特征值与特征向量定义与计算Word格式.docx

1、0） 称为A的特征根（或特征值）。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。以A的特征值 0代入 （E-A）X= ，得方程组 （0E-A）X=，是一个齐次方程组，称为A的关于0的特征方程组。因为 |0E-A|=0，（0E-A）X= 必存在非零解X（0） ，X（0） 称为A的属于 0的特征向量。所有0的特征向量全体构成了0的特征向量空间。一. 特征值与特征向量的求法 对于矩阵A，由AX=0X，0EX=AX，得： 0E-AX= 即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是：即说明特征根 是特征多项式 |0E-A| =0的根

2、，由代数基本定理 有n个复根 1, 2, n，为A的n个特征根。当特征根 i （I=1,2,n）求出后，（iE-A）X= 是齐次方程，i均会使 |iE-A|=0，（iE-A）X= 必存在非零解，且有无穷个解向量，（iE-A）X= 的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。例1. 求矩阵 的特征值与特征向量。解：由特征方程 解得A有2重特征值 1=2=-2，有单特征值 3=4 对于特征值 1=2=-2，解方程组 （-2E-A）x= 得同解方程组 x1-x2+x3=0 解为x1=x2-x3 （x2,x3为自由未知量） 分别令自由未知量 得基础解系 所以A的对应于特征值 1=2=-2的全部特

3、征向量为 x=k11+k22 （k1,k2不全为零） 可见，特征值 =-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数特征根的重数。对于特征值 3=4，方程组 （4E-A）x= 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=2 得基础解系 所以A的对于特征值 3=4 得全部特征向量为 x= k3 3 例2. 求矩阵 的特征值与特征向量 解得A有单特征值 1=1，有2重特征值 2=3=0 对于 1=1，解方程组 （E-A） x = 同解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 所以A的对应于特征值 1=1的全部特征向量为 x=k11 （k10） 对于特征值 2=3=0，解方程组

4、（0E-A）= 此处，二重根 =0 的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数特征根的重数，这种情况下，矩阵A是亏损的所以A的对应于特征值 2=3=0 得全部特征向量为 x=k23 例3 矩阵 解得A的特征值为 1=1, 2=i, 3=-i 对于特征值 1=1，解方程组 （E-A）= ，由 得通解为 令自由未知量 x1=1，得基础解系 1=（1,0,0）T，所以A的对应于特征值 1=1得全部特征向量为 x=k11 对于特征值 2=i，解方程组 （iE-A）= 令自由未知量 x3=1，得基础解系 2=（0,i,1）T，所以A对应于特征值2=1的全部特征向量为 x=k22 （k20）。 对于特征值

5、 3=-i，解方程组 （-E-A）x=，由 令自由未知量 x3=1，得基础解系 3=（0,-i,1）T，所以A的对应于 3=-i的全部特征向量为 x=k33 。特征根为复数时，特征向量的分量也有复数出现。特征向量只能属于一个特征值。而特征值 i的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组 （iE-A）x= 的非0解。其中，方程组（iE-A）x=的基础解系就是属于特征值i的线性无关的特征向量。性质1. n阶方阵A=（aij）的所有特征根为1，2，, n（包括重根），则 证第二个式子：由伟达定理，12n=（-1）nn 又 |E-A|=n+1n -1+n-11+n 中用 =0 代入二边，得：|-A

6、|=n， 而 |A|=（-1）nn= 12n， 性质2. 若 是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。 证：可见 是A-1的一个特征根。其中 0，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若i=0, |A|= 12n=0，A奇异，与A可逆矛盾。性质3. 若 是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 m是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。证：1） Ax=x，二边左乘A，得：A2x=Ax=Ax=x=2x， 可见 2 是 A2 的特征根； 2） 若 m 是 Am 的一个特征根，Amx= mx， 二边左乘A，得：Am+1x=AAmx=Amx=m

7、Ax=mx=m+1x， 得m+1是Am+1的特征根 用归纳法证明了m 是 Am 的一个特征根。性质4. 设 1，2，, m是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于i 的特征向量（ i=1,2,m），则 x1,x2,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关 。性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。 性质4可推广为：设 1，2，, m为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,x1,k1是属于1的线性无关特征向量，xm1,xm2,xm,k1是属于m 的线性无关特征向量。则向量组 x11,x12,x1,k1, xm1,xm2,xm,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。