1993年全国高考数学试题.doc
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一九九三年全国高考数学试题
理科试题
一．选择题：
本题共18个小题;每小题3分，共54分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后括号内。
（1）若双曲线实半轴长为2，焦距为6，那么离心率是（C）
（A）（B）（C）（D）2
（2）函数的最小正周期是（B）
（A）（B）（C）（D）
（3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥的轴截面顶角是
（A）450（B）600（C）900（D）1200（C）
（4）当时，的值等于（D）
（A）1（B）-1（C）i（D）-i
（5）直线bx+ay=ab（a<0,b<0）的倾斜角是（C）
（A）（B）
（C）（D）
（6）在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB（B）
（A）有最大值和最小值0（B）有最大值，但无最小值
（C）即无最大值也无最小值（D）有最大值1，但无最小值
（7）在各项均为正数的等比数列中，若，则（B）
（A）12（B）10（C）8（D）
（8）是偶函数，且不恒等于零，则
（A）是奇函数（B）是偶函数（A）
（C）可能是奇函数也可能是偶函数（D）不是奇函数也不是偶函数
（9）曲线的参数方程为，则曲线是（A）
（A）线段（B）双曲线的一支（C）圆弧（D）射线
（10）若是任意实数，且，则（D）
（A）（B）（C）（D）
（11）已知集合，那么为区间（A）
（A）（B）（C）（D）
（12）一动圆与两圆：
x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为（C）
（A）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆
（13）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是
（A）三棱锥（B）四棱锥（C）五棱锥（D）六棱锥（D）
（14）如果圆柱轴截面的周长为定值，那么圆柱体积的最大值是（A）
（A）（B）（C）（D）
（15）由展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有（B）
（A）50项（B）17项（C）16项（D）15项
（16）设都是正数，且，那么（B）
（A）（B）（C）（D）
（17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（B）
（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种
（18）已知异面直线所成角为500，P为空间一定点，则过点P且与所成的角都是300的直线有且仅有（B）
（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条
二．填空题：
本大题共6小题;每小题3分，共18分。
把答案填在题中横线上。
（19）抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为，则焦点到AB的距离为________________.
[答]：
2
（20）在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为1200。
若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为________m（精确到0.1m）.
[答]：
17.3
（21）在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共_________种（用数字作答）.
[答]：
4186
（22）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池。
如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为_______元.
[答]：
1760
（23）设，则=__________
[答]：
1
（24）已知等差数列的公差d>0，首项则____________
[答]：
三．解答题：
本大题共5小题;共48分.解答应写出文字说明、演算步骤。
（25）（本小题满分8分）
解不等式
解：
原不等式等价于
所以原不等式的解集为
（26）（本小题满分8分）
如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作L。
（Ⅰ）判定直线A1C1和L的位置关系，并加以证明;
（Ⅱ）若A1A=1，AB=4，BC=3，∠ABC=900，求顶点A1到直线L的距离。
解：
（Ⅰ）L∥A1C1证明如下：
根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行。
A1
C1
B1
AD
E
LC
B
由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1，
直线L=平面A1B1C1∩平面A1BC1，
根据两平面平行的性质定理
有L∥A1C1
（Ⅱ）过点A1作A1E⊥L于E，则A1E的长为点A1到L的距离。
连接AE，
由直棱柱的定义知
A1A⊥平面ABC
∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影。
又L在平面ABC上，根据三垂线定理的逆定理有AE⊥L
由棱柱的定义知A1C1∥AC，又L∥A1C1，∴L∥AC
作BD⊥AC于D，
则BD是Rt△ABC斜边AC上的高，且BD=AE，
从而
在Rt△A1AE中，∵A1A=1，∠A1AE=900，
∴
故点A1到直线L的距离为
（27）（本小题满分10分）
在面积为1的△PMN中，.建立适当的坐标系，求出以M，N为焦点且过点P的椭圆方程。
Y
P
α
MONX
解：
建立直角坐标系如图：
以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴
设所求的椭圆方程为
分别记M、N、P点的坐标为
（-c,0）,（c,0）和（x0,y0）
∵tgα=tg（π-∠N）=2
∴由题设知
解得
在△PMN中，MN=2cMN上的高为
∴S△PMN=
故所求椭圆方程为
（28）（本小题满分12分）
设复数求。
解：
（29）（本小题满分10分）
已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β.证明：
（Ⅰ）如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;
（Ⅱ）如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2.
证法一：
依题意，设二次方程有两个实根，所以判别式不妨取
（Ⅰ）
（Ⅱ）
证法二：
（Ⅰ）根据韦达定理
因为二次函数开口向上，
故必有
（Ⅱ）由
由此可知f（x）=0的每个实根或者在区间（-2，2）之内或者在区间（-2，2）之外
若两根α，β均落在（-2，2）之外则与矛盾
若α（或β）落在（-2，2）外，则由于，另一根β（或α）必须落在（-2，2）内，则与
（1），
（2）式矛盾
综上所述α，β均落在（-2，2）内
文科试题
一．选择题：
本题共18个小题;每小题3分，共54分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后括号内。
（1）若双曲线实半轴长为2，焦距为6，那么离心率是（C）
（A）（B）（C）（D）2
（2）函数的最小正周期是（B）
（A）（B）（C）（D）
（3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥的轴截面顶角是
（A）450（B）600（C）900（D）1200（C）
（4）当时，的值等于（D）
（A）1（B）-1（C）i（D）-i
（5）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是
（A）三棱锥（B）四棱锥（C）五棱锥（D）六棱锥（D）
（6）在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB（B）
（A）有最大值和最小值0（B）有最大值，但无最小值
（C）即无最大值也无最小值（D）有最大值1，但无最小值
（7）在各项均为正数的等比数列中，若，则（B）
（A）12（B）10（C）8（D）
（8）是偶函数，且不恒等于零，则（A）
（A）是奇函数（B）是偶函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数（D）不是奇函数也不是偶函数
（9）设直线与y轴的交点为P，点P把圆的直径分为两段，则其长度之比为（A）
（A）（B）（C）（D）
（10）若是任意实数，且，则（D）
（A）（B）（C）（D）
（11）已知集合，那么为区间（A）
（A）（B）（C）（D）
（12）一动圆与两圆：
x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为（C）
（A）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆
（13）若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（D）
（A）ab>0,bc>0（B）ab>0,bc<0（C）ab<0,bc>0（D）ab<0,bc<0
（14）如果圆柱轴截面的周长为定值，那么圆柱体积的最大值是
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