特征值与特征向量定义与计算Word格式.docx

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λ0）称为A的特征根（或特征值）。

n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入（λE-A）X=θ，得方程组（λ0E-A）X=θ，是一个齐次方程组

，称为A的关于λ0的特征方程组。

因为|λ0E-A|=0，（λ0E-A）X=θ必存在非零解X（0）

，X（0）称为A的属于λ0的特征向量。

所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

一.特征值与特征向量的求法

对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得：

[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是：

即说明特征根

是特征多项式|λ0E-A|=0的根，由代数基本定理

有n个复根λ1,λ2,…,λn，为A的n个特征根。

当特征根λi（I=1,2,…,n）求出后，（λiE-A）X=θ是齐次方程，λi均会使|λiE-A|=0，（λiE-A）X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，（λiE-A）X=θ的基础解系

以及基础解系的线性组合

都是A的特征向量。

例1.求矩阵

的特征值与特征向量。

解：

由特征方程

解得A有2重特征值λ1=λ2=-2，有单特征值λ3=4

对于特征值λ1=λ2=-2，解方程组（-2E-A）x=θ

得同解方程组x1-x2+x3=0

解为x1=x2-x3（x2,x3为自由未知量

）

分别令自由未知量

得基础解系

所以A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为

x=k1ξ1+k2ξ2（k1,k2不全为零）

可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。

注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数≤特征根的重数。

对于特征值λ3=4，方程组（4E-A）x=θ

得同解方程组为

通解为

令自由未知量x3=2得基础解系

所以A的对于特征值λ3=4得全部特征向量为x=k3ξ3

例2. 

求矩阵

的特征值与特征向量

解得A有单特征值λ1=1，有2重特征值λ2=λ3=0

对于λ1=1，解方程组（E-A）x=θ

同解为

令自由未知量x3=1，得基础解系

所以A的对应于特征值λ1=1的全部特征向量为x=k1ξ1（k1≠0）

对于特征值λ2=λ3=0，解方程组（0E-A）=θ

此处，二重根λ=0的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数<

特征根的重数

，这种情况下，矩阵A是亏损的

所以A的对应于特征值λ2=λ3=0得全部特征向量为x=k2ξ3

例3． 

矩阵

解得A的特征值为λ1=1,λ2=i,λ3=-i

对于特征值λ1=1，解方程组（E-A）=θ，由

得通解为

令自由未知量x1=1，得基础解系ξ1=（1,0,0）T，所以A的对应于特征值λ1=1得全部特征向量为x=k1ξ1

对于特征值λ2=i，解方程组（iE-A）=θ

令自由未知量x3=1，得基础解系ξ2=（0,i,1）T，所以A对应于特征值λ2=1的全部特征向量为x=k2ξ2（k2≠0）。

对于特征值λ3=-i，解方程组（-E-A）x=θ，由

令自由未知量x3=1，，得基础解系ξ3=（0,-i,1）T，所以A的对应于λ3=-i的全部特征向量为x=k3ξ3。

特征根为复数时，特征向量的分量也有复数出现。

特征向量只能属于一个特征值。

而特征值λi的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组（λiE-A）x=θ的非0解。

其中，方程组（λiE-A）x=θ的基础解系就是属于特征值λi的线性无关的特征向量。

性质1.n阶方阵A=（aij）的所有特征根为λ1，λ2，…,λn（包括重根），则

证第二个式子：

由伟达定理，λ1λ2…λn=（-1）nαn

又|λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn-1λ1+αn中用λ=0代入二边，得：

|-A|=αn，而|A|=（-1）nαn=λ1λ2…λn，

性质2.若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则

是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

证：

可见

是A-1的一个特征根。

其中λ≠0，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若λi=0,

|A|=λ1λ2…λn=0，A奇异，与A可逆矛盾。

性质3.若λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则

λm是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

证：

1）Ax=λx，二边左乘A，得：

A2x=Aλx=λAx=λλx=λ2x，

可见λ2是A2的特征根；

2）若λm是Am的一个特征根，Amx=λmx，

二边左乘A，得：

Am+1x=AAmx=Aλmx=λmAx=λmλx=λm+1x，

得λm+1是Am+1的特征根

用归纳法证明了λm是Am的一个特征根。

性质4.设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。

xj是属于λi的特征向量（i=1,2,…,m），则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。

性质4可推广为：

设λ1，λ2，…,λm为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,…,x1,k1是属于λ1的线性无关特征向量，……，xm1,xm2,…,xm,k1是属于λm的线性无关特征向量。

则向量组x11,x12,…,x1,k1,…,xm1,xm2,…,xm,k1也是线性无关的。

即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。