行列式经典例题Word下载.docx

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100

j1

j2,,n

120

=

nnn

12

（1）2

（1）

n12n3n1

例2.设a,b,c是互异的实数,证明:

的充要条件是a+b+c=0.

证明:

考察范德蒙行列式:

内部资料个人复习资料

行列式即为y

2前的系数.于是

所以的充要条件是a+b+c=0.

x100

例3计算D

n=

0x10

aaaxa

nn1n21

解：

方法1递推法按第1列展开，有

x1

n1

Dn=xDn1+（－1）=xDn1+an

an

由于D1=x+a1，D2

axa

21

，于是D

n=xDn1+an=x（xDn2+an1）+an=x

2D

n+

2

an1x+an==x

n1D1+an2++a

2xn1D1+an2++a

nx+an=

nn1

xaxaxa

1n1n

方法2第2列的x倍，第3列的x

2倍，，第n列的xn1倍分别加到第1列上

0100

cxc

xx

10

00x0

axaaaxa

nn1n1n21

01000

cxc

13

0x100

3

x

axaxaaaaxa

nn1n2n1n2n31

01

按展开

r

（1）n1f

n1f

==x

fx

x1

方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式．

Dn

32

x000

0x00

nn

aaa

nn1n

aaak

nnnn

122

xxx

按c展开

n1k

n=x

n（

a

+

a

n

++

a2

+a1+x）

n1n

aaxaxx

nn11

1000

按r展开

（1）

D方法4

+n

00x1

x000x100

na

00x10001

（1）（）

2nax

000x

n1n1n2n2

（－1）（－1）

=（－1）an+（－1）an1x

++（－1）

2n（－1）a

2x

n2+（－1）2n（a1+x）x

1+x）x

例4．计算n阶行列式：

abaa

112n

aaba

122n

（

b1b2bn0）

aaab

12nn

解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素

aaa，可在保持

1,2,,n

原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化

简后出现大量的零元素．

12n

升阶

31

1b00

D0aaba

n122n

n11

10b0

b

j

j2,,n1

aa

11

bb

0b00

1

00b0

2

bbb

1n

（1）

000

这个题的特殊情形是

axaa

aaxa

x（xa）

i

i1

aaax

可作为公式记下来．

例5．计算n阶“三对角”行列式

Dn=

＋

解方法1递推法．

0000

（）Dn1—

（n1）

（）Dn1－Dn2

即有递推关系式D

n=（）Dn1－Dn2（n3）

故

DD＝（Dn1Dn2）

递推得到

DD＝（Dn1Dn2）＝

（DnDn）

23

＝＝

（）

n2DD

而

D1（），D2＝

α

β

αβ

＝

αβ

22

，代入得1

DD

DD（2.1）

由递推公式得

DD＝

（D）

n2

＝α

n＋

nn1n1n

＝＋＋

＋＝

（n

－α

β－α

1）α

，当

αβ时

α＝β时

方法2把Dn按第1列拆成2个n阶行列式

＋＋

上式右端第一个行列式等于αD

n，而第二个行列式

cac

i2,,n

=β

于是得递推公式

DD，已与（2.1）式相同．

方法3在方法1中得递推公式

Dn=（）Dn1－Dn2

又因为当时D1==

33

D=

（）=

D3=

（）-2（）

44

=（）

n1n1

于是猜想

D，下面用数学归纳法证明．

当n=1时，等式成立，假设当nk时成立．

当n=k+1是，由递推公式得

Dk1=（）Dk－Dk1

k1k1kkk2k2

—=

所以对于nN，等式都成立

例6．计算n阶行列式：

1a11

11a1

其中

a1a2an0．

解这道题有多种解法．

方法1化为上三角行列式

1j

0an

b1aa

i2i

，于是

i1i

．

方法2升阶（或加边）法

11111111

01a11

升阶rr1

1a00

D011a1

i2,3,,n1

10a0

0111

100an

1111

i1j

acc

1j1

an

a1j

aaa1

j1,2,,n1aa

方法3递推法．将

D改写为

1a110

11a10

1a10

按c拆开

11a0

11111an

由于

in

i1,,n1

12n1

111111

aD

11an

因此

D=anDn1a1a2an1为递推公式，而D11a1，于是

D=anDn1a1a2an1=a1a2an

aaaa

12n1n

=a1a2an

aaaaa

12n2n1n

=a1a2an