相似三角形题型归纳总结非常全面Word格式.docx

1、两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理如图：如果 l1 / /l 2 / /l 3，则 ABDE ，BCEFAD l1BDEl1l2EFl2l3【小结】 若将所截出的小线段位置靠上的线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为ABACDF ，DFA D l1l1EBl2l3FC如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条上上，上，下下下下，全全，全全2平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边 （或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例 如图：如果 EF/BC ，则 AEAF ， AE AF ， BE CFFC ， AB AC ， AB AC平行

2、线分线段成比例定理的推论的逆定理若 AE AF 或 AEEB FC ABAAFC或BAEB CAFC ，则有 EF/BC反例： 任意四边形中一注意】 对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行小结】 推论也简称“ A ”和“ 8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 EF/BC 交 AC于 F 点，再证明 F与 F重合即可四、相似三角形的定义、性质和判定1相似图形 定义：对应角相等， 对应边成比例的图形叫做相似图形 对应边的比例叫做相似比 相 似图形是形状相同，大小不一定相同相似图形间的互相变换称为相似变换 性质：

3、两个相似图形的对应角相等，对应边成比例如图， ABC ABC ，则有3相似三角形的性质相似三角形的对应角相等A A， B B， C C 相似三角形的对应边成比例 如图， ABC ABC ，则有AB BCA B B Ck （ k 为相似比）相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比如图， ABC ABC ， AM、AH 和 AD 是 ABC 中 BC 边上的中线、高线和角平分线， AM 、AH 和AD 是ABC 中BC 边上的中 线、高线和角平分线，则有AB BC AC AM AH ADkAB BC AC AM A H AD相似三角形周长的比等于相似比 如图， ABC

4、AB C ，则有AB BC AC AB BC ACkA B B C A C A B B C A C 相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图， ABC AB C ，则有S ABCS A B CBC AHBC A H判定定理判定定理 1：简称为两角对应相等， 两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如图，如果 A A， B B ，则两个角对应相等，那么这两个三角形相似ABC ABC 简称为三边对应成比例， 两个三角形相判定定理 2：似如果两个三角形的三组对应边成比例，那么如图，如果 AB BC AC ，则这两个三角形相似A B B C A C判定定理 3：简称为两边对应成比例且夹角相

5、等，两如果两个三角形的两组对应边成比例，并且AB AC 个三角形相似 如图，如果 AB ACA B A C对应的夹角相等，那么这两个三角形相似A A，则 ABC A BC 4相似三角形的判定五、“ A ”字和“ 8”字模型基本模型图形重要结论“A”字型DEAD AE DE DEBC ADE ABCAB AC BC“8”字型DAOBCABCD AOB COD AB OA OBCD OC OD六、与内接矩形的有关的相似问题如图，已知四边形 DEFG 是 ABC的内接矩形， E、F在 BC边上， D、G分别在 AB、AC 边上，则有：ADG ABC ，DG AN BC AM特别地，当 BAC 时，有

6、 ADG EBD FGC ABC 七、“ A ”字和“ 8”字模型的构造A ”字和“ 8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法：八、斜“ 8”模型九、斜“ A ”模型十、射影定理在 RtABC 中，BAC， AD BC 于 D射影定理：（ 1）ADBDCD ；（2）BC ；（3）CDCB 注意：（1）射影定理可以直接用，是用 ABD CAD CBA 来证明的 （2）射影图形中，另外有下面的关系角的相等关系： B CAD， C BAD 同一三角形中三边的平方关系：AB AD BD 、 AC AD CD 、 BC AB AC 平行模型 EFBF证明： AB EF CD ， ABDF BF

7、1，1垂直模型如图，AB BD ， EDBD，EC （1）ABC CDE ，则 ABCE AB DE BC CD 当 C 是 BD 中点时，则有 ABC CDE ACE EABC CDE ACEABC CDE ，则则有 ABC CDE ACE ABC CDE ， AC ，CE ，变形：又 C 是 BD 中点， BC CD,AB AC AB BC , 即 ,BC CE AC CE又 ABC ACE ， ABC ACE 十三、角平分线定理内角平分线定理：如图，在 ABC 中，AD 是 BAC的角平AB BD分线，则有 AC CDDC过 C作 CE AD 交 BA延长线于 E CE AD， 1 E

8、， 2 3又 AD 平分 BAC ， 1 2 ， E 3 ， AE AC ，12AB BD AB BD23由 CE AD 可得： ，外角平分线定理如图，在ABC 中， BAC的外角平分线 交对边 BC的延长线于 D，则有 AB BD D过 C作CEAD交AB于 E CE AD ，13 ， 2 4又 AD 平分CAF， 1 2 ， ， 3 4 ，AE234AB BD AB由 CE AD 可得： AE CD ， AC十四、线束模型AFE N FN E F N EAAB M C B MC B M C若 EFBC ，则有 EN BM NF MC若 EFBC ，则有 ENNF BMMC 题型一 比例的性

9、质和成比例线段的概念例题 1（1）已知 x: y: z : ，则 x y z 的值是x y z2）若则 z（ 3）若 a b c ，且abc，则 ab 的值是 cb解析 （ 1）设 x k ，yk，z k x y z k k k巩固 1： （ 1）如果 x2:，则下列各式不成立的是（ ）；（ 2） ；（ 3）5AB已知：ae2 ，求值：adf已知a b ab c ，求解析：（ 1）A 为合比性质， B 为分比性质，定理故答案为 Dxx1CD2yy1 2a c3e 2b d3 f （a b）（b c）（a c） 的值显然正确， D 错误，由于 x 1 ，不能用等比2）由等比性质直接可以得到2a

10、c3e 23fb c a c a b（b c a） （c a b） （a b c ）于是： b c 2a , ac 2b , a（a b）（bc）（a c）3）当 a b c 0 时，当 a b c 0 时，（a b）（b c）（a c）（ c） （ a） （ b）本题答案为 1 或 8题型二 平行线 分线段成比例定理例题 21）如图 2-1，已知 l用面积法证明：2）如图2-2， AD BECF若 AB3）2-3，l l l ， AB， ACSABESCBE，则 DFCBA DEFll2l31）如图所示，连接 AE，BD ，BF，CE AD BE，BECF， S ABES DEB ，S FE

11、B S ABES CBES EDBS EFB2）225；3） ，巩固 2： （ 1）如图 2-1 ，直线 l l l ，已知 AGcmBG . cm ， CD . cm ，CH如图 2-2，在 ABC 中， D、E 分别为 AB、 AC边上的点，若 AD， AE ，则如图 2-3，ABDE，AE与DB交于 C，AC ，CD则 CE1）0.5cm；（3）6题型三 相似三角形的定义、性质和判定例题 3 如图，直角梯形 ABCD 中， ADC， AD 上， DFCAEBE在 BC上，点F在 AC1）求证：ADF CAE （2）当 AD ， DC ，分别是 BC、AC 的中点时，求直角梯形 ABCD

12、的面积（1） ADBC ， DAF ACE，DFCBC ，点DFA AEC ， ADF CAE2） AD ， DC， AC，又 F 是 AC 的中点， ADF CAE ，AD AF ，CA CE ， CE CEE是 BC的中点， BC，直角梯形 ABCD 的面积90 ， F 90 ，5，85 ， E 85 ，1 ， AC 1.5， BC， EF46 ， B 80 ，45 ，1，在 ABC 中，点D是BF 808，DE 10， FD 16BC 13， DF 10， EF 26边上的中点，且 AD AC， DEBC，交 BA 于点E，EC 与 AD 相交于点 F求证： ABC FCD 3）如图 2

13、， ABC 为等腰直角三角形， BD CE BC ，求证： ACE DBA 图1图2（ 1）D ；2） AD AC， FDCACB； DE垂直平分 BC，EB EC，ABC FCD ， ABC FCD .AB AB AC ，3）由等腰直角三角形得到 BC AB AC 条件变为 BD CEACE ， ACE DBA 条件变为比例形式： BD BA ，由于 DBAAC CE题型四 “A ”字和“ 8”字模型例题4 （1）如图 4-1，已知ABCD 中，过点 B的直线顺次与 AC、AD及CD的延长线相 交于点 E、 F、G，若 BE ， EF ，则 FG 的长为 （2）如图 4-2，已知在 ABCD

14、 中，M、N为 AB的三等分点， DM、DN 分别交 AC 于P、Q两点，则 AP:PQ:QC = 图 4-1图 4-2（ 1）四边形 ABCD 为平行四边形， AEF CEB ， GFD GBC ，FG即 FG得BGCB2）由DC AB ， 得APAMPCPQ AC AC AC ， QC AC ， DFAD AF， AP同 理 AQ AC ，故AP: PQ:QC 1:AD/ /BC巩固4： （1）如图 4-1，在 ABC中，M、E把AC边三等分，MN/EF/BC ，MN、EF把 ABC 分成三部分，则自上而下部分的面积比为 （2）如图 4-2，AB、CD、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是

15、B、D、F，且 AB 1， CD 3， 则 EF : CD的值为 （3）如图 4-3，已知在平行四边形 ABCD中， M为AB的中点， DM ，DB分别交 AC于P， Q 两点，则 AP :PQ :QC 图 4-31） 1:3:5 ；（ 2）3） AQ CQ AC又PACP， AP ACPQ AC AC ，AP:QC : : 题型五 与内接矩形有关的相似问题例题 5 （ 1）如图 5-1， ABC 中，正方形 EFGH 的两个顶点 E、F 在 BC 上，另两个顶点G、H 分别在 AC、AB 上， BC， BC 边上的高 AD ，求 S正方形 EFGH2）如图 5-2，已知 ABC 中，四边形D

16、EGF 为正方形，D，E在线段 AC，BC 上，F，G在 AB 上，如果 S ADF S CDE ， S BEG，求 ABC 的面积图 5-2则有 AMHG，即x x ，解得， x，故 S正方形 EFGH1）设正方形EFGH 的边长为 x， AD、HG 的交点为 M ，（ 2）设正方形边长为x，则 AF ，CI， BG x由 CDE CAB ，得 CI DE ，x，解得 x ，CH AB ，xx AB ， CH ， S ABC AB巩固 5： 如图，已知 ABC 中， ACBC ，C ，四边形 DEGF 为正方形，其中 D、E在边 AC、BC上，F、G在 AB上，求正方形的边长由 CDE CA

17、B 可得 DECI ，CH ，设正方形的边长为x ，则 xx ，解得 x法二：设 CE k ，则 DEk ， GE k ， BE k CE BE ，即 k k，解得 k ， DE k 题型六 “ A 字和“ 8”字模型的构造例题 6 如图， ABC 中，D 为 BC 边的中点，延长 AD 至 E，延长 AB 交 CE 的延长线于 P若求证： AP3AB过点D作PC 的平行线，交 AB 于点 H HD PCAHAH PH ，PHHDPC，BHBH PH ， AP， AHBH AB PH BH， APPH AB 还可用如下辅助线来证此题：巩固 6：如图，已知线段 ABCD，AD 与 BC相交于点

18、K，E是线段 AD 上一动点1）若 BK KC，求 CD 的值；2）连接 BE，若 BE平分 ABC，则当 AE AD时，猜想线段 AB、BC、CD 三者之间有怎样等量关系？请写出你的结论并予以证明 再探究： 当 AE AD （n ） ，而其余条件不 n变时，线段 AB、BC、CD 三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明（1） BK KC ， CK ，又 CDAB，BK KCD KBA ，CK2）当 BE 平分ABC ，AE AD 时，AB BC CD；取 BD 的中点为 F ，连接 EF 交 BC 于 G 点，由中位线定理，得 EF/AB/CD ， G 为 BC 的中点，

19、GEB EBA ， 又 EBA GBE， GEB GBE， EG BG BC ，巩固 7：（1）如图， ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在 BC，AC 上，且 BD CE，AD与 BE 相交于点 F 求证： BDAD DF ； AF AD AE AC； BF BE BD BC而 GFCD ，EF AB， EFEG GF ，即： ABBC CD ； AB BC CD ；当 AEAD （ n ） 时， BC CDn（n 1）AB 题型七斜“ A ”和斜“ 8”模型例题 7如图，在 ABC 中， ADBC于 D， CE AB于E， ABC 的面积是 BDE 面积的 4 倍， AC 6 ，求 DE 的长 AD BC， CEAB，ABD CBE ， ABD CBE ，EBDBECBA， BED BCA ，1 AC 3 2）如图，四边形 ABCD 是菱形， AF AD交 BD 于 E，交BC于 F 求证： AD DE DBACB BAC（1）等边 ABC ， AB BC， ABC BD CE ABD BCE BAD CBE ，BFDBAD ABECBE ABE ABC