-3）（x+1）=5;
（2）14（x-4）2+9（x-4）-65=0；
（3）雋®
—5-,2，。
3.用因式分解法解下列关于X的一元二次方程:
（1）
X2+X-k2x=0;
（2）X2-2mx+m2-n2=0;
X2+3mx-54m2=0;
（4）15m2x2-17mx-18=0（mH0）;
222
abx-（a+b）x+ab=0（abh0）
4.用适当的方法解下列方程:
5.
4x2-49=0；
（2）4x2-9x=0;
求这个三角形的周长.
答案:
（5）Xi
（9）Xi
2.
Xi
4.
=-2,X2=0;
=3
N,
（2）X,=3,X2=4;
X2-~5
（6）Xi
=-5,x2
（4）Xi=8,X2=
=7（7）Xi=2,
Xi=-2,
XlS,
3m,X2
X2
I（10）
41
7
X2=k2T
（2）
9（5）
5m
⑴xif,X2—2
Xi二，—7
（3）Xi,X2
b
Xi=-
a
（2）xi
X2=5（8）x-i
=m+n,X2=m-n（3）x1=6m,
X2
=O,
=一3,X2=—6
X2=-9m（4）
9
X2=-（3）Xi=2,X2=T
（4）Xi=26,
X2=—24（5）为J+輻，X2=—（6）为=75中^3，X2=J5-73
6.提示：
三角形两边之和大于第三边，三角形周长为4.5.
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