相似三角形题型归纳总结非常全面Word格式.docx
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两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定
理．如图：
如果l1//l2//l3
，则AB
DE，
BC
EF
A
Dl1
B
DEl1l2
EFl2l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的
线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为
AB
AC
DF，
DF
ADl1
l1
EB
l2
l3
F
C
如
AB）
称为上，位置靠下的称为下，两条
上
上，
上，下
下．
下
下，
全
全，全
全．
2．平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线，
截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如
图：
如果EF//BC，则AE
AF，AEAF，BECF
FC，ABAC，ABAC
平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若AEAF或AE
EBFCAB
AAFC或BAEBCAFC，则有EF//BC．
反例：
任意四边形中一
注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，
对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做EF'
//BC交AC
于F'
点，再证明F'
与F重合即可．
四、相似三角形的定义、性质和判定
1．相似图形
①定义：
对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换．
②性质：
两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．
如图，△ABC∽△ABC，则有
3．相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等
AA，BB，CC．②相似三角形的对应边成比例．如图，△ABC∽△ABC，则有
ABBC
ABBC
k（k为相似比）
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角
的平分线成比例，都等于相似比．
如图，△ABC∽△ABC，AM、AH和AD是△ABC中BC边上的中线、高线和角平分线，AM、AH和AD是△ABC中BC边上的中线、高线和角平分线，则有
ABBCACAMAHAD
k
ABBCACAMAHAD
④相似三角形周长的比等于相似比．如图，△ABC∽△ABC，则有
ABBCACABBCAC
k．
ABBCACABBCAC⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，△ABC∽△ABC，则有
S△ABC
S△ABC
BCAH
BCAH
判定定理
判定定理1：
简称为两角对应相等，两个三角形相似．
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的
如图，如果AA'
，BB'
，则
两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
△ABC∽△ABC．
简称为三边对应成比例，两个三角形相
判定定理2：
似．
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么
如图，如果ABBCAC，则
这两个三角形相似．
ABBCAC
判定定理3：
简称为两边对应成比例且夹角相等，两
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且
ABAC个三角形相似．如图，如果ABAC
ABAC
对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
AA'
，则△ABC∽△ABC．
4．相似三角形的判定
五、“A”字和“8”字模型
基本模型
图形
重要结论
“A”字型
DE
ADAEDEDE∥BC△ADE∽△ABC
ABACBC
“8”字型
DAOBC
AB∥CD△AOB∽△CODABOAOB
CDOCOD
六、与内接矩形的有关的相似问题
如图，已知四边形DEFG是△ABC的内接矩形，E、F在BC边上，D、G分别在AB、
AC边上，则有：
△ADG∽△ABC，DGANBCAM
特别地，当BAC时，有△ADG∽△EBD∽△FGC∽△ABC．
七、“A”字和“8”字模型的构造
A”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法：
八、斜“8”模型
九、斜“A”模型
十、射影定理
在Rt△ABC中，
BAC
，ADBC于D
射影定理：
（1）
AD
BD
CD；
（2）
BC；
（3）
CD
CB．
注意：
（1）射影定理可以直接用，是用△ABD∽△CAD∽△CBA来证明的．
（2）射影图形中，另外有下面的关系．
①角的相等关系：
BCAD，CBAD．
②同一三角形中三边的平方关系：
ABADBD、ACADCD、BCABAC．
平行模型
∴EF
BF
证明：
∵AB
∥EF∥CD，
，
∴AB
DFBF
1，
1
垂直模型
如图，
ABBD，ED
BD，
EC．
（1）
△ABC∽△CDE，
则AB
CE
※ABDEBCCD．
当C是BD中点时，
则有△ABC∽△CDE∽△ACE．
E
ABCCDEACE
△ABC∽△CDE，则
则有△ABC∽△CDE∽△ACE．
∵△ABC∽△CDE，∴
AC，
CE，
变形：
又C是BD中点，∴BCCD,
ABACABBC
∴,即,
BCCEACCE
又ABCACE，∴△ABC∽△ACE．
十三、角平分线定理
内角平分线定理：
如图，在△ABC中，AD是BAC的角平
ABBD
分线，则有．
ACCD
DC
过C作CE∥AD交BA延长线于E．
∵CE∥AD，∴1E，23
又∵AD平分BAC，∴12，
∴E3，∴AEAC，
12
ABBDABBD
23
由CE∥AD可得：
，∴
外角平分线定理
如图，在△ABC中，BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，则有ABBD．
D
过C作CE∥AD交AB于E．
∵CE∥AD，
∴1
3，24
又∵AD平分
CAF
，∴12，
，∴，
∴34，∴
AE
2
3
4
ABBDAB
由CE∥AD可得：
AECD，∴AC
十四、线束模型
AF
ENF
NEFNE
AA
BMCBM
CBMC
若EF∥BC，则有ENBM．
NFMC
若EF∥BC，则有ENNFBMMC．
题型一比例的性质和成比例线段的概念
例题1
（1）已知x:
y:
z:
:
，则xyz的值是
xyz
2）若
．则z
（3）若abc，
且
abc
，则a
b的值是．
c
b
解析
（1）设xk，
y
k，
zk．∴
xyzkkk
巩固1：
（1）如果x
2:
，则下列各式不成立的是（）
；
（2）；
（3）
5
A．
B．
已知：
a
e
2，求值：
①a
d
f
已知
aba
bc，
求
解析：
（1）A为合比性质，B为分比性质，
定理．故答案为D．
x
x1
C．
D．
2y
y1
②2ac
3e．
2bd
3f．
（ab）（bc）（ac）的值．
显然正确，D错误，由于x1，不能用等比
2）由等比性质直接可以得到
2ac
3e2
3f
bcacab
（bca）（cab）（abc）
于是：
bc2a,a
c2b,a
（ab）（b
c）（ac）
3）当abc0时，
当abc0时，
（ab）（bc）（ac）
（c）（a）（b）
．本题答案为1或8．
题型二平行线分线段成比例定理
例题2
1）如图2-1，已知l
用面积法证明：
2）
如图
2-2，AD∥BE∥CF
若AB
3）
2-3，l∥l∥l，AB
，AC
S△ABE
S△CBE
，则DF
CBADEFll2l3
1）
如图所示，连接AE，BD，
BF，CE．
∵AD∥
BE，
BE∥CF
，∴S△ABE
S△DEB，
S△FEB．
S△ABE
S△CBE
S△EDB
S△EFB
2）225；
3），
巩固2：
（1）
如图2-1，直线l∥
l∥l，已知AG
cm
BG.cm，CD.cm，
CH
如图2-2，在△ABC中，D、
E分别为AB、AC
边上的点，若AD
，AE，则
如图2-3，AB∥DE，AE与DB交于C，AC，
，CD
则CE
1）0.5cm；
（3）6
题型三相似三角形的定义、性质和判定
例题3如图，直角梯形ABCD中，∠ADC
，AD∥
上，∠DFC
∠AEB．
E在BC上，点
F在AC
1）求证：
△ADF∽△CAE．
（2）当AD，DC，
分别是BC、
AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积．
（1）∵AD∥BC，∴∠DAF∠ACE，∵∠DFC
BC，点
DFAAEC，∴△ADF∽△CAE
2）∵AD，DC
，∴AC
，又∵F是AC的中点，∴
∵△ADF∽△CAE，∴
ADAF，
CACE，
，∴CECE
E是BC的中点，
∴BC
，∴直角梯形ABCD的面积
90，F90，
5，
85，E85，
1，AC1.5，BC
，EF
46，B80，
45，
1，在△ABC中，
点
D是B
F80
8，DE10，FD16
BC13，DF10，EF26
边上的中点，且ADAC，DE
BC，交BA于点
E，EC与AD相交于点F．求证：
△ABC∽△FCD．
3）如图2，△ABC为等腰直角三角形，BDCEBC，求证：
△ACE∽△DBA．
图1
图2
（1）D；
2）∵ADAC，∴FDC
ACB；
∵DE垂直平分BC，∴EBEC，
ABCFCD，∴△ABC∽△FCD.
ABABAC，
3）由等腰直角三角形得到BCABAC条件变为BDCE
ACE，∴△ACE∽△DBA．
条件变为比例形式：
BDBA，由于DBA
ACCE
题型四“A”字和“8”字模型
例题4
（1）如图4-1，已知□ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE，EF，则FG的长为．
（2）如图4-2，已知在□ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q
两点，则AP:
PQ:
QC=
图4-1
图4-2
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△AEF∽△CEB，△GFD∽△GBC，
FG
即FG
．得
BG
CB
2）由
DC∥
AB，得
AP
AM
PC
PQACACAC，QCAC，
，∴DF
ADAF
，∴
，AP
同理AQAC，
故
AP:
PQ:
QC1:
AD//BC
巩固4：
（1）如图4-1，在△ABC中，M、E把AC边三等分，MN//EF//BC，MN、EF把△ABC分成三部分，则自上而下部分的面积比为．
（2）如图4-2，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB1，CD3，则EF:
CD的值为．
（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，DM，DB分别交AC于P，Q两点，则AP:
PQ:
QC．
图4-3
1）1:
3:
5；
（2）
3）∵AQCQAC
又PACP
，∴APAC
∴PQACAC，∴AP:
QC:
:
．
题型五与内接矩形有关的相似问题
例题5
（1）如图5-1，△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点
G、H分别在AC、AB上，BC
，BC边上的高AD，求S正方形EFGH
2）如图5-2，已知△ABC中，四边形
DEGF为正方形，
D，E在线段AC，BC上，F，G
在AB上，如果SADFSCDE，SBEG
，求△ABC的面积．
图5-2
则有AM
HG，即
xx，解得，x
，故S正方形EFGH
1）设正方形
EFGH的边长为x，AD、
HG的交点为M，
（2）设正方形边长为
x，则AF，
CI
，BGx
由△CDE∽△CAB，
得CIDE，∴
x，
解得x，
CHAB，∴
xx
∴AB，CH，
∴SABCAB
巩固5：
如图，已知
△ABC中，AC
BC，
C，四边形DEGF为正方形，
其中D、E在边AC、BC上，F、G在AB上，求正方形的边长．
由△CDE∽△CAB可得DE
CI，
CH，
设正方形的边长为
x，则x
x，解得x
法二：
设CEk，则DE
k，∴GEk，BEk．
∴CEBE，即kk
，解得k，∴DEk．
题型六“A字和“8”字模型的构造
例题6如图，△ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P．若
求证
：
AP
3AB
．
过点
D作
PC的平行线，
交AB于点H．
∵HD
∥PC
AH
AHPH，
PH
HD∥
PC，
BH
BHPH，
∴AP
，AH
BHABPHBH
，∴A
PP
HAB．
还可用如下辅助线来证此题：
巩固6：
如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
1）若BKKC，求CD的值；
2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AEAD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有
怎样等量关系？
请写出你的结论并予以证明．再探究：
当AEAD（n），而其余条件不n
变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？
请直接写出你的结论，不必证明．
（1）∵BKKC，∴CK，又∵CD∥AB，
BK
∴△KCD∽△KBA，
CK
2）当BE平分
ABC，AEAD时，ABBCCD；
取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，由中位线定理，得EF//AB//CD，
∴G为BC的中点，GEBEBA，又∵EBAGBE，∴GEBGBE，∴EGBGBC，
巩固7：
（1）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BDCE，AD
与BE相交于点F．求证：
①BD
ADDF；
②AFADAEAC；
③BFBEBDBC．
而GF
CD，EFAB，EF
EGGF，即：
AB
BCCD；
ABBCCD；
当AE
AD（n）时，BCCD
n
（n1）AB．
题型七
斜“A”和斜“8”模型
例题7
如图，在△ABC中，AD
BC于D，CEAB于
E，△ABC的面积是△BDE面
积的4倍，AC6，求DE的长．
∵ADBC，CE
AB，
ABDCBE，
∴△ABD∽△CBE，
EBD
BE
CBA，
∴△BED∽△BCA，
1AC3．
2）如图，四边形ABCD是菱形，AFAD交BD于E，交BC于F．求证：
ADDEDB．
ACBBAC
（1）∵等边△ABC，∴ABBC，ABC
∵BDCE∴△ABD≌△BCE．
∴BADCBE，∴
BFD
BADABE
CBEABEABC
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