等边三角形的性质习题精选附答案Word格式.docx

1、空白部分面积大一样大不确定7如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则ABC的面积等于（）1901921941968在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）4个5个6个7个9如图，已知等边ABC外有一点P，P落在ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3h1=6，那么等边ABC的面积为（）1298410如图所示，ABC为正三角形，P是BC上的一点，PMAB，PNAC，设四边形AMPN，ABC的周长分别为m、n

2、，则有（）11如图，AC=BC，ACBC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE若AB=，则BE=（）12131412312如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）36322813如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）10014在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）120135150165二填空题（共9小题）15（2007沈阳）如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=12

3、0以D为顶点作一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为_16（2012南开区一模）如图，将边长为3+的等边ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DFAB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为_17如右图，以等边OAB的高OC为边向逆时针方向作等边OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边OGH，按此方法操作，最终得到OMN，此时ON在OA上若AB=1，则ON=_18已知正ABC的面积是1，P是ABC内一点，并且PAB、PBC、PCA的面积相等，那么满足

4、条件的点P共有_个；PAB的面积是_19如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为_20如图所示，直线AB、CD相交于点O若OM=ON=MN，那么APQ+CQP=_21在正ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与BPC的面积相等，那么BPE=_2222如图，平行于BC的线段MN把等边ABC分成一个三角形和一个四边形，已知AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是_23正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为_三解答题（共7小题）2

5、4阅读材料：如图，ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则SABP+SACP=SABC，即：，r1+r2=h（定值）（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）（2）理解与应用ABC中，C=90，AB=10，AC=8，BC=6，ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值

6、，r=_若不存在，请说明理由25小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做ABC、ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点”你同意他的说法吗？请说明你的理由26在等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由（2）若等边ABC的边长为4cm，求BDE的面积27如图，设O为ABC内一点，且AOB=BOC=COA=120，P为任意一点（不是O）求证：PA+PB+PCOA+OB+OC28如图，等边ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相

7、交于点P，试求BPD的度数29阅读下列材料，解答相应问题：已知ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案证明如下：证明：如图3，连接APSABC=SABP+SAPC设等边三角形的边长AB=BC=CA=aADBC，PEAB，PFAC，BCAD=ABPE+ACPFah=ah1+ah2h1+h2=h

8、（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与 h之间的数量关系，并证明（借助答题卡上的图4）（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明30如图ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使DPQ的周长最小？并求出这个最值参考答案与试题解析ABCD考点：等边三角形的性质专题：压轴题；规律型分析：因为每个三角

9、形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+22，x+22，x+32所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+22）+（x+32）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长解答：解：设AB=x，等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+22，六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+22）=7 x+18，AF=2AB，即x+6=2x，x=6cm，周长为7 x+18=60cm故选D点评：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系2（20

10、09江干区模拟）如图，ABC中，AB=AC，DEF为等边三角形，则、之间的关系为（）等边三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质证明题根据等腰三角形的性质推出B=C，根据三角形的内角和定理求出21=，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出21=，代入上式即可求出答案AB=AC，B=C，2+=1+，21=，等边DEF，5=3=60，2+=1+=12021=，=，2=+，=，故选B本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出21=和21=是解此题的关键3如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD

11、边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则ECF的度数为（）轴对称-最短路线问题；过E作EMBC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出ACM，即可求出答案过E作EMBC，交AD于N，AC=4，AE=2，EC=2=AE，AM=BM=2，AM=AE，AD是BC边上的中线，ABC是等边三角形，ADBC，EMBC，ADEM，AM=AE，E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，ABC是等边三角形，ACB=60，AC=BC，AM=BM，ECF=ACB=30故选C本题考查了轴

12、对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用4如图，ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PDAB，PEAC，连接DE记ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）三角形三边关系计算题等边三角形各内角为60，故B=C=60，即可求得BP=2BD，CP=2CE，BD+CE=BC，即可求得L1=L2等边三角形各内角为60，B=C=60BPD=CPE=30在RtBDP和RtCEP中，BP=2BD，CP=2CE，BD+CE=BC，AD+AE=AB+ACBC=BC，BD+CE+BC=BC，L1=BC+DE，L2=BC+DE，

13、即得L1=L2，故选 A本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，L2=BC+DE是解题的关键5如图，ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，EDBC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）根据EDBC可得CED=30，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=ACAE即可求CE的值EDBC，C=60CED=30设DE=x，则AE=x，且CE=x，又AE+CE=5，x+x=5，解得x=1015，CE=5（1015）=2010故选D本题考

14、查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60的性质，本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键6如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可如图，D、E、F分别为三角形三边的中点，ABC为等边三角形，AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，ADEDBFEFCFED，阴影部分面积与空白部分面积一样大此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质7如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R

15、，且PQ=6，PR=8，PS=10，则ABC的面积等于（）根据三角形面积的不同计算方法可以求得PQ+PS+PR=AD，根据AD的值即可求得BC的值，根据BC、AD的值即可计算等边ABC的面积连接AP、BP、CP，过点A作ADBC于D，等边三角形面积S=BC（PQ+PR+PS）=BCAD故PQ+PR+PS=AD，AD=6+8+10=24，ABC=60AB=24=16，ABC的面积S=BCAD=2416=192，故选 B本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS=AD是解题的关键8在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存

16、在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）计算题；开放型把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成n2个边长为的小三角形，则比三角形的个数多1可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，可以把三角形分成n2个边长为的小三角形，n2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内，所以那两个点的距离是不超过的，取得点至少为n2+1，当根据题意n=2，n2+1=5本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建n2个三角形是解题的关键9如图，已知等边ABC外有一点P，P落在ABC内，设点P到BC、CA、AB三

17、边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3h1=6，那么等边ABC的面积为（）根据等边三角形的面积即可计算（h3+h2h1）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC的值，即可求得ABC的面积，即可解题设等边ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则SPAB+SPACSPBC=SABC，从而ah3+ah2ah1=a2，即a（h3+h2h1）=a2，（h3+h2h1）=6，a=4，SABC=a2=12故选A本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键10如图所示，ABC为正三角形，P是BC上的一点，PMA

18、B，PNAC，设四边形AMPN，ABC的周长分别为m、n，则有（）设BM=x，CN=y，用x、y分别表示m、n的值，化简m、n的表达式，可得四边形AMPN，ABC的周长的比值，可以解题设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC（BM+CN）=3（x+y），故=本题考查了等边三角形各内角为60的性质，等边三角形周长的计算，本题中用x、y表示m、n的值是解题的关键11如图，AC=BC，ACBC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE若AB=，则BE=（）根据等边三角形边长相等的性质，可以证明ACDBED，故AC=BE，已知AB，根据勾股定理即可求AC的长，即

19、可解题ADC+CDB=60，CDB+BDE=60ADC=BDE，在ACD和BED中，ACDBED，AC=BE，AC=BC，AB=，AC=BC=1，BE=1本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ACDBED是解题的关键12如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形DE，EF，FD为等边ABC三条中位线，AB=AC=BC，EFAB，EDAC，四边形CEDF是菱形，EFCD，在菱形CEDF中有6个不同

20、的直角三角形：RtCEG、RtCFG、RtDGE、RtDFG、RtEOG、RtFOG；同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形；D为等边三角形ABC三边中点，CDAB，ADC、BDC、AOD、BOD是直角三角形；同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；综上所述，图中能数出的直角三角形由63+43=30（个）；本题考查了等边三角形的性质解题时，充分利用了三角形中位线定理、等边三角形的“三线合一”的性质13如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）根据三角形面积公式和中位线定理求解设小三角形的边长为a小三角形的面积为a2sin60=25，解得a=10正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形大三角形的边长为小三角形边长的2倍，为2a大的正三角形的周长为2a3=6a=610=60考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解14在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）等腰三角形的性质；