2009年天津市高考数学试卷(理科).doc

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2009年天津市高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）i是虚数单位，=（　　）

A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i

2．（5分）设变量x，y满足约束条件：

，则目标函数z=2x+3y的最小值为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．23

3．（5分）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（　　）

A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0 B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0

C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0

4．（5分）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（　　）

A．在区间（，1），（l，e）内均有零点

B．在区间（，1），（l，e）内均无零点

C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点

D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点

5．（5分）阅读程序框图，则输出的S=（　　）

A．26 B．35 C．40 D．57

6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（　　）

A．8 B．4 C．1 D．

7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（　　）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

9．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（　　）

A． B． C． D．

10．（5分）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（　　）

A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．（4分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取　　名学生．

12．（4分）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=　　．

13．（4分）设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为　　．

14．（4分）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=　　．

15．（4分）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是　　．

16．（4分）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有　　个（用数字作答）

三、解答题（共6小题，满分76分）

17．（12分）已知：

△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA

（1）求AB的值．

（2）求的值．

18．（12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：

（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；

（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

19．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，

（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；

（2）证明平面AMD⊥平面CDE；

（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．

20．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）ex（x∈R），其中a∈R．

（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．

21．（14分）已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．

（1）求椭圆的离心率；

（2）求直线AB的斜率；

（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．

22．（14分）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q＞1）．设sn=a1b1+a2b2+…+anbn，Tn=a1b1﹣a2b2+…+（﹣1）n﹣1anbn，n∈N+，

（1）若a1

（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值；

（Ⅱ）若b1（6）=1，证明（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=，n∈（10）N+；

（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k1，k2，…，kn和l1，l2，…，ln是1，2，…，n的两个不同的排列，c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn，c2=al1b1+al2b2+…+alnbn证明c1≠c2．

2009年天津市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2009•天津）i是虚数单位，=（　　）

A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i

【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．

【解答】解：

，

故选D．

2．（5分）（2009•天津）设变量x，y满足约束条件：

，则目标函数z=2x+3y的最小值为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．23

【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：

根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．

【解答】解：

画出不等式．表示的可行域，如图，

让目标函数表示直线在可行域上平移，

知在点B自目标函数取到最小值，

解方程组得（2，1），

所以zmin=4+3=7，

故选B．

3．（5分）（2009•天津）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（　　）

A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0 B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0

C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0

【分析】命题的否定只否定结论即可，不要与否命题混淆．

【解答】解：

结论的否定形式为：

2x2﹣1＞0

∴原命题的否定为：

D．

故选D．

4．（5分）（2009•天津）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（　　）

A．在区间（，1），（l，e）内均有零点

B．在区间（，1），（l，e）内均无零点

C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点

D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点

【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．

【解答】解：

由题得，令f′（x）＞0得x＞3；

令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，

故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，

在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又，，．

故选C．

5．（5分）（2009•天津）阅读程序框图，则输出的S=（　　）

A．26 B．35 C．40 D．57

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值．

【解答】解：

分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值

∵S=2+5+8+…+14=40．

故选C．

6．（5分）（2009•天津）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（　　）

A．8 B．4 C．1 D．

【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值

【解答】解：

因为3a•3b=3，所以a+b=1，

，

当且仅当即时“=”成立，

故选择B．

7．（5分）（2009•天津）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（　　）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【分析】由周期函数的周期计算公式：

，算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．

【解答】解：

由题知ω=2，

所以，

故选择A．

8．（5分）（2009•天津）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．

【解答】解：

由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a

即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．

故选C

9．（5分）（2009•天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得

=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得

的值，则三角形的面积之比可得．

【解答】解：

如图过B作准线l：

x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，

∵=，

又∵△B1BC∽△A1AC、

∴=，

由拋物线定义==．

由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=﹣，

∴AB：

y﹣0=（x﹣）．

把x=代入上式，求得yA=2，xA=2，

∴|AF|=|AA1|=．

故===．

故选A．

10．（5分）（2009•天津）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（　　）

A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3

【分析】要使关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，

【解答】解：

由题得不等式（x﹣b）2＞（ax）2

即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，它的解应在两根之间，

因此应有a2﹣1＞0，解得a＞1或a＜﹣1，注意到0＜b＜1+a，从而a＞1，

故有△=4b2+4b2（a2﹣1）=4a2b2＞0，

不等式的解集为或（舍去）．

不等式的解集为，

又由0＜b＜1+a得，

故，，这三个整数解必为﹣2，﹣1，0