上海市静安青浦宝山区届高三第二学期教学质量检测数学理试题.docx

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上海市静安青浦宝山区届高三第二学期教学质量检测数学理试题

静安区2014学年第二学期高三年级教学质量检测

数学试卷（理科）2015.04.

一．填空题（本大题满分56分）

1．已知抛物线的准线方程是，则．

2．已知扇形的圆心角是弧度，半径为，则此扇形的弧长为．

3．复数（为虚数单位）的模为．

4．函数的值域为．

5．若，则．

6．在的展开式中，的系数是．

7．方程的解集为．

8．射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为，则他得分的数学期望是分．

9．过圆上一点的切线方程为．

10．在极坐标系中，点P（2，）到直线的距离等于．

11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆公斤．

12．设是平面内两个不共线的向量，，，.若三点共线，则的最小值是．

13．设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，且，则．

14．已知：

当时，不等式恒成立，当且仅当时取等号，则．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15.如图，ABCDEF是正六边形，下列等式成立的是（）

（A）（B）

（C）（D）

16.已知偶函数的定义域为，则下列函数中为奇函数的是（）

（A）（B）（C）（D）

17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（）

（A）①是循环变量初始化，循环就要开始

（B）②为循环体

（C）③是判断是否继续循环的终止条件

（D）输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.

18.定义：

最高次项的系数为1的多项式（）的其余系数均是整数，则方程的根叫代数整数．

下列各数不是代数整数的是（）

（A）（B）（C）（D）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．

如图，在直三棱柱中，已知，⊥．

（1）求四棱锥错误！

未指定书签。

的体积；

（2）求二面角的大小．

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数满足关系，其中是常数.

（1）若，且，求的解析式，并写出的递增区间；

（2）设，若的最小值为6，求常数的值．

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

某公园有个池塘，其形状为直角，，的长为2百米，的长为1百米．

（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在、、上取点，如图

（1），使得，，在内喂食，求当的面积取最大值时的长；

（2）若准备建造一个荷塘，分别在、、上取点，如图

（2），建造连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使为正三角形，记，求边长的最小值及此时的值．（精确到1米和0.1度）

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分．

在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上与不 重合的点．

（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；

（2）若，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；

（3）记是与椭圆的交点，若直线的方程为，当△面积取最小值时，求直线的方程．

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．

设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列.

（1）若，判断是否为封闭数列，并说明理由；

（2）证明为封闭数列的充要条件是：

存在整数，使；

（3）记是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比，试问：

是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由．

3区2014学年第二学期高三二模质量抽测（文、理）

参考答案及评分标准2015.04

说明：

1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．

4．给分或扣分均以1分为单位．

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．；2．；

3．；4．；

5．；6．；

7．（文）8.（文）；

（理）（理）；

9.（文）；10．（文）；

（理）；（理）；

11．；12.；

13.（文）；14..

（理）

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.；16.；17．；18..

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.（本题满分12分）本题共2小题，第

（1）小题4分，第

（2）小题8分.

19．解：

（文科）

（1）因为三棱柱的体积为，，

从而，因此.………………………2分

该三棱柱的表面积为.………4分

（2）由

（1）可知

因为//.所以为异面直线与所成的角，………8分

在Rt中，，所以=.

异面直线与所成的角……………………………………………12分

解：

（理科）

（1）因为⊥，三棱柱是直三棱柱，所以，从而是四棱锥的高.……………………………………2分

四棱锥错误！

未指定书签。

的体积为错误！

未指定书签。

…………………………4分

（2）如图（图略），建立空间直角坐标系．

则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），

B1（0，0，2），C1（0，2，2），…………………………………………………6分

设AC的中点为M，

是平面A1C1C的一个法向量．

设平面A1B1C的一个法向量是，…8分

令z=1，解得x=0，y=1．，…………………………………………9分

设法向量与的夹角为，二面角B1—A1C—C1的大小为，显然为锐角．

………………………………………………12分

20.（本题满分14分）本题共2小题，第

（1）小题6分，第

（2）小题8分.

20.解：

（1），；

………………………………………………………………4分

递增区间为，（）（注：

开区间或半开区间均正确）……………………………………………………………………………6分

（2）（文），当时，………8分

令，则函数在上递减………………10分

所以………………………12分

因而，当时，在上恒成立………………………14分

（理），………8分

…………………10分

解得………………………………………………………………12分

所以………………………………………………………………14分

21.（本题满分14分）本题共2小题，第

（1）小题6分，第

（2）小题8分.

21.解：

（1）设，则，故，所以，……2分

，……………………………………………………4分

因为当且仅当时等号成立，

即．………………………………………………………6分

（2）在中，，设，，则

，，…………………………8分

所以

设，则，在中，，………………10分

又由于，所以………………………11分

化简得百米=65米………………………………13分

此时，,…………………………………………………14分

解法2：

设等边三角形边长为，

在△中，，，…………………………………………8分

由题意可知，…………………………………………………………9分

则，所以，……………………………………11分

即，………………………………………………13分

此时，,…………………………………………………14分22.（本题满分16分）本题共3小题，第

（1）小题4分，第

（2）小题5分，第（3）小题7分.

22.解：

（1）椭圆一个焦点和顶点分别为，………………………1分

所以在双曲线中，，，，

因而双曲线方程为．……………………………………………………4分

（2）设，，则由题设知：

，．

即………………………………………………………………5分

解得……………………………………………………………………7分

因为点在椭圆C上，所以，即…，

亦即．所以点M的轨迹方程为．…………………9分

（3）（文）因为AB所在直线方程为．

解方程组得，，

所以，.

又解得，，所以．…………11分

由于……………14分

解得即

又，所以直线方程为或…………………………………16分

（3）（理）（方法1）因为AB所在直线方程为．

解方程组得，，

所以，.

又解得，，所以．…………11分

由于

……………………………………………14分

或，

当且仅当时等号成立，即k＝1时等号成立，

此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝．…………………………………………15分

AB所在直线方程为．…………………………………………………16分

（方法2）设，则，

因为点A在椭圆上，所以，即（i）

又（）

（i）+（）得，………………………………………………11分

所以.……………………………14分

当且仅当（即）时，.又

AB所在直线方程为．…………………………………………………16分

23.（本题满分18分）本题共3小题，第

（1）小题4分，第

（2）小题6分，第（3）小题8分.

23.解：

（1）不是封闭数列，因为，……………………………………1分

对任意的，有，……………………………………2分

若存在，使得，即，，该式左边为整数，右边是无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列……………………………………4分

（2）证明：

（必要性）任取等比数列的两项，若存在使，则，解得.故存在，使，……6分

下面证明整数．

对，若，则取，对，存在使，

即，，所以，矛盾，

故存在整数，使．……………………………………8分

（充分性）若存在整数，使，则，

对任意，因为，

所以是封闭数列.……………………………………10分

（3）由于，所以，……………11分

因为是封闭数列且为正整数,所以，存在整数，使，

若，则，此时不存在．所以没有意义…12分

若，则，所以，…………………13分

若，则，于是，

所以，……………………………………16分

若，则，于是，

所以，……………………………………17分

综上讨论可知：

，，该数列是封闭数列．………18分