全国中学生物理竞赛课件8：功与能2.pps

1、 利用图象求功之方法适用于当力对位移利用图象求功之方法适用于当力对位移的关系为线性时的关系为线性时;或在表示力对位移关系的或在表示力对位移关系的 F-s示功图中示功图中 F(s)图线与图线与 s 轴围成的图形“面积”轴围成的图形“面积”有公式可依时有公式可依时;因为在因为在 F-s 示功图中，这种“面示功图中，这种“面积”的物理意义就是功的大小 积”的物理意义就是功的大小 方法 方法 A AsF0 xW 锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有 80%的的能量传给木桩，且木桩所受阻力能量传给木桩，且木桩所受阻力 f 与插入深度与插入深度 x 成正比，

2、试求木桩每次打入的深成正比，试求木桩每次打入的深度比若第一次打击使木桩插入了全长的度比若第一次打击使木桩插入了全长的 1/3，全部插入须锤击多少次？，全部插入须锤击多少次？专题专题专题专题 8-8-例例例例 1 1本题中的阻力本题中的阻力 f 为一与位移为一与位移 x 成正比的变力，即成正比的变力，即 f=kx示功图示功图xF0 x1x2x3lW0W0W0图中各阴影“面积”图中各阴影“面积”表示第表示第 1、2、3 次锤击中，木桩克服次锤击中，木桩克服阻力做的功，数值上等于锤传给阻力做的功，数值上等于锤传给木桩的能量，设为木桩的能量，设为 W0 由图由图2222123000023nxxxxWW

3、WnW=LL:123123nxxxxn=LL:()()()12312321nnxxxnx=-=-DDDDDDDD-LL:-:1当当 xn=l 时，由时，由11nxxn=:13lln=()9n=次 某质点受到某质点受到 F=6x2的力的作用，从的力的作用，从 x=0处移到处移到 x=2.0 m 处，试求力处，试求力 F 做了多少功？做了多少功？专题专题专题专题 8-8-例例例例 2 2本题中的变力力本题中的变力力 F 与位移与位移 x 成成 F=6x2关系，关系，F-x 图线为抛图线为抛物线物线示功图示功图24x/mF/N02W图中 “面积”表示图中 “面积”表示 F 力力做的功做的功“面积”由

4、阿基米德公式面积”由阿基米德公式23S=创=创弓底高由示功图得由示功图得 F 力做的力做的功功12WSS=-=-矩弓12224424 J23骣骣=创=创琪琪桫桫16=J 如图所示，一质量为如图所示，一质量为 m，长为，长为 l 的柔软绳索，一部分平直地放的柔软绳索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数在桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为为 柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？由这一位置开始柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？由这一位置开始运动，柔绳刚离开桌面时的速度多大？运动，柔绳刚离开桌面

5、时的速度多大？设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为 x0，则由，则由()00mmxglxgllm m0min1lxm mm m=+柔绳恰由静止开始下滑至以柔绳恰由静止开始下滑至以 v 离开桌面，由动能定理离开桌面，由动能定理212GfWWmv-=-=其中，重力功等于绳重力势能减少其中，重力功等于绳重力势能减少0022GxmlmWlgx gll=-=-()2202mg lxl-=摩擦力为线性变力：摩擦力为线性变力：fmFxglm m=示功图示功图xFf0l-x0()0mlxglm m-Wfx()202fmglxlWm m-=()()222002g lxg

6、lxvllm m-=-=-1vglm m=+一质点的质量为一质点的质量为 m，被固定中心排斥，斥力的大小，被固定中心排斥，斥力的大小F=mr，其中，其中 r 为质点离开此中心的距离在开始时，为质点离开此中心的距离在开始时，r0=a，v=0，求质点经过位移，求质点经过位移 a 时所达到的速度大小 时所达到的速度大小 斥力为线性变化力！斥力为线性变化力！mam m示功图示功图rF0aa2mam mWF对示功图求梯形阴影“面对示功图求梯形阴影“面积”积”()232122Wm aamaam mm m+=对质点经过位移对质点经过位移 a 的过程，由动能定理的过程，由动能定理223122mamvm m=3

7、vam m=跳水运动员从高于水面跳水运动员从高于水面 H 10 m 的跳台自由落下，运动员的的跳台自由落下，运动员的质量质量 m 60 kg，其体形可等效为长度，其体形可等效为长度 l 1.0 m、直径、直径 d 0.30 m 的圆柱体，的圆柱体，略去空气阻力，运动员入水后水的等效阻力略去空气阻力，运动员入水后水的等效阻力 F 作用于圆柱体下端面，作用于圆柱体下端面，F 量值随入量值随入水深度水深度 y 变化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与变化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与 OY 和和 OF重合，为了确保运动员绝对安全，试计算水池中水的重合，为了确保运动员绝对

8、安全，试计算水池中水的 h 至少应等于多少？至少应等于多少？5mg/2YF0h对全过程运用动能定理对全过程运用动能定理:()00mg HhWW+-=-+-=-浮阻其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆“面积”“面积”:示功图示功图W阻1542mgWhp p=鬃=鬃阻入水过程中，浮力随入水深度入水过程中，浮力随入水深度 y 作线性变化作线性变化24dFgyp pr r=浮示功图示功图YF浮浮0l24g ldr pr p2124gl dWlrprp=鬃=鬃浮242dlWglhlp pr r骣骣=-=-琪琪桫桫浮()215100428dmhlhmhppppr r骣骣

9、+-=+-=琪琪桫桫()1603m161hp pp p+=-4.9 m 如果在某一位移区间，力随位移变化的如果在某一位移区间，力随位移变化的关系为关系为 F=f(s)，求该变力的功通常用微元法，求该变力的功通常用微元法，即将位移区间分成即将位移区间分成 n（n）个小区间）个小区间 s/n，在每个小区间内将力视为恒定，求其元功在每个小区间内将力视为恒定，求其元功 Fi s/n，由于功是标量，具有“可加性”，那么总，由于功是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位移中所做的功为：变力在这段位移中所做的功为：方法 方法

10、B B1limniniWW=在数学上，确定元功相当于给出数列在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，求总功即求数列通项式，求总功即求数列 n 项和当项和当 n 时的极时的极限限 半径等于半径等于 r 的半球形水池，其中充满了水，把池的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全吸尽，至少要做多少功？内的水完全吸尽，至少要做多少功？专题专题专题专题 8-8-例例例例 3 3rriM沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成 n层，每一元层水的高度 层，每一元层水的高度 rhnD=D=r1i2每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第每一层水均可看作一个薄圆

11、柱，水面下第 i 层层水柱底面的半径水柱底面的半径这层水的质量这层水的质量22irrrin骣骣=-=-琪琪桫桫22irrmrinnrprp轾轾骣骣=-=-犏犏琪琪桫桫犏犏臌臌将这层水吸出至少应做的元功是将这层水吸出至少应做的元功是 22irrrWrig innnrprp轾轾骣骣=-鬃=-鬃犏犏琪琪桫桫犏犏臌臌将池水吸尽至少要做的功是将池水吸尽至少要做的功是 34241limniniiiWWg rnnr pr p=轾轾=-=-犏犏犏犏臌臌()()433332411lim123123ng rnnnnr pr p 轾轾=+-+=+-+犏犏臌臌LL()()224241111lim24nn nnng r

12、nnr pr p轾轾+犏犏=犏犏臌臌41g4rr pr p=一个质量为一个质量为 m 的机动小车，以恒定速度的机动小车，以恒定速度 v 在半在半径为径为 R 的竖直圆轨道绕“死圈”运动已知动摩擦因数为的竖直圆轨道绕“死圈”运动已知动摩擦因数为 ，问在，问在小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？专题专题专题专题 8-8-例例例例 4 4 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故而摩擦力为一随位置变化的力！，故而摩擦力为一随位置变化的力！xyOA

13、B当小车运动在当小车运动在A A处元圆弧段时处元圆弧段时 np pmgNAAq q2sinAAvNmgmRq q-=-=AAfNm m=2sinAvmgRq qm m骣骣+琪琪=桫桫摩擦力在摩擦力在A A处元功为处元功为2sinAAvRWm gRnp pmqmq骣骣=+=+琪琪琪琪桫桫当小车运动在与当小车运动在与A A关于关于 x 轴对称的轴对称的B B处元圆弧段时处元圆弧段时 Bq qAq qmgNBBq q2sinBBvNmgmRq q+=+=np p续续解解iinp pq q=BBfNm m=2sinBvmgRq qm m骣骣-琪琪=桫桫摩擦力在摩擦力在B B处元功为处元功为2sinBB

14、vRWmgRnp pmqmq骣骣=-=-琪琪琪琪桫桫小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为22iABvRWWWmRnp pm m=+=鬃=+=鬃查阅查阅摩擦力在半圆周轨道上的总功摩擦力在半圆周轨道上的总功/2211lim2nniWmvnmpmp=2mvmpmp=计算水平直径以下段摩擦力的功：计算水平直径以下段摩擦力的功：2/21limsinnnivRWmgiRnnppppm m=骣骣=+=+琪琪琪琪桫桫下续续解解2/2/211limsinnnniivRRmmgiRnnnppppppmmmm=骣骣=琪琪桫桫邋邋 2/2/211li

15、msinnnniivRRWmmgiRnnnppppppmmmm=骣骣=琪琪桫桫邋邋下2/21lims2innnimgRinnnmvnppppmpmpm m=骣骣=+2lim sinsin2sin22nnmvnmgRnnnnnppppppmpmpp pm m骣骣+鬃+鬃琪琪桫桫=LLsin1sinsin22sin2nnannnnSq qqqqqq q=+=三角列前和数数项项22sinsin44limsin22nnnnnmgRnnnmvnppppp pm mp pmpmp+鬃鬃+=222sinsin44limsin222nnnmvnnnnmgRnnmpmpppppm mp pp p+鬃鬃=+22W

16、mvmgRmpmpm m=+下水平直径以上段摩擦力的功：水平直径以上段摩擦力的功：22WmvmgRmpmpm m=-上 将板沿板长均分为将板沿板长均分为 n（n）等份等份fiMFgnm m=将木板在水平地面上绕其一端转动角将木板在水平地面上绕其一端转动角 ，求所需，求所需要做的功木板长度为要做的功木板长度为 L，质量为，质量为 M，木板与地面之间的动摩擦，木板与地面之间的动摩擦因数为因数为 a aLin元摩擦力做功的位移为元摩擦力做功的位移为L12iiLxina a=摩擦力对摩擦力对 i 段做的元功为段做的元功为iMg innWLa am m=则对木板的功则对木板的功 1limnniMLWg innmama=鬃=鬃211limnniMgLinmama=()211lim2nn nMgLnmama+=12MgLmama=各元段摩擦力为各元段摩擦力为ix 从一个容器里向外抽空气，直到压强为从一个容器里向外抽空气，直到压强为 p 容器容器上有一小孔，用塞子塞着现把塞子拔掉，问空气最初以多大速上有一小孔，用塞子塞着现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲进容器？设外界大气压强为率冲进容器？设外界大气