反比例函数题型的综合提优题.docx
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反比例函数题型的综合提优题
反比例函数题型的综合提优题（总12页）
第三讲反比例函数典型题、常考题复习2
学习目标：
能够将反比例函数与其它知识进行联系、综合分析解决相关问题，能够用反比例函数来解决实际问题
重点难点：
综合运用所学知识解决反比例函数中的综合问题，分析此类问题的切入点，积累解题经验
合作探究：
典型例题讲解
一、反比例函数的实际应用问题
例1（2010四川达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：
从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图11，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井
【答案】.解：
（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，
所以可设y与x的函数关系式为
由图象知
过点（0，4）与（7，46）
∴
.解得
∴
此时自变量
的取值范围是0≤
≤7.
（不取
=0不扣分，
=7可放在第二段函数中）
因为爆炸后浓度成反比例下降，
所以可设y与x的函数关系式为
.
由图象知
过点（7,46），
∴
.∴
∴
，此时自变量
的取值范围是
＞7.
（2）当
=34时，由
得,6
+4=34，
=5.
∴撤离的最长时间为7-5=2（小时）.
∴撤离的最小速度为3÷2=1.5（km/h）.
（3）当
=4时，由
得,
=80.5，80.5-7=73.5（小时）.
∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.
例2、（反比例函数新颖题）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：
放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10ºC，待加热到100ºC，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（0C）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20ºC，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：
20时能喝到不超过
40ºC的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源）
时间
节次
上
午
7:
20
到校
7:
45~8:
20
第一节
8:
30~9:
05
第二节
……
……
二、反比例函数与翻折结合问题
例1．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y＝
（x＞0）的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y＝
（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．
例2．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y＝
（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．
（1）求证：
△AOE与△BOF的面积相等；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）如图2，P点坐标为（2，－3），在反比例函数y＝
的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
三、反比例函数中的探究性问题
例1（2010山东省德州）●探究
（1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．
①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为__________；
②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为__________；
（2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），
求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的
代数式表示），并给出求解过程．
●归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，
当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，
x=_________，y=___________．（不必证明）
●运用在图2中，一次函数
与反比例函数
的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标；
②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，
请利用上面的结论求出顶点P的坐标．
【答案】解：
探究
（1）①（1，0）；②（-2，
）；
（2）过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为
，
，
，则
∥
∥
．
∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得
=
．
∴O
=
．
即D点的横坐标是
同理可得D点的纵坐标是
．
∴AB中点D的坐标为（
，
）．
归纳：
，
．
运用①由题意得
解得
或
．
∴即交点的坐标为A（-1，-3），B（3，1）．
②以AB为对角线时，
由上面的结论知AB中点M的坐标为（1，-1）．
∵平行四边形对角线互相平分，
∴OM=OP，即M为OP的中点．
∴P点坐标为（2，-2）．
同理可得分别以OA，OB为对角线时，
点P坐标分别为（4，4），（-4，-4）．
∴满足条件的点P有三个，坐标分别是（2，-2），（4，4），（-4，-4）．
例2
（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：
①如图2，点M，N在反比例函数y=
（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：
MN∥EF；
②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．
【答案】
（1）证明：
分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，
垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．
∴CG∥DH．
∵△ABC与△ABD的面积相等，∴CG＝DH．
∴四边形CGHD为平行四边形．
∴AB∥CD．
（2）①证明：
连结MF，NE．
设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2）．
∵点M，N在反比例函数
（k＞0）的图象上，
∴
，
．
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE＝y1，OF＝x2．
∴S△EFM＝
，
S△EFN＝
．
∴S△EFM＝S△EFN．
由
（1）中的结论可知：
MN∥EF．
②MN∥EF．
课堂练习
达标训练
1、若一次函数y＝2x－1和反比例函数y＝
的图象都经过点（1，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用
（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．
2、已知：
如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=
的图象交于点A（3,2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象信息回答问题：
在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于该正比例函数的值？
（3）M（m,n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，求过点M、A的一次函数解析式和求出线段MA的长．
能力提升
1、（育才二模）⑴“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”.但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的.如图a，∠AOB＝90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分.仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON＝45°）.（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）
⑵数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：
将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数
的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB＝
∠AOB.要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
①设
、
，求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）.
②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q.请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB＝
∠AOB.
2.（2011江苏镇江常州）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数y＝
（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE．OF．EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M．E．F为顶点的三角形与△PEF全等？
若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
相似三角形的判定与性质；反比例函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
专题：
分类讨论．
分析：
（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；
（2）当k＞2时，点E．F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE=
k2﹣k+1，根据S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；
（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；
②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，
＝
，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．
课外练习
1、如图，矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在
轴、
轴上，连结OB，将纸片OABC沿BC折叠，使点A落在点A′处，
A′B与
轴交于点F。
已知OA＝1，AB＝2。
⑴设CF＝
，则OF＝__________；
⑵求BF的长；
⑶设过点B的双曲线为
（
≠
），试问双曲线
上是否存在一点M，使得以OB为一边的△OBM的面积等于1？
若存在，试求出点M的横坐标；若不存在，试说明理由。
2、
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