三二元函数的全微分求积.docx

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三二元函数的全微分求积

第十一章

曲线积分与曲面积分

第三节格林公式及其应用讲义

要求：

掌握格林公式

会运用平面积分与路径无关的条件

会求全微分的原函数

重点：

格林公式及其应用

难点：

各种不同情况下的计算

一格林公式

单连通与复连通区域：

设D为平面区域，如果D内任一曲线所围的部分都属于D，称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。

对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正向如下：

当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边。

区域D的边界曲线L的方向：

定理1.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶连续偏导数，则有。

其中L是D的取正向的边界曲线。

简要证明：

仅就D即是X-型又是Y-型的情形进行证明。

设D={（x,y）|}。

因为连续，所以由二重积分的计算法有　　　。

另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

因此

设D={（x,y）|}。

类似地可证

由于Ｄ即是X-型又是Y-型的，所以以上两式同时成立，两式合并即是。

应注意的问题，对复连通区域Ｄ，格林公式右端包括沿区域Ｄ的全部边界曲线积分，且边界的方向对区域Ｄ来说都是正向。

设区域Ｄ的边界曲线Ｌ，去Ｐ＝－ｙ，Ｑ＝ｘ，则由格林公式得，

例１.椭圆，所围成图形的面积Ａ。

分析：

只要就有

解：

设Ｄ是由椭圆，所围成的区域。

令则于是由格林公式

例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明

证令P2xyQx2则

因此由格林公式有

例3计算其中D是以O（00）A（11）B（01）为顶点的三角形闭区域

分析要使只需P0

解令P0则

因此由格林公式有

例4计算其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向

解令

则当x2y20时有

记L所围成的闭区域为D

当（00）D时由格林公式得

当（00）D时在D内取一圆周lx2y2r2（r>0）

由L及l围成了一个复连通区域D1应用格林公式得其中l的方向取逆时针方向

于是2

二．平面上曲线积分与路径无关的条件

曲线积分与路径无关设G是一个开区域P（xy）、Q（xy）在区域G内具有一阶连续偏导数如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2等式

恒成立就说曲线积分在G内与路径无关否则说与路径有关

设曲线积分在G内与路径无关L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则有因为

所以有以下结论曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意

闭曲线C的曲线积分等于零

定理2设开区域G是一个单连通域函数P（xy）及Q（xy）在G内具有一阶连续偏导数则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式在G内恒成立

充分性易证若则由格林公式对任意闭曲线L

有

必要性假设存在一点M0G使不妨设>0则由的连续性存在M0的一个邻域U（M0,）使在此邻域内有于是沿邻域U（M0,）边界l的闭曲线积分

这与闭曲线积分为零相矛盾因此在G内

应注意的问题定理要求区域G是单连通区域且函数P（xy）及Q（xy）在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立

破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点

例5计算其中L为抛物线yx2上从O（00）到B（11）的一段弧

解因为在整个xOy面内都成立所以在整个xOy面内积分与路径无关

讨论设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问是否一定成立？

提示这里和在点（00）不连续因为当x2y20时所以如果（00）不在L所围成的区域内则结论成立而当（00）在L所围成的区域内时结论未必成立

三、二元函数的全微分求积

曲线积分在G内与路径无关表明曲线积分的值只与起点从点（x0y0）与终点（xy）有关如果与路径无关则把它记为

即

若起点（x0y0）为G内的一定点终点（xy）为G内的动点则u（xy）

为G内的的函数

二元函数u（xy）的全微分为du（xy）ux（xy）dxuy（xy）dy

表达式P（xy）dxQ（xy）dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P（xy）dxQ（xy）dy是某个二元函数u（xy）的全微分呢？

当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？

定理3设开区域G是一个单连通域函数P（xy）及Q（xy）在G内具有一阶连续偏导数则P（xy）dxQ（xy）dy在G内为某一函数u（xy）的全微分的充分必要条件是等式在G内恒成立

简要证明必要性假设存在某一函数u（xy）使得duP（xy）dxQ（xy）dy

则有

因为、连续所以即

充分性因为在G内所以积分在G内与路径无关考虑函数u（xy）

因为u（xy）所以

类似地有从而duP（xy）dxQ（xy）dy

即P（xy）dxQ（xy）dy是某一函数的全微分

求原函数的公式

例6验证在右半平面（x>0）内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数

解这里

因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数且有

所以在右半平面内是某个函数的全微分

取积分路线为从A（10）到B（x0）再到C（xy）的折线则所求函数为

问为什么（x0y0）不取（00）?

例7验证在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分并求出一个这样的函数

解这里Pxy2Qx2y因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数且有

所以在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分

取积分路线为从O（00）到A（x0）再到B（xy）的折线则所求函数为

思考与练习

1在单连通区域G内如果P（xy）和Q（xy）具有一阶连续偏导数且恒有那么：

（1）在G内的曲线积分是否与路径无关?

（2）在G内的闭曲线积分是否为零?

（3）在G内P（xy）dxQ（xy）dy是否是某一函数u（xy）的全微分?

2在区域G内除M0点外如果P（xy）和Q（xy）具有一阶连续偏导数且恒有G1是G内不含M0的单连通区域那么

（1）在G1内的曲线积分是否与路径无关?

（2）在G1内的闭曲线积分是否为零?

（3）在G1内P（xy）dxQ（xy）dy是否是某一函数u（xy）的全微分?

3在单连通区域G内如果P（xy）和Q（xy）具有一阶连续偏导数但非常简单那么

（1）如何计算G内的闭曲线积分?

（2）如何计算G内的非闭曲线积分?

（3）计算其中L为逆时针方向的上半圆周（xa）2y2a2y0