线性代数试题库1答案2Word文件下载.docx
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Rn
{（a1,,an）|ai
R,i1,
n且
n
ai0}
i1
{（a1,,an）|aiR,i1,,n且aii1
1}
D．{0}
6．
A
两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（
相似B．合同
A相等
D．互为逆矩阵
7．
向量空间R3的如下变换中，为线性变换的是
（x1,x2,x3）（|x1|,1,1）
（x1,x2,x3）
（x11,x2,x3）
（x1,x2,x3）（x2,x3,0）
（x1,x2,x3）
222
（x1,x2,x3）
．填空题（3X10=30分）
1．
当且仅当
k=（-1
或3）时，齐次线性方程组
x1
3x1`
9x1
x2
x3
kx3
k2x3
0有非零解
a1
设A=a2
0,B
b1,b2,b3
0,则秩（AB）为
1）
a3
向量（x，
y，z）
关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，
1/4）的坐标为
1,1,1
3,2,4
4．设向量空间F2的线性变换
为（x1,x2）（x1x2,x2）,
（x1,x2）（x1
x2,0）,则（
）（x1,x2）
2x1,x2）。
已知V=（x1,x2,x3,x4）|x1
2x2x40
，则dimV=
3）。
已知实矩阵A=
1
a
b3a1,（a
3
0）是正交阵，
则b=（0）
4是四维欧氏空间
V的一个标准正交基
3,则|
3,与
的夹角
d（,
1.
三、计算题
1．求矩阵方程的解
11
01
31
13
10分）
解:
x=
2．设A
求可逆矩阵
T使T1AT为对角形
（10分）
解：
由
EA
0,11,
22,22,所以T
3,X1
2
1,1T,X2
1,1T分别单位化，得
22
3．设二次型f（x1,x2,x3）
x122x225x322x1x22x1x36x2x3,回答下列问题：
（1）将它化为典范型。
（2）二次型的秩为何？
（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？
（4）二次型是否是正定二次型？
（1）f（x1,x2,x3）y12y22y32
5y52,
（2）r=5,（3）p=3;
s=1,（4）A=6>
0，是正定二次型。
四、证明题
1．设V是数域F上一个一维向量空间。
都有σ（ξ）=aξ，a为F中一个定数
是V的基，存在
证明：
假设
F，
任意
V，
k1
ak1
ka
2。
行列式
bb1b2
证：
原式=
b
b1
b2
c1
c2
a2
证明V的变换σ是线性变换的充要条件是：
对于任意ξV，
（10分）
此时得
，令1
aa则
由是线性变换，则
1，所以
是线性变换。
a；
abc
a1b1c1
a2b2c2
线性代数试题库
（2）答案
2005—2006学年第一学期考试时间120分钟
一、选择题：
（3X5=15分）
1.n阶行列式D的元素aij的余子式Mij与aij的代数余子式Aij的关系是（C）A．Aij=MijB。
Aij=（-1）ijMijD。
Aij=-Mij2．设A是数域F上mxn矩阵，则齐次线性方程组AX=O（A）A．当m<
n时，有非零解B．当m>
n时，无解C．当m=n时，只有零解D．当m=n时，只有非零解3．已知n维向量1,2,3线性无关，下列不正确的是（D）
A1，2线性无关B．2,3线性无关C．3,1线性无关D．1,2,3中必有一个向量
是其余向量的线性组合。
4．若A是mxn矩阵，且r（A）=r，则A中（D）
A.至少有一个r阶子式不等于0，但没有等于0的r-1阶子式；
B.必有等于0的r-1阶子式，有不等于0的r阶子式；
C.有等于0的r-1阶子式，没有等于0的r阶子式；
D.有不等于0的r阶子式，所有r+1阶子式均等于0
4．设A是三阶矩阵，|A|=1
，则|2A2|=（
）A．2，B，1，C8，D4
．填空题（3X6=18分）
2．
3．
当且仅当a1a2行列式a3
设A=
4．
k=（-1或3）时，
0,B
x
y
b2,b3
向量（x，y，z）
齐次线性方程组
0则秩（AB）
b1,,xy0z
z0
1a31,（a0）b1
关于基（0，1/2，0），
0.
为
（1）
x2x2。
x3kx3k2x3
是正交阵，则b=（0）。
1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为
6．设31,12A,，14B为n阶可逆矩阵，则AoAo1。
oBoB1
101131
1．求矩阵方程的解10x21131，（10分）
110113
0,11,23,X
1,1T,X21,1T分别单位化，得
T
所以T
21
12求可逆矩阵T使T1AT为对角形
（15分）
3．设二次型f（x1,x2,x3）
x122x225x322x1x22x1x36x2x3,回答下列问题：
（1）将它化为典范型
2）二次型的秩为何？
3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？
（1）f（x1,x2,x3）
0，是正定二次型
4）二次型是否是正定二次型？
（12分）
4．设向量组1
2,
1,
3,
37
4,5
455
4
14
6
2222y1y2y3y4
求向量组的秩及其一个极大无关组。
（10分）
解
A=
07
3a1
a33a1
15
a4
2a1
a42a1
a5
a1a4
其中
0由此
331
a2
2a
r（A）=3,
1,2,a4
是一
个极大无
关组，
2,a5
1.A是正交矩阵，证明A,A
A。
（10分）
A,AATA
TATA
ATA
AA,A
c
，（10分）
线性代数试题库（3）答案
一
、选择题（3×
5=15分）
1．已知m个方程n个未知量的一般线性方程组AX=B有解，则无穷多解的条件是（C）
A．m≠n
2．设A=
B．m=n
00
23
04
C．秩A<
nD．秩A=n
12则
秩A=（A）
A．
C．2
D．3
n阶行列式D的元素
aij的余子式
Mij与aij的代数余子式Aij的关系是（C）
Aij=MijB。
Aij=（-1）nMijC
Aij=-Mij
线性无关，下列不正确的是（
D）
A1，2线性无关B．2,3线性无关C．
1线性无关
3中
必有一个向量是其余向量的线性组合。
5．设
4是四维欧氏空间V的一个标准正交基，
A、0
B．1
D．4
二．填空题（3X6=18分）
设A是一个n阶实可逆矩阵，则二次型X'
（A'
A）X的标准形是（X'
IX）.
矩阵
sinxcosxsinx
的逆矩阵为
cosxsinxcosx
cosx
。
sinx
向量
x，
y，z）关于基（0，1/2，0），
1/3，0，
0），（0，0，1/4）的坐标为
设1,1
3,2
则||2
11,,1,2,2,4
4是四维欧氏空间V的一个标准正交基，
1234
5．已知实矩阵
A=3b
（a
0）
是正交阵，则
b=0。
6．A与B相似，则|A|
|B|。
1.计算行列式
1a1
1000
a1a2a3a4
0100
0010
0001
101.
1a4
2.设A=3
求矩阵B，使AB=A-B
设B=
3b1
5c1
5c1
∵AB=A-B，∴
3a2
4b2
7c2=
7
b3
c3
2b3
2c3
5
解得B=
56782
34452
12341
设A
0,1
（15分）
2,2,所以T
23,X1
T使T1AT为对角形
1,1T,X21,1T分别单位化，得12
4．设二次型
（x1,x2,x3）2x125x225x324x1x24x1x38x2x3,回答下列问题：
1）将它化为典范
型。
（2）二次型的秩为何？
（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？
（4）二次型是否是正定二次型？
（12分）
（1）f（x1,x2,x3）y1y2y315y4,
（2）r=4,（3）p=3;
s=2,（4）A=10>
0，是正定二次型。
试证：
设A是n阶矩阵，则|A*|=|A|n1（10分）
AA*=
AE取行列
得到
AA
AEAn若
0则A
若A
0此时命题也成立，即
An1。
证明:
原式=
bb1b2a
c2bb1b2
线性代数试题库（4）答案
一、选择题（3X7=21分）
1．已知m个方程n个未知量的一般线性方程组AX=B有解，则无穷多解的条件是（C）A．m≠nB．m=nC．秩A<
C）
j关于基
1,,n
的坐标B．j关于基1,
n的坐标
D．j关于基1,,n的坐标
10
010
设A=02
311
1则秩A=（C）A、0B．1
C．2D．3
420
n阶行列式D
的元素aij
的余子式Mij与aij的代数余子式Aij
的关系是（C）
2．设矩阵A是n维向量空间V中由基1,,n到基1,,n的过渡矩阵，则A的第j列是（
Aij=（-1）nM
jC。
Aij=（-1）ijMij
D。
Aij=-Mij
5．在n维向量空间V中，如果
，L（V）关于V
的一个基{1,,n}的矩阵分别为A，
对于a，bF，
a+b关于基{1
n}的矩阵是（C
）
D．A+Bb
那么
6．向量空间R3的如下变换中，为线性变换的是（C）
C．（x1,x2,x3）（x2,x3,0）
D．（x1,x2,x3）
7．已知数域F上的向量1,2,3线性无关，下列不正确的是（D）
A1，2线性无关
B．2,3线性无关C．3,1线性无关
中必有一个向量是其余向量的线性组合
二．填空题（3X10=30分）
1．设A是一个n阶实可逆矩阵，则二次型X'
A）X的标准形是（X'
IX）
是向量空间R[x]上的变换（即（f（x））f'
（x））,则（2sinx
cosx的逆矩阵为
sinxcosx
cosxsinx
3,则||2,
y，z）关于基（0，已知V=（x1,x2,x3,x4）|x1
1/2，0），
2x2
x40
7．已知实矩阵A=
（a
）（x2
6d（
0），（0，
3）
32
4x312x220x13.
34
1．计算行列式
1a1a2
a11a2
a1a2
，则dimV=（4）。
0）是正交阵，则b=（0）
an
，（10分）
0，
1/4）
的坐标为（
1/3，1/2，
1/4）。
2．设A=
7,求矩阵
B，使AB=A-B。
设B
b1c1
b2c2,∵
AB=A-B，∴
b3c3
8
10分）
7c2
2c3
3．设A2121求可逆矩阵T使T1AT为对角形（10分）
0,11,23,X11,1T,X2
1．设,是欧氏空间任意向量，证明：
||||||,（10分）
因为
所以||||||
ab
2．行列式
，（9分）
bca
b1c1a1
b2c2a2
cab
c1a1b1
c2a2
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