中考数学复习教案有理数及其运算.docx

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中考数学复习教案有理数及其运算

中考数学复习教案有理数及其运算

　　一、中考要求：

1.理解有理数及其运算的意义，并能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.

2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值

二、知识要点：

1.整数与分数统称为有理数.有理数

2.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

3.如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.0的相反数是0.

4.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.

正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

5.数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大;正数大于0，负数小于0，正数大于负数;两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

6.乘积为1的两个有理数互为倒数.

7.有理数分类应注意：

（1）则是整数但不是正整数;

（2）整数分为三类：

正整数、零、负整数，易把整数误认为分为二类：

正整数、负整数.

8.两个数a、b在互为相反数，则a+b=0.

9.绝对值是易错点：

如绝对值是5的数应为士5，易丢掉-5.

10.乘方的意义：

求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.

11.有理数加法法则：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;异号两数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;一个数同0相加，仍得这个数.

12.有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数.

13.有理数乘法法则：

两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘;任何数与0相乘，积仍为0.

14.有理数除法法则：

两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除;0除以任何非0的数都得0;除以一个数等于乘以这个数的倒数.

15.有理数的混合运算法则：

先算乘方，再算乘除，最后算加减;如果有括号，先算括号里面的.

16.有理数的运算律：

加法交换律：

为任意有理数）

加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）（a,b,c为任意有理数）

17.有理数加法运算技巧：

（1）几个带分数相加，把它们的整数部分与分数（或小数）部分分别结合起来相加

（2）几个非整数的有理数相加，把相加得整数的数结合起来相加;

（3）几个有理数相加，把相加得零的数结合起来相加;

（4）几个有理数相加，把正数和负数分开相加;

（5）几个分数相加，把分母相同（或有倍数关系）的分数结合相加.

18.学习乘方注意事项：

（1）注意乘方的含义;

（2）注意分清底数，如：

-an的底数是a，而不是-a

三、经典例题剖析：

1.-（-4）的相反数是_______，-（+8）是______的相反数.

2.把下面各数填入表示它所在的数集里.

-3，7，-，0，2019，-1.41，0.608，-5%

正有理数集{负有理数集{

整数集{有理数集{

3.计算：

|-22|=1-|-2|=（-3）3=（-2）（-3）=____。

4.数轴上点A到原点的距离是5，则A表示的数是_______

5.一个数的倒数的相反数是1,则这个数是______

6.今年我市二月份某一天的最低气温为-5oC，最高气温为13oC，那么这一天的最高气温比最低气温高______

7.比较-与-的大小.

8.若a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a+b=___________.

9.计算12-|-18|+（-7）+（-15）

10.生物学指出，在生态系统中，每输人一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在H1H2H3H4H5H6这条生物链中，（Hn表示第n个营养级，n=l，2，，6），要使H6获得10千焦的能量，需要H1提供的能量约为（）千焦

A.104B.105C106D107

11.（阅读理解题）

（1）阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A上两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-2-4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a-b|;当A、B两点都不在原点时，①如图1-2-5所示，点A、B都在原点的右边，|AB|=|BO|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;②如图1-2-6所示，点A、B都在原点的左边，|AB|=|BO|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|;③如图1-2-7所示，点A、B在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+（-b）=|a-b|

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|

（1）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是____，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______.

②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x为_________.

③当代数式|x+1|+|x-2|=2取最小值时，相应的x的取值范围是_________

专题二：

代数式

一、中考要求：

1.探索事物之间的数量关系，并用字母与代数式进行表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.

2.在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.

3.理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系.

4.理解合并同类项和去括号的法则，并会进行运算.

5.会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律.

6.进一步熟悉计算器的使用，会借助计算器探索数量关系，解决某些问题.

二、知识要点：

1、代数式的定义：

用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数、表示数的字母连接而成的式子.

2、代数式的写法应注意：

（1）在代数式中出现的乘号，通常简写作或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用

（2）在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写;（3）数字通常写在字母的前面;（4）带分数要写成假分数的形式.

3、代数式的值：

一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，就叫做代数式的值.

4、列代数式的技巧：

列代数式的关键是正确理解数量关系，弄清运算顺序和括号的作用，要分清运算顺序，一般遵循先高级后低级，必要时加括号.除了和。

差、积、商、大小、多、少外，还要掌握下述数量关系：

行程问题：

路程=速度时间;

工程问题：

工作量=工作效率工作时间;

浓度问题：

溶质质量=（溶液质量/溶液浓度）100%

数字问题：

百位数字100+十位数字10+个位数字=三位数.

5、同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

6、合并同类项：

把同类项合并成一项就叫做合并同类项.

7、合并同类项法则：

在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.

8、去括号法则：

括号前是+号，把括号和它前面的+号去掉后，原括号里各项的符号都不改变;括号前是-号，把括号和它前面的-号去掉后，原括号里各项的符号都要改变.

三、经典例题剖析：

1、有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为（）米

A、B、C、D、（-5）

2、数轴上点A所表示的是实数a，则到原点的距离是（）

A、aB.-aC.aD.-|a|

3、若abx与ayb2是同类项，下列结论正确的是（）

A.X=2，y=1B.X=0，y=0C.X=2，y=0D、X=1，y=1

4、x-（2x-y）的运算结果是（）

A.-x+yB.-x-yC.x-yD.3x-y

5、下列各式不是代数式的是（）

A.0B.4x2-3x+1C.a+b=b+aD、

6、两个数的和是25，其中一个数用字母x表示，那么x与另一个数之积用代数式表示为（）

A.x（x+25）B.x（x25）C.25xD.x（25-x）

7、下列各组的两个代数式是同类项的是（）

A、-x2与0.1y2B、-a2与aC、-3a2b与2ba2D、a2b与2ab2

8、-2x3y的系数是_____，-的系数是____;-a2b的系数是____，R2的系数是____.

9、观察下列算式：

21=2，22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，那么227的未位数字是_______.

10、研究下列各式，你发现什么规律?

将你找到的规律用含n的等式表示出来__________

11、观察下列数表：

根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为________，第n行与第n列交叉点上的数应为_________（用含有n的代数式表示，n为正整数）

解：

11;2n-1点拨：

由已知的四个特例即可得到第n行与第n列交叉点上的数满足2n1.

12、观察下列各等式：

（1）以上各等式都有一个共同的特征：

某两个实数的一等于这两个实数的___________;如果等号左边的第一个实数用x表示，第二个实数用y表示，那么这些等式的共同特征可用含x，y的等式表示为_

____________________.

（2）将以上等式变形，用含y的代数式表示x为_________________;

（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：

__________________

解：

⑴差;商;x-y=（y0,且y=1）

⑵x=

⑶如：

专题三:

整式

一、中考要求：

1、经历用字母表示数量关系的过程，在现实情境中进一步理解字母表示数的意义，发展符号感.

2、经历探索整式运算法则的过程，理解整式运算的算理，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力.

3、了解整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质;了解整式产生的背景和整式的概念，会进行简单的整式加、减、乘、除运算（其中多项式相乘仅限于一次式相乘，整式的除法只要求到多项式除以单项式且结果是整式）.

4、会推导乘法公式：

（a+b）（a-b）=a2+b2，（ab）2=a22ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算.

5、在解决问题的过程中了解数学的价值，发展用数学的信心.

二、知识要点：

1、幂的意义：

几个相同数的乘法

2、幂的运算性质：

（1）aman=am+n

（2）（am）n=amn;（3）（ab）n=anbn;

（4）aman=am-n（a0，a，n均为正整数）

3、特别规定：

（1）a0=1（a

（2）a-p=

4、幂的大小比较的常用方法：

⑴求差比较法：

如比较的大小，可通过求差0可知.

⑵求商比较法：

如=

⑶乘方比较法：

如a3=2，b3=3，比较a、b大小可算a15=（a3）5=25=32，b15=（b5）3=33=27，可得a15b15，即ab.

⑷底数比较法：

就是把所比较的幂的指数化为相同的数，然后通过比较底数的大小得出结果.

⑸指数比较法：

就是把所比较的幂的底数化为相同的数，然后通过比较指数的大小，得出结果.

5、单项式：

都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.

6、多项式：

几个单项式的和叫做多项式.

7、整式：

单项式和多项式统称整式..

8、单项式的欢数：

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

9、多项式的次数：

一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.

10、添括号法则：

添括号后，括号前是+号，插到括号里的各项的符号都不变;括号前是-号，括到括号里的各项的符号都改变.

11、单项式乘以单项式的法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.

12、单项式乘以多项式的法则：

单项式与多项式相乘，就是根据分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

13、多项式乘以多项式的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

14、单项式除以单项式的法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为

商的一个因式.

15、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

16、整式乘法的常见错误：

（1）漏乘如（在最后的结果中漏乘字母c.

（2）结果书写不规范在书写代数式时，项的系数不能用带分数表示，若有带分数一律要化成假分数或小数形式.

（3）忽略混合运算中的运算顺序整式的混合运算与有理数的混合运算相同，有乘方，先算乘方，再算乘除，最后算加减：

如果有括号，先算括号里面的.

（4）运算结果不是最简形式运算结果中有同类项时，要合并同类项，化成最简形式.

（5）忽略符号而致错在运算过程中和计算结果中最容易忽略一号而致错.

17、乘法公式：

平方差公式（a+b）（a-b）=a2+b2，，，完全平方公式：

（ab）2=a22ab+b2

18、平方差公式的语言叙述：

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.

19、平方差公式的结构特征：

等号左边一般是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项是完全相同，另一项互为相反项问系数互为相反数，其他因数相同人与这项在因式中的位置无关.等号右边是乘积中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.

20、运用平方差公式应注意的问题：

（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式;

（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式.如（a+b-c）（b-a+c）=[（b+a）-c]][b-（a-c）]=b2-（a-c）

21、完全平方式的语言叙述：

（1）两数和（差）的平方等于它们的平方和加上它们乘积的2倍.字母表示为：

（ab）2=a22ab+b2;

22、运用完全平方公式应注意的问题：

（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算;

（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项2ab或漏了乘积项中的系数积的2（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算;如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算.

三、经典例题剖析：

1、计算（-3a3）2：

a2的结果是（）

A.-9a2B6a2C9a2D9a4

2、下列计算正确的是（）

A.C.

3、已知a=8131，b=2741,c=961,则a、b、c的大小关系

是（）

A.acB.abC.a

4、计算（2+1）（22+1）（23+1）（22n+1）的值是（）

A、42n-1B、C、2n-1D、22n-1

5、三个连续奇数，若中间一个为n，则这三个连续奇数之积为（）

A.4n2-nB.n2-4nC.8n2-8aD.8n2-2n

6、计算：

x2x3=_______;0.2995101=________;

-m3（-m4）（-m）=_________;（a-2b）（a+2b）=________.

7、已知代数式2x2+3x+7的值是8，则代数式4x2+6x+200=___________

8、已知x2+y2=25，x+y=7，且xy，x-y的值等于________.

9、若x2-2x+y2+6y+10=0.则x=_________，y=。

10、一种电子计算机每秒可作8108次运算，它工作6102秒可作多少次运算?

（结果用科学记数法表示）

11、已知3m9m27m81m=330,求m的值.

12、证明代数式16+a-{8a-[a-9-（3-6a）]｝的值与a的取值无关.

13、试求不等式（3x+4）（3x-4）9（x-2）（x+3）的负整数解.

14、已知x2+y2=25，x+y=7，且xy，x-y的值等于________.

解：

本题考查了对完全平方公式（ab）2=a22ab+b2的灵活运用.由（x+y）2=x2+2xy+y2，可得xy=12.所以（x-y）2=25-24=1.又因为xy，所以x0.所以xy=1

15、阅读材料并解答问题：

我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：

（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图l-l-l或图l-l-2等图形的面积表示.

（1）请写出图l-1-3所表示的代数恒等式：

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

（a+b）（a+3b）=a2+4ab十3b2.

（3）请仿照上述方法另写一下个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形.

解：

（l）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2

（2）如图l-1-4（只要几何图形符合题目要即可）.

（3）按题目要求写出一个与上述不同的代数恒等式，画出与所写代数恒等生对应的平面几何图形即可（答案不唯一）.

点拨：

本题是一道阅读理解题，是中考的热点题型.

专题四：

分解因式

一、中考要求：

1.经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与分解因式）.

2.了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）.

3、通过乘法公式，的逆向变形，进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力.

二、知识要点：

1.分解因式：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2.分解困式的方法：

⑴提公团式法：

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

⑵运用公式法：

公式

3.分解因式的步骤：

分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解.

4.分解因式时常见的思维误区：

提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.若有一项被全部提出，括号内的项1易漏掉.分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

三、经典例题剖析：

1.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

2.把分解因式的结果是（）

3.把2m6+6m2分解因式正确的是（）

4.下列各组多项式中没有公因式的是（）

A.3x-2与6x2-4xB.3（a-b）2与11（b-a）3

C.mxmy与nynxD.abac与abbc

5.分解因式：

x2-9=___________，=___________

6.在实数范围内分解因式：

ab2-2a=____________

7.分解因式的结果是（a2+2）（a2-2）的多项式是___________.

8.分解因式：

（1）25（a+b）2-9（a-b）2

（2）

9.（阅读理解题）分解因式：

x2-120x+3456

分析：

由于常数项数值较大，则采用x2-120x变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：

x2-120x+3456=x2-260x+3600-3600+3456

=（x-60）2-144=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）

请按照上面的方法分解因式：

x2+42x-3526

专题五：

分式

一、中考要求：

1.经历用字母表示现实情境中数量关系（分式、分式方程）的过程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感.

2.经历通过观察、归纳、类比、猜想、获得分式的基本性质、分式乘除运算法则、分式加减运算法则的过程，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力.

3.熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）会检验分式方程的根.

4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识.

5.通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值.

二、知识要点：

1.分式：

整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式.

注：

（1）若B0，则有意义;

（2）若B=0，则无意义;

（2）若A=0且B0，则=0

2.分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

3.约分：

把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分.

4.通分：

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.

5.分式的加减法法则：

（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减;

（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.

6.分式的乘除法法则：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

7.通分注意事项：

（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积;

（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.

8.分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.

9.对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值.

10.分式方程.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

11.分式方程的解法：

解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程.

12.分式方程的增根问题：

⑴增根的产生：

分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根;

⑵验根：

因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.

13.分式方程的应用：

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性.

14.通过解分式方程初步体验转化的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题.

三、经典例题剖析：

1、当x____时，分式有意义.

2、先化简，再求值：

，其中.

3、先将化简，然后请你自选一个合理的值，求原式的值。

4、把分式方程的两边同时乘以（x-2）,约去分母，得（）

A.1-（1-x）=1B.1+（1-x）=1C.1-（1-x）=x-2D.1+（1-x）=x-2

5、当k等于（）时，是互为相反数。

A.B.C.D.

6、正在修建的西塔（西宁～塔尔寺）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工程队比乙工程队少用10天;若甲、乙两队合作，12天可以完成.若没甲单独完成这项工程需要x天.则根据题意，可列方程为_______________-

7、解方程：

8、方程的解是________

9、某市今年1月10起