等边三角形的性质习题精选附答案Word格式.docx
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空白部分面积大
一样大
不确定
7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（ ）
190
192
194
196
8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（ ）
4个
5个
6个
7个
9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（ ）
12
9
8
4
10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（ ）
11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（ ）
121314
1
2
3
12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（ ）
36
32
28
13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（ ）
100
14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（ ）
120°
135°
150°
165°
二．填空题（共9小题）
15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
．以D为顶点作一个60°
角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 _________ ．
16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为 _________ ．
17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON= _________ ．
18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有 _________ 个；
△PAB的面积是 _________ ．
19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 _________ ．
20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP= _________ ．
21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE= _________ ．
22
22．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是 _________ ．
23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为 _________ ．
三．解答题（共7小题）
24．阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：
，∴r1+r2=h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°
，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？
_________ （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _________ ．若不存在，请说明理由．
25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：
“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？
请说明你的理由．
26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，
（1）请说明DB=DE的理由．
（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．
27．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°
，P为任意一点（不是O）．求证：
PA+PB+PC＞OA+OB+OC．
28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．
29．阅读下列材料，解答相应问题：
已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．
如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：
h1=h，h2=h，因此得到：
h1+h2=h．
小明同学大胆猜想提出问题：
如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？
通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：
证明：
如图3，连接AP．
∴S△ABC=S△ABP+S△APC．
设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴BC•AD=AB•PE+AC•PF
∴a•h=a•h1+a•h2．
∴h1+h2=h．
（1）进一步猜想：
当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？
若成立，请你证明；
若不成立，请猜想h1，h2与h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）
（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．
继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？
请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．
30．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？
并求出这个最值．
参考答案与试题解析
A．
B．
C．
D．
考点：
等边三角形的性质．
专题：
压轴题；
规律型．
分析：
因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×
2，x+2×
2，x+3×
2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×
2）+（x+3×
2）=7x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．
解答：
解：
设AB=x，
∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×
2，
∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×
2）=7x+18，
∵AF=2AB，即x+6=2x，
∴x=6cm，
∴周长为7x+18=60cm．
故选D
点评：
结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．
2．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（ ）
等边三角形的性质；
对顶角、邻补角；
三角形内角和定理；
等腰三角形的性质．
证明题．
根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，根据三角形的内角和定理求出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，代入上式即可求出答案．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠2+∠γ=∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，
∵等边△DEF，∴∠5=∠3=60°
，
∴∠2+∠α=∠1+∠β=120°
∴∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，
∴∠α﹣∠γ=∠β﹣∠α，
∴2∠α=∠β+∠γ，
∴α=，
故选B．
本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ和∠2﹣∠1=∠β﹣∠α是解此题的关键．
3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
轴对称-最短路线问题；
过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°
，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°
故选C．
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．
4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（ ）
三角形三边关系．
计算题．
等边三角形各内角为60°
，故∠B=∠C=60°
，即可求得BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，即可求得L1=L2．
∵等边三角形各内角为60°
，∴∠B=∠C=60°
∵∠BPD=∠CPE=30°
∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，
∴BP=2BD，CP=2CE，
∴BD+CE=BC，
∴AD+AE=AB+AC﹣BC=BC，
∴BD+CE+BC=BC，
L1=BC+DE，
L2=BC+DE，
即得L1=L2，
故选A．
本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，L2=BC+DE是解题的关键．
5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（ ）
根据ED⊥BC可得∠CED=30°
，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．
∵ED⊥BC，∠C=60°
∴∠CED=30°
设DE=x，则AE=x，
且CE=x，
又∵AE+CE=5，
∴x+x=5，
解得x=10﹣15，
∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．
故选D．
本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°
的性质，本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键．
6．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（ ）
根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可．
如图，∵D、E、F分别为三角形三边的中点，△ABC为等边三角形，
∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED，
∴阴影部分面积与空白部分面积一样大．
此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质．
7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（ ）
根据三角形面积的不同计算方法可以求得PQ+PS+PR=AD，根据AD的值即可求得BC的值，根据BC、AD的值即可计算等边△ABC的面积．
连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，
等边三角形面积S=BC•（PQ+PR+PS）=BC•AD
故PQ+PR+PS=AD，
∴AD=6+8+10=24，
∵∠ABC=60°
∴AB=24×
=16，
∴△ABC的面积S=BC•AD
=×
24×
16=192，
故选B．
本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS=AD是解题的关键．
8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（ ）
计算题；
开放型．
把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成n2个边长为的小三角形，则比三角形的个数多1可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题．
把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，
可以把三角形分成n2个边长为的小三角形，
n2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内，
所以那两个点的距离是不超过的，
∴取得点至少为n2+1，
当根据题意n=2，
∴n2+1=5．
本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建n2个三角形是解题的关键．
9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（ ）
根据等边三角形的面积即可计算（h3+h2﹣h1）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC的值，即可求得△ABC的面积，即可解题．
设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，
则S△PAB+S△PAC﹣S△PBC=S△ABC，
从而ah3+ah2﹣ah1=a2，
即a（h3+h2﹣h1）=a2，
∵（h3+h2﹣h1）=6，
∴a=4，
∴S△ABC=a2=12．
故选A．
本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键．
10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（ ）
设BM=x，CN=y，用x、y分别表示m、n的值，化简m、n的表达式，可得四边形AMPN，△ABC的周长的比值，可以解题．
设BM=x，CN=y
则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=y
AM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），
故=
=≈．
本题考查了等边三角形各内角为60°
的性质，等边三角形周长的计算，本题中用x、y表示m、n的值是解题的关键．
11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（ ）
根据等边三角形边长相等的性质，可以证明△ACD≌△BED，故AC=BE，已知AB，根据勾股定理即可求AC的长，即可解题．
∵∠ADC+∠CDB=60°
，∠CDB+∠BDE=60°
∴∠ADC=∠BDE，
在△ACD和△BED中，
∴△ACD≌△BED，
∴AC=BE，
∵AC=BC，AB=，
∴AC=BC=1，
∴BE=1．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BED是解题的关键．
12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（ ）
根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形．
①∵DE，EF，FD为等边△ABC三条中位线，
∴AB=AC=BC，
∴EFAB，EDAC，
∴四边形CEDF是菱形，
∴EF⊥CD，
∴在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形：
Rt△CEG、Rt△CFG、Rt△DGE、Rt△DFG、Rt△EOG、Rt△FOG；
同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形；
②∵D为等边三角形ABC三边中点，
∴CD⊥AB，
∴△ADC、△BDC、AOD、△BOD是直角三角形；
同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；
综上所述，图中能数出的直角三角形由6×
3+4×
3=30（个）；
本题考查了等边三角形的性质．解题时，充分利用了三角形中位线定理、等边三角形的“三线合一”的性质．
13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（ ）
根据三角形面积公式和中位线定理求解．
设小三角形的边长为a．
∴小三角形的面积为a2sin60°
=25，解得a=10
∵正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形
∴大三角形的边长为小三角形边长的2倍，为2a
∴大的正三角形的周长为2a×
3=6a=6×
10=60．
考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解．
14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（ ）
等腰三角形的性质；
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