初中数学反比例函数的图像与性质教案Word下载.docx
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由于反比例函数y=
的图象是两支双曲线，对于学生第一次接触有一定难度，因此可先让学生猜想图象的分布情况，图象与坐标轴的相交情况以及图象的形状和变化趋势并相互交流，使之对图象的特征有一些感性认识，然后再动手操作，对图象有进一步的认识．特别强调的是画双曲线时一定要用平滑的曲线，并且指出学生在画图时易犯的一些错误，如
情境2
1.猜想：
你能说出反比例函数y=－
的图象分布在哪些象限吗？
2.试一试：
用画反比例函数y=
的图象的方法和步骤在平面直角坐标系中画出y=－
的图象；
3.比一比：
反比例函数y=
与y=－
的图象有什么相同点和不同点？
4．观察：
（1）在列表中点（-6，1）与（6，-1）的横纵坐标各有什么特点？
你还能找到有这种特点的两点吗？
（2）你能大胆猜测反比例函数图象的两支曲线有什么对称关系吗？
在情境１的基础上学生基本上已能画出反比例函数的图象，情境２主要是让学生熟练反比例函数的画图步骤以及作图技能，并比较y=
图象的特征，若有困难教师再讲解，再一次感受反比例函数的“双曲线”特征．同时让学生感受反比例函数图象的两个分支关于原点成中心对称图形．
四、例题设计
例已知反比例函数y=
当x=1时，y=-8.
（1）求k值，并写出函数关系式；
（2）点P、Q、R在函数图象上，填空：
P（1， ）,Q（2， ）,
R（ ,-8）；
（3）点P’、Q’、R’分别是点P、Q、R关于原点的中心对称点，写出点P’、Q’、R’的坐标；
（4）画出反比例函数的图象．
在问题的设计中渗透了用待定系数法求函数的解析式，让学生体验了函数图象上的点的横纵坐标如何从函数关系式上获得，同时回顾了中心对称点求法及让学生体会反比例函数图象的两个分支是成中心对称关系的．本题既巩固了反比例函数图象的特点，又运用其图象特点，使反比例函数的特点，在实践感知中进一步得到应用，形成知识与技能，形成数学思想与方法．
五、拓展练习
设函数y=（m－2）
．
（1）当m取何值时，它是反比例函数？
（2）画出它的图象；
（3）利用图象，求当
≤x≤2时，函数y的取值范围．
建湖县近湖中学八年级数学备课组
9.2反比例函数的图象与性质
（2）
本节课是在学习上节课初步感知反比例函数的图象特点基础上，进一步探索反比例函数的性质，形成数学能力．
本节课通过学生对一次函数的图象与性质复习，教者展示上节课学生所做书中练习的6个反比例函数图象，引导学生进行分类并说明分类的依据，从而使学生在对照正比例函数的性质的基础上，总结、归纳、揭示反比例函数的性质，并了解反比例函数的图象不可能与坐标轴相交的原因．运用类比的方法，使学生感受到学习反比例函数图象和性质与学习其它函数一样，要善于形数结合，由函数关系式联想到图象的位置及其性质，由图象和性质联想到比例系数K的符号，通过探究加深对反比例函数图象及性质的理解与领悟，提高了学生分析问题、解决问题的能力．
1．认识反比例函数的图象与性质，并能简单运用．
2．结合反比例函数的图象，揭示与其对应的函数关系式之间的内在联系及其几何意义．
3．能根据图象分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受形数结合的思想方法．
情境展示学生上节课所做练习：
，y=－
，y=
6个反比例函数的图象。
问题1：
以前所学的正比例函数的图象是什么？
展示的反比例函数的图象是什么？
问题2：
你能将展示的6个反比例函数图象进行分类吗？
并说明这样分类的依据。
问题3：
反比例函数图象在形象、位置、增减性方面有哪些特征呢？
问题4：
对照正比例函数的性质，讨论反比例函数的性质。
填表：
正比例函数y=kx
k>
k<
图象所在象限
增减性
问题1是适当回顾正比例函数的图象名称及上节课所学反比例函数的图象名称。
问题2引导学生分析探索6个反比例函数图象的分类与K值的关系．问题3鼓励学生积极思考、交流，不要求学生能说出所有特征，通过互相协作，探索，加深对反比例图象及性质的认识和理解．问题4通过类比，使学生自己总结得出反比例函数的性质，从而体会类比思想在研究数学问题上的重要作用．
例1已知反比例函数y=
的图象经过A（2，－4）.
（1）求K的值。
（2）这个函数的图象在哪几个象限？
y随x的增大怎样变化？
（3）画出函数的图象。
（4）点B（
，－16），C（－3，5）在这个函数的图象上吗？
问题
（1）中根据学习一次函数的经验，学生认识到在反比例函数y=
中只要常数k的值确定，反比例函数就确定，因此要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即可。
问题
（2）中引导学生注意反比例函数的图象在两个象限，在描述反比例函数的性质时“在每个象限内”不可缺少，否则将出现错误。
问题（4）中让学生会判断一个点是否在函数图象上的方法，即代入函数解析式中去看是否符合解析式。
例2一次函数y=kx－k与反比例函数y=
在同一直角坐标系内的图象大致是（）
解决含有字母系数的不同函数在同一直角坐标系内的图象这一类题目的方法一般有两种：
一是根据图象确定所含字母的取值范围，看字母系数的取在不同函数中是否一致；
二是先假设字母系数的取值，确定不同函数的图象的位置，再看在同一直角坐标系内不同函数的图象与之是否对应。
例３已知反比例函数y=
的图象上有两点P（1,a）,Q（b,2.5）.
（1）求a、b的值；
（2）过点P作y轴的垂线交于点M，求△PMO的面积；
（3）过点Q作x轴的垂线交于点N，求△QNO的面积；
（4）过双曲线上任意一点A（m,n）作x轴（或y轴）的垂线，垂足为B，求△ABO的面积；
（5）你发现了什么规律？
本题的重点的是第4小题“规律”的探究与揭示，通过对第2、3小题个案的探究，学生计算出了三角形的面积，并发现了面积值与反比例函数比例系数的关系，展示了数学研究的一个重要方法：
从个案到规律，从特殊到一般，激发了学生探究的热情和学习数学的兴趣．
1．举出2个具有下列特征的反比例函数
（1）图象分布在第一三象限.
（2）图象在每一个象限内，y随x增大而增大.
2．如图，P1、P2、P3、是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到△P1A1O1、△P2A2O、△P3A3O，设它们的面积分别是S1、S2、S3.则（）
A．S1﹤S2﹤S3
B．S2﹤S1﹤S3
C．S1﹤S3﹤S2
D．S1=S1、=S1
3．函数y=
与y=ax的图象的一个交点A的坐标是（－1，－3），
（1）求这两个函数的解析式；
（2）在同一直角坐标系内，画出它们的图象；
（3）你能求出两个图象的另一个交点B的坐标吗？
怎样求？
.
9.2反比例函数的图象与性质（3）
本节课内容是在学生掌握反比例函数图象的特点及其性质的基础上，进一步根据反比例的函数具有的特征探索其具有的图象性质．本节课通过对上节课的课本P85练习1进行复习巩固反比例函数的图象与性质，例题的教学，意在先引导学生会根据反比例函数图象的某些特征，进一步分析反比例函数的图象与性质，并运用其对应的函数关系式之间的内在联系及其几何意义解决相关的问题．在例1的教学时，可以引导学生从以下两个方面进行探索．
（1）引导学生根据条件确定函数的类型，明确函数图象所在象限及其有关性质．
（2）引导学生根据已知三点横坐标确定三点所在象限，从而在它们各自所在象限内比较大小．例2的教学是根据反比例函数和一次函数的图象解决一些简单的问题，以达到提高学生的分析问题和解决问题的综合能力，近年来中考中，这类题目很多，结合形数结合的思想实现函数解析式中的系数符号与函数图象位置或变化趋势的熟练转化，以达到对反比例函数图象与性质的熟练掌握，提高创造性解决问题的能力.
1．巩固反比例函数的图象与性质并能运用其与对应的函数关系或之间的内在联系及其几何意义解决有关问题．
2．根据所给反比例函数与一次函数的图象解决一些简单的综合问题．
情境：
在反比例函数①y=－
；
②y=
；
③7y=－
④y=
的图象中，
问题1在第一、三象限的是；
在第二、四象限的是；
问题2 当k﹥0时,反比例函数图象的两个分支在第几象限？
当k﹤0时,反比例函数图象的两个分支在第几象限？
问题3反比例函数在其对应的象限内随x的增大而增大．
反比例函数在其对应的象限内随x的增大而减小．
问题4当k﹥0时,反比例函数图象在其对应的象限内，y随x的增大而．
当k﹤0时,反比例函数图象在其对应的象限内，y随x的增大而．
创设情境复习巩固反比例函数的图象与性质，让学生体会到反比例函数由k值确定图象所在象限，反之，由图象所在象限确定k值；
由k值确定函数图象的增减性，反之，由函数图象的增减性确定k值．
例1如图，是反比例函数y=
的图象的一支．
（1）函数图象的另一支在第几象限？
（2）求常数m的取值范围。
（3）点A（－3，y1）（－1，y2）,（2，y3）都在这个反比例函数的图象上，比较y1、、y2和y3的大小。
由于反比例函数图象的一支在第一象限，所以另一支在第三象限，显然2－m﹥0，由此得到m的取值范围，由于反比例函数的自变量x的取值范围是x≠0，所以其图象是分段的，不连续的，在讨论函数值的大小问题时，我们必须分象限来进行讨论．问题3的解决有如下几种方法：
代人法，即代人到解析式中求解后进行比较；
图象法，利用图象观察、比较得出；
增减性法，利用反比例函数图象的增减性在每个分支上进行分析、解决．
试解相关题：
点（-2，y1）（-1，y2）（1，y3）在反比例函数y=
的图象上，比较y1、、y2、y3的大小。
例2已知反比例函数y1=－
和一次函数y2=kx+2
的图象都过点P（a，2a）．
（1）求a与k的值；
（2）在同一坐标系中画出这两个函数的图象；
（3）若两函数图象的另一个交点是Q（0.5，4），利用图象指出：
当x为何值时，有y1﹥y2?
两函数的图象都过点P（a，2a）这表示点的坐标满足两函数的解析式，由函数图象可以比较两个函数值的大小，但图象要作得非常准确，所以这里给出了Q点坐标，使题目的难度有所降低，但仍需让学生充分讨论，教者给予适当的帮助．
已知反比例函数y=
与一次函数y=mx+b的图象交于P（－2,1）和Q（1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求n的值；
（3）求一次函数y=mx+b的解析式．
五、思维拓展
1．填表 完成反比例函数的性质．
任意写出一个反比例函数
k的符号
一、三象限
每个分支y随x的增大而增大
2.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、
B两点，且与反比例函数y=
（m≠0）的图象在第一象限交于点C，CD⊥X轴于D，且OA=OB=OD=1．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
反比例函数的图象与性质
（1）
教学目标：
使学生会作反比例函数的图象，并能理解反比例函数的性质。
培养提高学生的计算能力和作图能力。
教学重点、难点：
重点：
作反比例函数的图象
难点：
理解反比例函数的性质。
教学过程：
一、复习引入：
1、一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是。
当k>
0时，y随x的增大而；
当k<
0时，y随x的增大而。
二、新授课：
1、作反比例函数y=
的图象：
列表：
X
…
－6
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
6
描点：
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。
连线：
用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y=
的图象。
2、你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可简化计算，又便于描点。
3、作反比例函数y=
4、观察函数y=
和y=
的图象，它们有什么相同点和不同点？
图象分别都是由两支曲线组成的（一般把这两个分支组成的曲线称为双曲线），它们都不与坐标轴相交，两个函数图象都是轴对称图形，它们各自都有两条对称轴。
5、归纳得出反比例函数图象特征：
的图象是由两支曲线组成的，当k>
0时，两支曲线分别位于一、三象限内，当k<
0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
三、随堂练习
1、见练习纸
2、反比例函数
的图象经过点（-2，4），求它的解析式，并画出函数图象，图象分布在哪几个象限？
与坐标轴的交点是什么？
四、小结
五、思考
已知变量y与x成反比例,并且当x=2时,y=-3.
（1）求y与x的函数关系式;
（2）求当y=2时x的值;
（3）在直角坐标系内画出
（1）小题中函数图象的草图.
六、作业：
P861、2
练习纸
1、在直角坐标系中，分别画出下列函数的图象：
（1）y=
（2）y=-
2、在下列函数中任选两个函数，分别画出它们的图象：
（1）y=
（2）y=-
（3）y=
（4）y=-
反比例函数的图象和性质第二课时
1、进一步理解函数的三种表示方法；
2、能根据图象分析和掌握反比例函数的性质，感受数形结合的数学思想方法；
3、会用待定系数法求反比例函数的关系式
教学重点：
会用待定系数法求反比例函数的关系式
教学难点：
分析并掌握反比例函数的性质
一、情境创设
展示学生作业中（P82第1题）的6个反比例函数图象，引导学生进行分类并说明分类的依据
二、探索活动
（一）
1、探索图象的特征；
（1）每个函数的图象分别在哪几个象限？
（2）在每一个象限内，随着x的增大，y是怎样变化的？
（3）反比例函数的图象与x轴有交点吗？
与y有交点吗？
为什么？
由此得到反比例函数图象的性质：
（k为常数，k≠0）的图象是双曲线
当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k〈0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；
2、再用函数的观点分析反比例函数的特征
三、例题教学
例1、已知反比例函数y=
的图象经过A（2，—4）。
（1）k的值
（2）这个函数的图象在哪几个象限？
（3）画出函数的图象
（4）点B（
，—16）、C（—3，5）在这个函数的图象上吗？
例2、若反比例函数y=
的图象经过第二、四象限，求函数的解析式。
四、探索活动
（二）
如果将反比例函数的图象绕原点旋转
，你有什么发现？
将反比例函数的图象绕原点旋转
后，能与原来的图象重合。
因此我们可以得出一个结论：
的图象是中心对称图形，它的对称中心是坐标系的原点
五、练习
1、反比例函数①y=
②y=
③7y=—
④y=
的图象中：
（1）在第一、萨那象限的是，在第二、四象限的是
（2）在其所在的象限内，y随x的增大而增大的是
2、已知反比例函数的图象经过点A（—6，—3）。
（1）写出函数关系式
（3）点B（4，
），C（2，—5）在这个函数的图象上吗？
3、已知反比例函数y=
（k≠0）与一次函数y=x的图象有交点,则k的范围是______.
六、小结
七、作业
P863、4
反比例函数的图象与性质（3）
使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解。
反比例函数的图象
利用反比例函数的图象解题
一、复习：
反比例函数
解析式
（k为常数，k≠0）
图象形状
双曲线（以原点为对称中心）
位置
每一象限内，y随x的增大而减小
二、四象限
每一象限内，y随x的增大而增大
二、新授：
例2、如图是反比例函数
的图象的一支。
（1）函数图象的另一支在第几象限？
试求常数m的取值范围；
（2）
点
都在这个反比例函数的图象上，比较
（3）
、
的大小。
例3、如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=
的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（
，2
（1）分别写出这两个函数的表达式；
（2）你能求出点B的坐标吗？
你是怎样求的？
与同伴进行交流；
三、随堂练习：
P86~871、2、
补1、若反比例函数
的图象位于一、三象限内，正比例函数
过二、四象限，则k的整数
升级会员 