全国中学生物理竞赛课件8：功与能2.pps

全国中学生物理竞赛课件8：功与能2.pps

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利用图象求功之方法适用于当力对位移利用图象求功之方法适用于当力对位移的关系为线性时的关系为线性时;或在表示力对位移关系的或在表示力对位移关系的F-s示功图中示功图中F（s）图线与图线与s轴围成的图形“面积”轴围成的图形“面积”有公式可依时有公式可依时;因为在因为在F-s示功图中，这种“面示功图中，这种“面积”的物理意义就是功的大小积”的物理意义就是功的大小方法方法AAsF0xW锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的的能量传给木桩，且木桩所受阻力能量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入深度与插入深度x成正比，试求木桩每次打入的深成正比，试求木桩每次打入的深度比若第一次打击使木桩插入了全长的度比若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？

，全部插入须锤击多少次？

专题专题专题专题8-8-例例例例11本题中的阻力本题中的阻力f为一与位移为一与位移x成正比的变力，即成正比的变力，即f=kx示功图示功图xF0x1x2x3lW0W0W0图中各阴影“面积”图中各阴影“面积”表示第表示第1、2、3次锤击中，木桩克服次锤击中，木桩克服阻力做的功，数值上等于锤传给阻力做的功，数值上等于锤传给木桩的能量，设为木桩的能量，设为W0由图由图2222123000023nxxxxWWWnW=LL:

123123nxxxxn=LL:

（）（）（）12312321nnxxxnx=-=-DDDDDDDD-LL:

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1当当xn=l时，由时，由11nxxn=:

13lln=（）9n=次某质点受到某质点受到F=6x2的力的作用，从的力的作用，从x=0处移到处移到x=2.0m处，试求力处，试求力F做了多少功？

做了多少功？

专题专题专题专题8-8-例例例例22本题中的变力力本题中的变力力F与位移与位移x成成F=6x2关系，关系，F-x图线为抛图线为抛物线物线示功图示功图24x/mF/N02W图中“面积”表示图中“面积”表示F力力做的功做的功“面积”由阿基米德公式面积”由阿基米德公式23S=创=创弓底高由示功图得由示功图得F力做的力做的功功12WSS=-=-矩弓12224424J23骣骣=创=创琪琪桫桫16=J如图所示，一质量为如图所示，一质量为m，长为，长为l的柔软绳索，一部分平直地放的柔软绳索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数在桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为为柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？

由这一位置开始柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？

由这一位置开始运动，柔绳刚离开桌面时的速度多大？

运动，柔绳刚离开桌面时的速度多大？

设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0，则由，则由（）00mmxglxgllmm0min1lxmmmm=+柔绳恰由静止开始下滑至以柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面，由动能定理离开桌面，由动能定理212GfWWmv-=-=其中，重力功等于绳重力势能减少其中，重力功等于绳重力势能减少0022GxmlmWlgxgll=-=-（）2202mglxl-=摩擦力为线性变力：

摩擦力为线性变力：

fmFxglmm=示功图示功图xFf0l-x0（）0mlxglmm-Wfx（）202fmglxlWmm-=（）（）222002glxglxvllmm-=-=-1vglmm=+一质点的质量为一质点的质量为m，被固定中心排斥，斥力的大小，被固定中心排斥，斥力的大小F=mr，其中，其中r为质点离开此中心的距离在开始时，为质点离开此中心的距离在开始时，r0=a，v=0，求质点经过位移，求质点经过位移a时所达到的速度大小时所达到的速度大小斥力为线性变化力！

斥力为线性变化力！

mamm示功图示功图rF0aa2mammWF对示功图求梯形阴影“面对示功图求梯形阴影“面积”积”（）232122Wmaamaammmm+=对质点经过位移对质点经过位移a的过程，由动能定理的过程，由动能定理223122mamvmm=3vamm=跳水运动员从高于水面跳水运动员从高于水面H10m的跳台自由落下，运动员的的跳台自由落下，运动员的质量质量m60kg，其体形可等效为长度，其体形可等效为长度l1.0m、直径、直径d0.30m的圆柱体，的圆柱体，略去空气阻力，运动员入水后水的等效阻力略去空气阻力，运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面，作用于圆柱体下端面，F量值随入量值随入水深度水深度y变化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与变化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与OY和和OF重合，为了确保运动员绝对安全，试计算水池中水的重合，为了确保运动员绝对安全，试计算水池中水的h至少应等于多少？

至少应等于多少？

5mg/2YF0h对全过程运用动能定理对全过程运用动能定理:

（）00mgHhWW+-=-+-=-浮阻其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆“面积”“面积”:

示功图示功图W阻1542mgWhpp=鬃=鬃阻入水过程中，浮力随入水深度入水过程中，浮力随入水深度y作线性变化作线性变化24dFgypprr=浮示功图示功图YF浮浮0l24gldrprp2124gldWlrprp=鬃=鬃浮242dlWglhlpprr骣骣=-=-琪琪桫桫浮（）215100428dmhlhmhpppprr骣骣+-=+-=琪琪桫桫（）1603m161hpppp+=-4.9m如果在某一位移区间，力随位移变化的如果在某一位移区间，力随位移变化的关系为关系为F=f（s），求该变力的功通常用微元法，求该变力的功通常用微元法，即将位移区间分成即将位移区间分成n（n）个小区间）个小区间s/n，在每个小区间内将力视为恒定，求其元功在每个小区间内将力视为恒定，求其元功Fis/n，由于功是标量，具有“可加性”，那么总，由于功是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位移中所做的功为：

变力在这段位移中所做的功为：

方法方法BB1limniniWW=在数学上，确定元功相当于给出数列在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，求总功即求数列通项式，求总功即求数列n项和当项和当n时的极时的极限限半径等于半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全吸尽，至少要做多少功？

内的水完全吸尽，至少要做多少功？

专题专题专题专题8-8-例例例例33rriM沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n层，每一元层水的高度层，每一元层水的高度rhnD=D=r1i2每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层层水柱底面的半径水柱底面的半径这层水的质量这层水的质量22irrrin骣骣=-=-琪琪桫桫22irrmrinnrprp轾轾骣骣=-=-犏犏琪琪桫桫犏犏臌臌将这层水吸出至少应做的元功是将这层水吸出至少应做的元功是22irrrWriginnnrprp轾轾骣骣=-鬃=-鬃犏犏琪琪桫桫犏犏臌臌将池水吸尽至少要做的功是将池水吸尽至少要做的功是34241limniniiiWWgrnnrprp=轾轾=-=-犏犏犏犏臌臌（）（）433332411lim123123ngrnnnnrprp轾轾=+-+=+-+犏犏臌臌LL（）（）224241111lim24nnnnngrnnrprp轾轾+犏犏=犏犏臌臌41g4rrprp=一个质量为一个质量为m的机动小车，以恒定速度的机动小车，以恒定速度v在半在半径为径为R的竖直圆轨道绕“死圈”运动已知动摩擦因数为的竖直圆轨道绕“死圈”运动已知动摩擦因数为，问在，问在小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？

小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？

专题专题专题专题8-8-例例例例44小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故而摩擦力为一随位置变化的力！

，故而摩擦力为一随位置变化的力！

xyOAB当小车运动在当小车运动在AA处元圆弧段时处元圆弧段时nppmgNAAqq2sinAAvNmgmRqq-=-=AAfNmm=2sinAvmgRqqmm骣骣+琪琪=桫桫摩擦力在摩擦力在AA处元功为处元功为2sinAAvRWmgRnppmqmq骣骣=+=+琪琪琪琪桫桫当小车运动在与当小车运动在与AA关于关于x轴对称的轴对称的BB处元圆弧段时处元圆弧段时BqqAqqmgNBBqq2sinBBvNmgmRqq+=+=npp续续解解iinppqq=BBfNmm=2sinBvmgRqqmm骣骣-琪琪=桫桫摩擦力在摩擦力在BB处元功为处元功为2sinBBvRWmgRnppmqmq骣骣=-=-琪琪琪琪桫桫小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为22iABvRWWWmRnppmm=+=鬃=+=鬃查阅查阅摩擦力在半圆周轨道上的总功摩擦力在半圆周轨道上的总功/2211lim2nniWmvnmpmp=2mvmpmp=计算水平直径以下段摩擦力的功：

计算水平直径以下段摩擦力的功：

2/21limsinnnivRWmgiRnnppppmm=骣骣=+=+琪琪琪琪桫桫下续续解解2/2/211limsinnnniivRRmmgiRnnnppppppmmmm=骣骣=琪琪桫桫邋邋2/2/211limsinnnniivRRWmmgiRnnnppppppmmmm=骣骣=琪琪桫桫邋邋下2/21lims2innnimgRinnnmvnppppmpmpmm=骣骣=+2limsinsin2sin22nnmvnmgRnnnnnppppppmpmpppmm骣骣+鬃+鬃琪琪桫桫=LLsin1sinsin22sin2nnannnnSqqqqqqqq=+=三角列前和数数项项22sinsin44limsin22nnnnnmgRnnnmvnppppppmmppmpmp+鬃鬃+=222sinsin44limsin222nnnmvnnnnmgRnnmpmpppppmmpppp+鬃鬃=+22WmvmgRmpmpmm=+下水平直径以上段摩擦力的功：

水平直径以上段摩擦力的功：

22WmvmgRmpmpmm=-上将板沿板长均分为将板沿板长均分为n（n）等份等份fiMFgnmm=将木板在水平地面上绕其一端转动角将木板在水平地面上绕其一端转动角，求所需，求所需要做的功木板长度为要做的功木板长度为L，质量为，质量为M，木板与地面之间的动摩擦，木板与地面之间的动摩擦因数为因数为aaLin元摩擦力做功的位移为元摩擦力做功的位移为L12iiLxinaa=摩擦力对摩擦力对i段做的元功为段做的元功为iMginnWLaamm=则对木板的功则对木板的功1limnniMLWginnmama=鬃=鬃211limnniMgLinmama=（）211lim2nnnMgLnmama+=12MgLmama=各元段摩擦力为各元段摩擦力为ix从一个容器里向外抽空气，直到压强为从一个容器里向外抽空气，直到压强为p容器容器上有一小孔，用塞子塞着现把塞子拔掉，问空气最初以多大速上有一小孔，用塞子塞着现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲进容器？

设外界大气压强为率冲进容器？

设外界大气